L’anatomia dell’equazione di Dirac

Paul A. M. Dirac, 1902-1984

In un precedente articolo abbiamo parlato della genesi dell’equazione di Dirac. Ora però mettiamo le mani nella marmellata ed eseguiamo una vera e propria dissezione dell’equazione, in ogni suo elemento chiave.

Cosa contiene

Partiamo dal capire cosa c’è dentro. Abbiamo di fronte a noi cinque simboli diversi, ciascuno con un ruolo ben preciso. Procediamo da sinistra verso destra

  • La “i”, altrimenti nota come unità immaginaria.
    Cosa è?: È un numero, proprio come anche 2 è un numero, o 13.4. L’unica differenza è che “i” ha delle proprietà speciali, infatti è l’unico numero che moltiplicato algebricamente per se stesso è capace di dare come risultato un numero negativo, cioè i2 = −1.
    Perché è presente nell’equazione?: la meccanica quantistica prevede l’utilizzo delle unità immaginarie al fine di semplificare la scrittura delle equazioni più importanti. I fisici sono pigri e preferiscono usare la notazione più comoda e diretta possibile. I “numeri complessi“ garantiscono comodità logistica. Nulla di più, nulla di meno.
  • “La matrice γμ “, nota come matrice di Dirac.
    Cosa è?: È una matrice, cioè un oggetto matematico che ha il compito di trasformare altri oggetti formati da più componenti. La trasformazione ha l’effetto di mischiare queste componenti secondo una particolare ricetta contenuta nella struttura matematica della matrice. In questo caso l’oggetto da trasformare è la funzione d’onda ψ, che nella teoria di Dirac è formata da 4 componenti.
    Perché è presente nell’equazione?: come discusso nel precedente articolo sulla genesi, le γμ sono presenti al fine di garantire la covarianza dell’equazione sotto le trasformazioni relativistiche di Einstein. (Per saperne di più sul concetto di covarianza clicca qui).
  • “La derivata parziale ∂μ” , scritta in un formato criptico e riassuntivo.
    Cosa è?: è un operatore, cioè trasforma gli oggetti proprio come una matrice, ma in aggiunta ha anche il compito di calcolare la variazione dell’oggetto in una specifica direzione dello spazio-tempo. Le direzioni dello spaziotempo sono specificate dall’indice μ=0,1,2,3 in cui μ=0 è la direzione temporale, e μ=1,2,3 sono le tre direzioni cartesiane x,y,z a cui siamo abituati.
    Perché è presente nell’equazione?: In fisica studiamo i sistemi chiedendoci come variano sotto certi stimoli. Le variazioni sono calcolate con le derivate. Le equazioni chiave della fisica sono chiamate “equazioni differenziali” perché contengono le derivate delle soluzioni che vogliamo trovare, cioè hanno il compito di descrivere l’evoluzione di un sistema chiedendoci: “sai trovare quella funzione soluzione ψ che quando varia in un certo modo descritto dall’equazione differenziale ci dà questo risultato?”. La risposta a questa domanda, matematicamente, fornisce la soluzione che permette di fare previsioni teoriche da verificare sperimentalmente.
  • “La massa m”.
    Cosa è?: è la massa della particella descritta dalla soluzione ψ.
    Perché è presente nell’equazione?: come spiegato nella genesi dell’equazione, l’equazione di Dirac è stata ricavata modellando l’equazione di Schrödinger e adattandola al caso relativistico. In tal caso l’energia di una particella ferma è proporzionale alla sua massa, come evidenziato da E=mc2: questa massa deve quindi comparire esplicitamente nell’equazione differenziale relativistica (perché l’equazione di Schrödinger coinvolge proprio l’energia della particella).
  • “La funzione d’onda ψ“, altrimenti nota come spinore di Dirac.
    Cosa è?: dal punto di vista quantistico rappresenta quella quantità matematica il cui modulo al quadrato rappresenta la densità di probabilità di trovare la particella in un certo punto dello spazio. Dal punto di vista della teoria dei campi rappresenta il campo della particella di massa m, distribuito nello spaziotempo. Le eccitazioni di questo campo vengono interpretate come la particella stessa.
    Perché è presente nell’equazione?: per trovare l’espressione matematica del campo ψ, occorre capire come si comporta quando si calcola una sua variazione. Questo è il metodo delle equazioni differenziali, e l’equazione di Dirac è un’equazione differenziale. L’equazione ci chiede di trovare la più generica ψ che rispetta una certa proprietà. Questa proprietà è evidenziata da un altro modo di scrivere la stessa equazione (portando cioè il termine di massa a secondo membro):
Un altro modo di scrivere l’equazione di Dirac.

L’equazione ci sta parlando, ci chiede di risolvere un determinato problema:

Sai trovare quella funzione ψ tale che, una volta trasformata tramite gli operatori “γμμ” e moltiplicata per il numero “i”, produce come risultato la moltiplicazione di se stessa per una costante “m”?

La risposta a questa domanda fornisce la soluzione per il campo di una particella massiva, libera da forze.

Come si interpreta

Per capire il potere concettuale di questo modo di porre i problemi, cioè quello di ricavare delle informazioni su un certo oggetto ψ studiando prima come si comporta sotto trasformazioni generate da degli operatori, è molto utile sfruttare un’analogia con il concetto di vettori.
Un vettore 2D può essere rappresentato sul piano cartesiano (x,y) come una freccia uscente dall’origine:

La rappresentazione cartesiana del vettore (1,1). Le sue componenti sono v1=1 sull’asse x, e v2=1 sull’asse y.

Ad esempio per costruire un vettore di componenti (1,1), cioè v1=1 sull’asse x, e v2=1 sull’asse y, parto dall’origine e mi sposto di 1 sull’asse x, poi mi sposto di 1 sull’asse y. Il punto in cui arrivo è la testa del vettore. Collegando la testa con la coda (cioè l’origine) ottengo una linea diagonale che chiamo “vettore”.
Un vettore può essere trasformato da una matrice usando la seguente ricetta di composizione:

Il risultato della trasformazione di un vettore è un nuovo vettore le cui componenti possono essere ottenute dalla ricetta contenuta nella matrice.

Il vettore trasformato ha le sue componenti che nascono mischiando le componenti del vettore di partenza, secondo una particolare ricetta descritta dalla matrice-operatore.
Anche il non fare niente è una trasformazione: prende il nome di matrice identità, la sua azione mi fa ottenere di nuovo il vettore di partenza. Puoi verificare anche tu con la ricetta data sopra che il seguente calcolo lascia invariato il vettore di partenza:

La matrice identità lascia il vettore invariato.

Infatti in questo caso l’operatore è tale che a1=1, a2=0, a3=0, a4=1, e sostituendo nella ricetta di sopra otteniamo proprio che il vettore rimane invariato.
Una trasformazione meno banale può invece essere una riflessione, descritta da:

La riflessione del vettore produce un vettore con la componente y invertita di segno.

Puoi verificare il risultato pure tu usando la solita ricetta. Graficamente abbiamo invertito la componente verticale del vettore, come si vede sul piano cartesiano:

La riflessione di un vettore produce un vettore diverso, speculare rispetto al primo.

L’equazione di Dirac si presenta, come accennato, nella seguente veste:

La quale ricalca fortemente il modo in cui trasformiamo i vettori. In questo caso la ricetta prescritta dall’equazione è molto specifica: la trasformazione di ψ è tale da restituire come risultato la ψ stessa, moltiplicata per la massa m. Dal punto di vista matematico, questa richiesta può permetterci di trovare la ψ in maniera non ambigua.


NB: non a caso ψ soddisfa un’equazione con una struttura simile alle equazioni vettoriali con le matrici. Infatti ψ sono oggetti parenti dei vettori, chiamati spinori di Dirac. La differenza fondamentale con i vettori è legata al modo in cui trasformano sotto trasformazioni di Lorentz, come accennato in questo articolo.

Come si usa

Per dare un assaggio di come si affronti una situazione in cui si deve risolvere l’equazione di Dirac, scegliamo la situazione più semplice possibile: il caso di una particella libera e ferma rispetto a noi.
Prima permettimi di trasformare l’operatore “γμμ in una sua forma più agevole matematicamente:

In meccanica quantistica l’operatore μ può essere espresso in termini della quantità di moto “p” della particella. Per ora prendi questa affermazione come un “ipse dixit”, non è questo il luogo e il momento per giustificarla. L’equazione di Dirac può quindi essere scritta come

L’equazione di Dirac espressa con la quantità di moto.

In cui esplicitiamo una volta per tutte il fatto che con γμpμ intendiamo una somma che per pigrizia non avevamo voglia di esplicitare prima

La somma ha il segno negativo nelle componenti spaziali per via della struttura dello spaziotempo della relatività ristretta di Einstein.

Le quantità γ123 sono tutte matrici di Dirac che non ci interessano perché noi supponiamo che la particella sia ferma rispetto a noi, quindi le componenti spaziali della quantità di moto sono nulle, cioè px=py=pz=0. La “quantità di moto” di indice p0 è invece solo un modo lezioso di chiamare l’energia totale della particella. Nel caso di particella a riposo l’energia è, com’è arcinoto:

m è la massa della particella, c è la velocità della luce.

Da ora in poi porremo c=1 per pigrizia, dato che questa scelta non cambia di sicuro la fisica del problema. L’equazione di Dirac si traduce in

che ha la stessa identica forma delle equazioni con i vettori studiate sopra. Le quantità scritte hanno le seguenti espressioni esplicite

Lasciando agire γ0 su u(p) otteniamo

L’effetto di γ0 su u(p) è quello di capovolgere le sue componenti. Puoi verificare usando la regola di composizione matrice-vettore.

Eguagliando questo risultato con u(p) stesso, come ci dice di fare l’equazione di Dirac, scopriamo di dover risolvere il seguente sistema a due incognite

il quale ha la soluzione ovvia u1=u2: una particella di Dirac ferma rispetto a noi ha uguali componenti spinoriali. La soluzione può essere scritta sostituendo u1=u2 e invocando la struttura di onda piana (che è ovviamente soluzione, ed è evidenziata dall’esponenziale contenente quantità di moto e coordinate spaziali):

Da questa espressione si evince che in realtà lo spinore che abbiamo trovato è composto da altre due componenti aggiuntive. In realtà ti ho ingannato tutto il tempo per salvare la semplicità concettuale: uno spinore di Dirac è un oggetto a quattro dimensioni, non due. Tuttavia può essere visto come un oggetto di due componenti, le quali sono a loro volta composte da altre due componenti, per un totale di quattro. La matematica è molto simile e si presta bene a questo inganno.


Una volta ottenuta la soluzione per la particella ferma si può effettuare una trasformazione di Lorentz per osservarla in movimento e derivare così la soluzione più generica per una particella libera.

“Però io credevo che il mondo della Fisica fosse costellato da interazioni tra particelle. Che utilità hanno le soluzioni di particella “libera" senza interazioni?"

Giusta osservazione. Le soluzioni di particella libera in realtà sono ottime approssimazioni per trattare processi in cui le particelle arrivano a collidere e poi si allontanano: nei due stati iniziale e finale possiamo considerare le particelle come libere, ed usiamo la soluzione molto semplice dell’equazione di Dirac per descriverle. L’interazione viene trattata in maniera perturbativa considerando piccoli contributi delle interazioni, basandoci sempre sulla soluzione libera.


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La genesi dell’equazione di Dirac

L’equazione d’onda relativistica dell’elettrone rappresenta uno dei trionfi più importanti della scienza del XX secolo.

Nota come “equazione di Dirac”, dal nome del suo scopritore Paul Dirac, essa costituisce la base di tutta la Chimica e di quasi tutta la Fisica moderna.

Trovo molto interessante provare a riavvolgere il filo del pensiero di Dirac, immedesimandoci in lui quando in una fredda serata a Cambridge nel 1928 arrivò a scrivere la sua equazione dopo essere stato tanto tempo seduto a fissare il caminetto (o così dice la leggenda).

Innegabilmente l’equazione di Dirac vanta una certa eleganza estetica, ed è per questo motivo bersaglio di una sempre crescente mercatizzazione (non è raro trovarsela stampata sulle tazze o sulle magliette).
Trovo anche io difficile resistere al suo fascino e decido quindi di raffigurarla qui in bella vista, prima di iniziare l’articolo:

L’equazione di Dirac descrive una particella libera (relativistica) di spin 1/2.
Piccolo suggerimento: prima di procedere può essere utile dare un'occhiata a due articoli più introduttivi come questo e questo. Se non ne hai voglia ora, li citerò comunque nel prosieguo, inserendoli nei punti chiave in caso tu voglia approfondire.

Schrödinger: le particelle libere come onde piane

Nel 1926 Schrödinger aveva illustrato al mondo che le particelle quantistiche potevano essere descritte da funzioni d’onda la cui forma funzionale era fissata dalla soluzione dell’equazione

In questa equazione ψ è la funzione d’onda che vogliamo trovare, e H rappresenta l’interazione tra particella e il mondo circostante. Questa interazione, agendo su ψ nel membro di destra, produce una variazione nel tempo della ψ stessa, come evidenziato nel membro di sinistra col simbolo di variazione nel tempo ∂/∂t lasciato agire su ψ.
Per una particella libera (cioè senza interazioni con il mondo circostante, o con interazioni così deboli da poter essere trascurate rispetto all’energia cinetica della particella), l’equazione di Schrödinger ha una soluzione semplicissima: un’onda piana

Se non sei familiare con quella forma curiosa per l’energia cinetica ti basti sapere che partendo da 1/2 m v2, questa può essere riscritta in una forma più conveniente sostituendo la quantità di moto p=mv.

In che senso “più conveniente”? In meccanica quantistica si usano gli operatori, che sono oggetti matematici che trasformano le funzioni d’onda in un certo modo. Non tutte le quantità a cui siamo abituati classicamente sono dei buoni operatori. La quantità di moto è un operatore che sappiamo maneggiare bene nei calcoli, al contrario della velocità che è mal definita.

L’energia relativistica, un passo oltre Schrödinger

Nel 1905 Einstein rivoluzionò la meccanica newtoniana con la teoria della Relatività Ristretta. Una delle conseguenze fu la correzione all’energia totale di una particella libera. La forma newtoniana prevedeva, come abbiamo visto, E= p2/2m. In realtà questa non è altro che l’approssimazione della versione einsteiniana una volta che consideriamo velocità molto più basse di quelle della luce, in cui si ha:

In queste formule “m” è la massa della particella, “p” la quantità di moto e “c” la velocità della luce.
A basse velocità otteniamo di nuovo la formula newtoniana per l’energia.

Le energie di legame atomiche sono solitamente così piccole da far sì che le particelle si muovano a velocità molto più basse di quella della luce. L’equazione di Schrödinger era stata creata proprio per descrivere i processi atomici, quindi all’inizio nessuno si preoccupò che non fosse relativistica, c’erano problemi ben più importanti da risolvere.
Se invece si indaga sulla scala subatomica si scopre che bisogna tenere conto delle correzioni relativistiche, proprio perché stavolta aumenta l’energia in gioco.
La strategia più naturale per rendere relativistica l’equazione di Schrödinger è quella di sostituire la vecchia forma di H con la formulazione relativistica:

La forma relativistica dell’equazione di Schrödinger.

Il problema è che, come anticipato prima, in meccanica quantistica la quantità di moto è un operatore, ed è problematico definire la radice quadrata di un operatore. Come superiamo questo ostacolo?

La Klein-Gordon e i suoi problemi

L’approccio proposto da Klein e Gordon per eliminare la radice fu quello di calcolare la variazione temporale di entrambi i membri dell’equazione relativistica, applicando ∂/∂t a sinistra e a destra

In questo conto è fondamentale sapere che l’unità immaginaria “i” è definita in modo che i2=-1

A sinistra abbiamo quindi una doppia derivazione rispetto al tempo, mentre a destra (siccome H è costante nel tempo) otteniamo ψ/∂t, alla quale possiamo sostituire l’equazione di Schrödinger stessa. Con questo piccolo trucco otteniamo che la radice quadrata sparisce.
Ora per semplificare i conti che seguiranno scegliamo di lavorare con delle unità in cui ħ=c=1 e facciamo un cambio di variabili, l’equazione di sopra diventa l’equazione di Klein-Gordon:

L’equazione di Klein-Gordon scritta in una forma più simpatica all’occhio.

L’equazione di Klein-Gordon fu il primo tentativo di relativizzare l’equazione di Schrödinger. La soluzione di questa equazione è ancora un’onda piana per una particella di massa m, solo che a differenza di prima la forma dell’equazione è immediatamente covariante sotto trasformazioni di Lorentz, in quanto P2 e m2 sono degli scalari di Lorentz: in sostanza il principio di relatività è automaticamente soddisfatto (mentre non lo era nell’equazione di Schrödinger).

Dove sta la fregatura?

L’aver mandato via la radice quadrata ha sollevato un problema irritante: l’evoluzione temporale nell’equazione di Schrödinger era espressa da un termine di primo grado ψ/∂t, mentre ora nella Klein-Gordon è espressa da un termine di secondo grado (∂2ψ/∂t2), e ciò fa sì che la densità di probabilità possa ora assumere valori non solo positivi, ma anche negativi o nulli.

Infatti i moduli quadri delle funzioni d’onda (che per la regola di Born rappresentano le densità di probabilità) possono essere calcolati tramite una particolare “ricetta” che dipende in una maniera molto precisa dal tipo di equazione dinamica da cui si parte. Si dà il caso che la “ricetta” ereditata dall’equazione di Klein-Gordon sia difettosa rispetto a quella dell’equazione di Schrödinger.
Ciò fa perdere di significato fisico tutta la struttura matematica della nostra teoria, una bella gatta da pelare!

Non c'era via di uscita? È questo il prezzo da pagare per aver cercato di introdurre la relatività nella meccanica quantistica?

L’illuminazione di Dirac

Per dei motivi che oggi non sono più rilevanti, Dirac era fortemente preoccupato dal problema della densità di probabilità nella Klein-Gordon. Per questa ragione si ossessionò al punto da forzare la matematica stessa: voleva abbassare l’ordine delle derivate temporali dal secondo grado al primo grado a tutti i costi, pur mantenendo un’equazione relativisticamente permessa. Nella sua mente la forma prediletta doveva essere, per ragioni relativistiche e di “eleganza”

In cui γ0 è un termine per ora indeterminato. Questa equazione doveva comunque essere collegata alla Klein-Gordon in qualche modo, perché questa garantisce l’invarianza relativistica. L’illuminazione arrivò quando fu colto il seguente parallelismo con la differenza algebrica dei quadrati a2-b2

dove le γμ sono degli oggetti per ora ignoti, e la notazione va intesa nel modo seguente:

j=1,2,3 indica le tre direzioni cartesiane x,y,z. Quindi x1=x , x2=y , x3=z. γP è quindi solo un modo rapido di scrivere quella somma di termini, comprendenti tutte le direzioni spaziali cartesiane.

Affinché valga l’uguaglianza con la Klein-Gordon tramite la differenza dei quadrati le misteriose γμ devono soddisfare

in cui ημν è la metrica dello spazio-tempo della relatività ristretta. Infatti per avere uguaglianza deve essere

e questa condizione può essere soddisfatta solo se vale la relazione scritta sopra, che lega la metrica ημν con gli oggetti γμ.

La richiesta di un’equazione con derivata temporale al primo ordine ha quindi generato due possibili equazioni relativistiche:

le quali descrivono particelle aventi energia di segno “opposto” (per saperne di più sulla questione dell’antimateria e l’equazione di Dirac clicca qui).

L’uguaglianza del loro prodotto con la Klein-Gordon impone poi che gli oggetti γμ debbano essere delle matrici quattro-dimensionali con delle ben determinate regole di composizione legate alla metrica dello spaziotempo. Non solo, la forma matematica di queste equazioni impone che la funzione d’onda ψ trasformi in una maniera ben precisa sotto trasformazioni di Lorentz.

Fu la prima volta nella storia della Fisica in cui una richiesta di struttura visiva della matematica portò a scoprire un’intera classe di nuovi oggetti matematici.

Tornando alla notazione con le derivate scritte in una forma più elegante:

otteniamo la forma dell’equazione di Dirac che si stampa sulle magliette:

È cruciale il fatto che ora possiamo interpretarla proprio come una sorta di decomposizione della Klein-Gordon per far sì di ottenere solo derivate di primo grado nel tempo. Nonostante ciò, è in realtà è più proficuo (dal punto di vista teorico) interpretare questa equazione come l’equazione del moto di una teoria di campo costruita per le particelle che trasformano come una rappresentazione di spin 1/2 sotto trasformazioni di Lorentz (se vuoi saperne di più sul perché classifichiamo le particelle come rappresentazioni di spin clicca qui).


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Perché scrivo guide per lo studente e l’importanza di condividere ciò che si impara

Ho passato buona parte di novembre appresso al feroce bisogno di approfondire una mantra che ho sentito spesso dai miei docenti di alcuni corsi di teorica che sto seguendo:

"Fermi scrisse la teoria del decadimento beta usando un vertice a quattro fermioni, fate il conto e ricavatevi la costante di accoppiamento dalla vita media." 

Una nota di background: nei principali corsi teorici della mia facoltà è riservato poco spazio alla teoria elettrodebole, per cui uno studente tra il primo e il secondo anno (come me) ha a disposizione giusto una buona base sulla seconda quantizzazione e teoria dello scattering, con alcune nozioni qua e là di fenomenologia di fisica delle particelle.

Riguardo al conto per il decadimento beta di Fermi ho pensato tra me e me:

"Ok, suppongo si possa fare, è un decadimento fermionico che posso trattare con il formalismo della matrice S che ci hanno insegnato a Teorica 1. Scrivo gli operatori di creazione etc. etc." 
Io, impegnato nel non capire in che modo strutturare un discorso sull’argomento che sto studiando, in un triste quadro novembrino.

Il tempo di poggiare la penna sul foglio e vengo travolto da un turbinio di dubbi, non tanto sui conti, quanto più su cosa stessi davvero facendo: ho realizzato che il formalismo della matrice S funziona bene per le particelle asintoticamente libere, ma se voglio descrivere le particelle nucleari che decadono, come posso fare? Da qui è iniziata una ricerca che mi ha portato ad analizzare per intero l’articolo originale di Fermi, per scoprire che i miei dubbi erano comunque fondati: non posso trascurare i nuclei! E subito sorgono nuovi dubbi: ma allora il conto a quattro fermioni che processo calcola esattamente? Il decadimento del neutrone libero? Ma la costante non torna mica! E poi, come si è passati dalla teoria di Fermi alla teoria elettrodebole? In che senso la teoria di Fermi è una Effective Field Theory della elettrodebole, e in che modo questa descrive i processi nucleari con il formalismo che si usa oggi? La ricerca di risposte a queste domande mi ha portato sui libri specialistici in teoria elettrodebole, dove però era dedicato decisamente poco spazio alla costruzione di un percorso pedagogico.

È molto probabile che la mia ossessione per la necessità di avere una struttura pedagogica da seguire per poter capire un argomento sia una cosa un po’ stupida e inutile, ma sono fatto così:

Per capire le cose ho necessità che mi venga spiegato non solo come funzionano, ma anche perché gli umani le hanno fatte funzionare in quel modo e non in un altro.

Questa sidequest ha occupato la maggior parte delle mie giornate di quest’ultimo mese, portandomi a una realizzazione:

“Tutto questo poteva essere enormemente semplificato da una trattazione più organica e rivolta a uno studente con il mio stesso background".

Mi sono quindi immaginato:

"E se qualcuno si fosse messo a scrivere un bel riassunto introduttivo di tutto quello che concerne la teoria di Fermi fino alla teoria elettrodebole, in modo da farmi fare in poche ore quel sentiero concettuale che ho sviluppato in tutti questi giorni?"

Non trovando nulla in merito, ho deciso di farlo io. Il risultato è “Guida per lo studente al calcolo di Fermi sul decadimento β“, in cui esploro e commento il famoso articolo del 1934 di Enrico Fermi, e lo analizzo da un punto di vista degli strumenti matematici che vengono insegnati nei corsi universitari introduttivi di fisica teorica, cercando di costruire un percorso pedagogico fino ad arrivare a un cenno sulla teoria elettrodebole e al concetto di Effective Field Theory.

Guida per lo Studente al calcolo di Fermi sul decadimento β

Clicca per il download

Perché è importante condividere ciò che si impara, oggi più che mai

Gestisco questo blog da ormai 6 anni, cioè fin da quando ero in quarta liceo, e lo scopo è sempre stato lo stesso: voglio scrivere delle note/appunti approfonditi che desidererei dare al me stesso del passato per fargli fare meno della metà della fatica che ha fatto effettivamente per costruire il ragionamento logico. Ho notato con piacere che negli anni questi sforzi sono stati apprezzati da altri studenti che erano curiosi di imparare gli stessi argomenti, come evidenziato dal numero di download sempre crescente negli anni.

In questo senso coltivo un ambizione probabilmente poco realistica: desidererei che partisse un movimento di scambio culturale tra studenti, volto a condividere ciò che si impara.
Sia chiaro non basta condividere lo straccio dei propri appunti scritti a penna, ma serve una vera e propria esposizione pedagogicamente strutturata e studiata per toccare le corde giuste nella mente di chi legge, con lo scopo di far suonare tanti “eureka” nella sua testa. In questo modo tutti assieme si potrebbe imparare a più del triplo della velocità ed efficienza, e si verrebbe a creare un vero e proprio circolo intellettuale tra studenti.

Questo discorso diventa sempre più importante man mano che la scienza progredisce, perché inevitabilmente nessuno ha più il tempo materiale di specializzarsi anche solo su una frazione delle numerosissime branche di un campo scientifico. La necessità di semplificare i percorsi di apprendimento, condividendo ciò che si impara, è oggi più urgente che mai.

Perché fare questo invece di affidarsi solo ai libri di testo universitari?

Semplicemente perché la conoscenza è strutturata in diversi livelli di comprensione, dal livello zero al livello “esperto”; inoltre vale la regola generale che:

Non sempre il libro che stai studiando è sintonizzato con il tuo livello di apprendimento attuale.

Il risultato? Una fatica immensa.

Ciò che penso è questo:

Se io voglio capire un argomento “x” appartenente a un insieme di concetti “X” del quale ho comunque un minimo di background, non è necessario che la persona che arrivi a spiegarmi “x” sappia poi tutto di “X”, perché a me basta la sintonizzazione col mio attuale livello di apprendimento. Solo dopo, una volta compreso “x” al livello precedente, potrò muovermi al livello successivo, in cui mi servirà magari un’esposizione da parte di una persona che dovrà comunque essere anche lei al mio stesso livello di apprendimento.

Io credo che in questo modo si faccia molta meno fatica, soprattutto in branche come la fisica teorica in cui di uno stesso argomento “x” si possono avere tantissimi livelli diversi di comprensione, da quello basico a quello totalmente astratto. In ciascuno di questi livelli è utilissimo, per chi sta imparando, poter trovare spunti da chi si è preso del tempo per organizzare i propri schemi mentali e si sia sforzato di tirar fuori una spiegazione quanto più pedagogica possibile.

Ricapitolando, scrivo guide per lo studente (o per il me stesso del passato) perché:

  • Voglio tenere un’organizzazione concettuale delle cose che imparo, in modo da poterle consultare rapidamente per qualche dubbio futuro, e in modo da evitare di annegare in un mare di libri e referenze già consultate (citate comunque nella bibliografia della guida).
  • Voglio far fare meno fatica a chi sarà curioso sullo stesso argomento, in quel preciso livello di comprensione. Chiaro che ad esempio quella guida che ho appena scritto è di scarso interesse per chi quei concetti li ha già assimilati da anni e a livelli superiori di comprensione.
    Il punto è che non tutti partiamo dalla stessa base, ed esiste sempre una certa popolazione che si trova invece nello sweet spot, per la quale magari quella guida è un salvavita, magari per una tesina o un seminario da preparare.

In verità mi ossessiono un po’, perché finché non trovo il libro che spiega quel mio dubbio esattamente nel modo in cui io voglio capirlo, o nel modo in cui io voglio che venga spiegato, non mi do pace.

Se proprio non trovo nessuna alternativa, mi viene da scriverla io stesso, una volta che penso di aver capito il concetto abbastanza in profondità.
In ogni caso non è uno sforzo inutile: avrò comunque una referenza personale per il futuro, o magari sarà utile a qualche altro studente che si trova nella mia stessa situazione.


Se facessimo tutti questo lavoro, non è da escludere che il mondo universitario italiano possa diventare un posto ben più stimolante e ricco di spunti.


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Un semplice conto per stimare la massa dei bosoni delle forze fondamentali


Sono sempre stato un entusiasta delle “stime grossolane”, perché ti aiutano a risolvere un problema molto complesso dandoti almeno un’ordine di grandezza della soluzione. Il senso di soddisfazione quando la stima grossolana viene confermata dai calcoli ben più rigorosi è un po’ una guilty pleasure di ogni fisico. Vediamo quindi un esempio di questo modo di lavorare.

Ad oggi conosciamo quattro forze fondamentali della Natura, meglio note come interazioni fondamentali.
Il modo in cui studiamo queste interazioni su basa sull’analisi di alcuni processi che coinvolgono le particelle. Tali processi possono essere studiati a differenti scale di energia in cui vengono rappresentati con diverse schematizzazioni, le quali ci danno un’idea di quello che sta succedendo.

Da questi schemi teorici emerge che un’interazione tra particelle deve essere mediata da una particella speciale chiamata bosone.
Il modo più diretto per avere l’identikit di questa particella è conoscere la sua massa.

Prima di ricavare una stima di queste masse, facciamo il punto della situazione sulle interazioni fondamentali in gioco:

  • Gravità: interazione tra tutti i corpi con massa. In una teoria di gravità quantistica (ancora solo ipotizzata a stento) deve essere mediata da un bosone chiamato gravitone.
  • Elettromagnetismo: interazione tra tutti i corpi con carica elettrica. Mediata da un bosone chiamato fotone.
  • Forza forte: interazione che tiene assieme i nuclei degli atomi. Ad alte energie si manifesta come un’interazione mediata dai gluoni dei quark, a basse energie ha invece come mediatore il bosone pione.
  • Forza debole: interazione che permette i decadimenti di alcuni nuclei. Mediata da tre bosoni, chiamati W+,W- e Z.

La prima distinzione interessante tra queste quattro forze è il loro raggio di interazione. Sono infatti tutte forze che agiscono a distanza, e due tra queste, cioè gravità ed elettromagnetismo, hanno un raggio di interazione infinito. Ciò significa che la forza gravitazionale tra due masse agli antipodi dell’universo è sempre teoricamente diversa da zero. Nella realtà, ovviamente, tale valore è così piccolo da poter essere considerato irrilevante per lo stato di moto delle due masse. Lo stesso discorso si applica all’elettromagnetismo. Questo raggio di interazione si dice asintoticamente infinito nel senso che la forza può essere considerata “matematicamente” nulla solo all’infinito (cioè un punto irraggiungibile).

Le altre due forze, quella nucleare forte e quella debole, hanno invece a che fare con il mondo dell’infinitamente piccolo, cioè i nuclei degli atomi.
La scala di distanza nucleare è completamente fuori dagli schemi della quotidianità: parliamo di qualche milionesimo di miliardesimo di metro. Questo numero è così difficile da scrivere e pensare che è stata creata direttamente una nuova unità di misura: il fermi (in onore di Enrico Fermi).

Come informazione di orientamento, diremo che il raggio di un nucleo è del valore di qualche fermi.

Siccome l’interazione forte si occupa di tenere assieme i nuclei, composti da tanti protoni e neutroni (protoni che altrimenti si respingerebbero per via dell’interazione elettromagnetica), il suo raggio di interazione è proprio dell’ordine di qualche fermi. L’interazione debole è ancora più a corto raggio, perché agisce su una scala che è un millesimo di quella nucleare.

In che modo vengono interpretati questi differenti raggi di azione delle forze fondamentali dalla fisica teorica?

Livello intuitivo: il diagramma di bassa energia

Un’interazione in un certo intervallo di bassa energia può essere schematizzata da un diagramma tipo questo

Nel quale viene riportato un processo di repulsione elettromagnetica tra due elettroni. Matematicamente questa repulsione viene comunicata da un fotone virtuale “γ” che viene creato con una certa energia per un certo intervallo di tempo. L’informazione elettromagnetica si propaga tra due punti dello spaziotempo diversi e non può essere istantanea (per non contraddire la relatività ristretta), ma può propagarsi, al massimo, alla velocità della luce.

Con poche differenze, i diagrammi delle altre interazioni alle basse energie hanno una struttura molto simile (fatta eccezione per la gravità, per la quale non esiste ancora una teoria quantistica soddisfacente). Ciascun diagramma è caratterizzato dal proprio personalissimo bosone di interazione, che sia il fotone (elettromagnetismo), il pione (forze nucleari forti), o i W e Z (interazione debole).

Lo scambio di un oggetto tra due persone su due barche genera un allontanamento per via della conservazione della quantità di moto totale.

Esiste un esempio intuitivo, seppur da prendere con le pinze perché serve solo a darci un’intuizione fisica, del perché lo scambio di un mediatore produca una forza di interazione. L’esempio viene dalla fisica classica ed è illustrato in figura.

Il principio di Heisenberg in una forma speciale

Vogliamo studiare in maniera intuitiva quali siano le grandezze in gioco nella propagazione dei bosoni mediatori. Sappiamo dalla fisica teorica che possiamo interpretarli come particelle create e riassorbite durante l’interazione, e che esistono per un certo intervallo di tempo che consente la loro propagazione.

“Aspetta, mi stai dicendo che viene creata una particella dal niente? Ma questo non viola il principio di conservazione dell'energia?"

Una forma molto speciale del principio di indeterminazione di Heisenberg riguarda proprio l’energia e il tempo. Una particella può essere creata con una certa energia per un certo intervallo di tempo, senza violare il principio di conservazione, a patto però che valga

Il simbolo “~” indica un’uguaglianza approssimata. A destra, la costante di Planck divisa per 2π.

Per la creazione di un bosone mediatore di massa “m” richiediamo che questi esista per un tempo sufficiente per propagarsi di una distanza “R” (che è proprio il raggio di azione dell’interazione) a una velocità che è dello stesso ordine (ma MAI uguale) a quella della luce “c“. In sintesi:

Il simbolo “~” sta proprio a indicare che la relazione vale solo come ordine di grandezza: non stiamo dicendo in nessun modo che un corpo di massa “m” possa viaggiare alla velocità della luce, ma solo a una velocità comparabile e ad essa inferiore.

Un gioco poco rigoroso, che ci azzecca molto bene

Sfruttando una possibile interpretazione dei diagrammi sulle interazioni, immaginiamo che i bosoni mediatori vengano creati nei processi e che si propaghino per una distanza “R” che è proprio il raggio di azione.

Come facciamo a capire se tali bosoni esistano davvero o se siano solo costrutti teorici?
Dobbiamo rivelarli sperimentalmente, ma per rivelarli sperimentalmente dobbiamo prima sapere che tipo di massa possiamo aspettarci per queste particelle.

Un giochino poco rigoroso è quello di usare il principio di Heisenberg esposto sopra, perché a quel punto l’energia di massa dei bosoni si ottiene dividendo per “∆t

L’energia di massa dei bosoni in funzione del raggio di interazione

Applichiamo ora questa formula ai bosoni delle interazioni: fotone, gravitone, pione e bosoni W,Z.

  • Fotone: l’interazione elettromagnetica ha un raggio di azione infinito. Se diamo a “R” un valore molto grande nella formula troviamo che la massa tende a zero. I fotoni, come si sa comunemente, hanno massa nulla, e quindi sono capaci di viaggiare alla massima velocità dell’universo, cioè la velocità della luce. Non una grandissima notizia, dato che i fotoni sono proprio la luce stessa.
  • Gravitone: l’interazione gravitazionale è sorella (molto più debole a parità di distanza) della forza elettromagnetica, e ha anche lei un raggio di azione infinito. Troviamo quindi una massa nulla anche per il fantomatico bosone dell’interazione gravitazionale: se mai troveremo una teoria quantistica della gravità, il suo bosone si propagherà alla velocità della luce.

Per discutere del pione (mediatore della forza nucleare forte a bassa energia) e dei bosoni della forza debole, diamo prima una formula numerica utile

Con “fm” intendiamo “fermi”, cioè l’unità di misura delle lunghezze nucleari.
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L’energia delle particelle atomiche si misura infatti con una scala energetica chiamata MeV.
Come per tutte le unità di misura, fatti bastare solo qualche numero di orientamento: l’energia di massa dei neutroni e dei protoni è di circa 1000 MeV, mentre l’elettrone “pesa” solo 0.5 MeV. Le energie dei legami nucleari sono invece dell’ordine di qualche MeV.

Detto ciò torniamo al nostro gioco e occupiamoci del pione, cioè il bosone dell’interazione nucleare forte.
Il raggio di azione dell’interazione nucleare forte è dell’ordine di 1.4 fermi

Per quanto riguarda invece il bosone W dell’interazione debole, per la quale il raggio di azione è dell’ordine di 0.0025 fermi

Un confronto con i valori sperimentali

Non ci dilunghiamo sulla massa del fotone, perché essendo un quanto di luce è il bosone meglio conosciuto nella storia e sappiamo con molta confidenza che la sua massa è da considerarsi nulla.
Sul gravitone diciamo solo che il risultato è quantomeno ragionevole: un’onda gravitazionale si propaga alla velocità della luce, quindi è ragionevole aspettarsi che, così come il fotone è la manifestazione dei modi di vibrazione del campo elettromagnetico, allora anche il gravitone avendo a che fare con il campo gravitazionale che si propaga alla velocità della luce, deve avere massa nulla.

Il pione è stato una delle prime particelle a essere scoperta nel dopoguerra (1947), e la sua massa è stata misurata in numerosissimi modi diversi. Tutti i risultati sono in accordo con il valore di circa 139 MeV, in perfetto accordo con quanto abbiamo trovato “giocando”.

La scoperta del bosone W dell’interazione debole ha portato il nobel a Carlo Rubbia (1983). Oggi la sua massa è nota essere di circa 80 mila MeV, proprio come abbiamo stimato.


PS. ho scritto un libro di testo che rappresenta proprio ciò che avrei desiderato leggere all’inizio dei miei studi di Fisica teorica, per renderla accessibile agli amatori e insegnare le tecniche matematiche necessarie a una sua comprensione universitaria. Si chiama “L’apprendista teorico” , dai un’occhiata per vedere di cosa si tratta. Il libro è acquistabile su Amazon.

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Matteo Parriciatu
Matteo Parriciatu

Dopo aver conseguito la laurea in Fisica nel 2020, studia Fisica Teorica all’Università di Pisa specializzandosi in simmetrie di sapore dei neutrini, teorie oltre il Modello Standard e interessandosi di Relatività Generale.
È autore del libro “L’apprendista teorico” (2021).

Fermi: quel 21enne che contribuì alla Relatività Generale

Uno degli scopi principali di Internet dovrebbe essere quello di dare la possibilità di condividere per aiutarsi a vicenda negli studi. In questo senso trovo appagante quando riesco a trovare un articolo di un altro studente che sta studiando un particolare argomento tecnico e ha voglia di condividere il risultato con gli altri, per aiutarli nella stessa ricerca. Ho tratto beneficio da questo tipo di pratiche, quindi mi sento di condividere a mia volta.

Una delle questioni che mi hanno lasciato insoddisfatto quando ho studiato Relatività Generale era la scarsa enfasi posta dai corsi e dai libri di testo introduttivi nei confronti delle coordinate di un osservatore in caduta libera.

Nella meccanica classica è spesso cruciale porsi nei panni di un osservatore che interagisce con l’universo intorno a sé, per capire come questi descrive i fenomeni intorno a lui, e le interpretazioni fisiche che ne dà.

Se ad esempio una particella in movimento si trova nella stessa regione di spazio di un’altra carica elettrica, è di nostro interesse capire quale sia il campo “visto” dalla particella, immedesimandoci in lei con un opportuno cambio di coordinate. Ciò ci permette di interpretare alcune proprietà del suo moto che altrimenti ci sarebbe apparso meno intuitivo.

Il principio di equivalenza

La Relatività Generale si fonda sul principio che un osservatore in caduta libera in un campo gravitazionale rappresenta un sistema localmente inerziale. Cioè nei pressi della sua traiettoria, dal suo punto di vista, lo spaziotempo è quello della relatività ristretta: piatto.

Questo principio permette di derivare la struttura matematica delle equazioni di Einstein per lo spaziotempo attorno a una distribuzione di massa o di energia qualunque. Tuttavia nella maggior parte delle trattazioni introduttive, il ruolo del principio di equivalenza finisce qui.

Ad esempio la soluzione che descrive lo spaziotempo attorno a un buco nero di Schwarzschild viene fornita nelle coordinate di un osservatore che si trova ad infinita distanza dal buco nero, e difficilmente viene affrontato il problema, (ben più interessante dal mio punto di vista), di come appaia lo spaziotempo attorno a un buco nero dal punto di vista di un osservatore che ci stia cascando dentro.

Questo è un gran peccato perché una delle curiosità più interessanti riguarda proprio ciò che percepirebbe un malcapitato nei pressi dell’orizzonte degli eventi!

La cosa curiosa è che nemmeno Einstein, il padre del principio di equivalenza e della relatività, si preoccupò di cercare quale fosse la trasformazione di coordinate per un osservatore in caduta libera (o meglio, si accontentò della prima approssimazione più semplice, e cioè lo spaziotempo piatto di un osservatore inerziale). Ma questo non ci dice nulla sullo spaziotempo poco più distante dalla traiettoria dell’osservatore, dove inizierebbero a manifestarsi gli effetti della curvatura!

Il giovanissimo Fermi

Sorprendentemente ci pensò l’allora 21enne Enrico Fermi, il quale scrisse quelle che oggi sono note come “coordinate di Fermi”. Il suo lavoro fu pubblicato nel 1922 con il nome “Sopra i fenomeni che avvengono in vicinanza di una linea oraria” e fu pionieristico.

Le coordinate di Fermi descrivono lo spaziotempo nelle vicinanze di un osservatore in caduta libera, e possono essere applicate per provare a soddisfare la curiosità di cosa succeda davvero nell’orizzonte degli eventi di un buco nero molto semplice, non rotante ed eterno: un buco nero di Schwarzschild.

Sfortunatamente queste coordinate sono poco trattate nei corsi introduttivi, e la letteratura è poco accessibile. Da questa insoddisfazione ho deciso di fare un po’ di ricerca a proposito e come risultato ho scritto un piccolo compendio con il fine di rendere questo argomento più accessibile a uno studente del primo anno di un corso magistrale.

Il file in PDF può essere scaricato qui sotto:

Naturalmente lascia a bocca aperta la maturità con la quale l’allora 21enne Enrico Fermi, geniale nella matematica, affrontò la questione. Ciò fu immediatamente riconosciuto dai fisici matematici italiani (come Levi Civita).

Oggi le coordinate di Fermi rappresentano uno strumento molto utile, e sono usate nella ricerca più avanzata nelle computazioni teoriche della relatività generale.


PS. ho scritto un libro di testo che rappresenta proprio ciò che avrei desiderato leggere all’inizio dei miei studi di Fisica teorica, per renderla accessibile agli amatori e insegnare le tecniche matematiche necessarie a una sua comprensione universitaria. Si chiama “L’apprendista teorico” , dai un’occhiata per vedere di cosa si tratta. Il libro è acquistabile su Amazon.

Perché la teoria di Enrico Fermi rimane una delle vette dell’ingegno umano

La teoria di Fermi sull’interazione debole era così all’avanguardia che fu rifiutata dalla rivista “Nature” perché “contiene speculazioni teoriche troppo distanti dalla realtà“.

Oggi è ritenuta uno dei più importanti avanzamenti del XX secolo.

Per apprezzare la portata della teoria di Fermi, cerchiamo di ripercorrere concettualmente il suo lavoro, immedesimandoci in lui agli inizi degli anni ’30.

Quando nessuno conosceva il contenuto del nucleo

Se avessi fermato un fisico per strada nel 1930 e gli avessi chiesto la struttura del nucleo atomico l’avresti messo in imbarazzo. Ancora non si sapeva nulla del neutrone e si conosceva solo il protone; inoltre non si aveva la minima idea di cosa fosse un’interazione nucleare.

Ovviamente si sapeva, ad esempio, che un nucleo di Elio aveva carica +2 (unità di carica dell’elettrone) e che quindi doveva contenere due protoni. Tuttavia il peso del nucleo corrispondeva a quattro volte la massa del protone. D’accordo, quindi nel nucleo ci sono quattro protoni? Sì, ma allora la carica come fa a essere +2 e non +4? Beh allora ci mettiamo anche due elettroni, così neutralizziamo due cariche e si ha +4-2=+2, tanto la massa degli elettroni è mezzo millesimo di quella dei protoni e l’aggiunta non cambia il peso atomico! Problema risolto?

Il problema teorico: ci possono essere degli elettroni nel nucleo?
Oggi si prenderebbe un’insufficienza per un’affermazione simile, eppure prima della scoperta del neutrone (1932) era una delle spiegazioni accettate. Ma gli elettroni hanno una massa davvero troppo piccola per “accontentarsi” di stare in uno spazio ridotto come il nucleo: la loro lunghezza d’onda di De Broglie è centinaia di volte maggiore della dimensione del nucleo.

La situazione della fisica teorica prima del 1934

La meccanica quantistica di Schrödinger (1926) funzionava bene a livello atomico. Ma nel momento in cui si voleva provare a indagare le alte energie (cioè la struttura dei nuclei e delle particelle) falliva proprio nel formalismo matematico.
Fu Dirac (1928) a portare la relatività nella meccanica quantistica (cioè una teoria delle alte energie) e, assieme a Fock e Jordan, a proporre una seconda quantizzazione per trattare le particelle come eccitazioni dei campi quantistici. Un risultato spettacolare di questa teoria fu la scoperta dell’elettrodinamica quantistica, che era in grado di predire con successo tanti processi elettromagnetici tra particelle dotate di carica elettrica.

Ad esempio la repulsione tra due elettroni veniva spiegata con un’interazione trasmessa da un fotone creato e distrutto nel processo stesso

Leggendo dal basso verso l’alto: due elettroni arrivano, interagiscono scambiando un fotone “γ” e poi si allontanano.

La cosa importante che devi notare qui è il concetto di creazione e distruzione di un fotone. Questo modo di pensare era inglobato nella matematica della seconda quantizzazione, e fu un passo da gigante verso la fisica moderna.

L’imbarazzo del decadimento β nucleare

Tanto per infierire sul problema teorico degli elettroni nel nucleo, c’era un tipo di decadimento nucleare che si conosceva da qualche decennio: il decadimento beta (β).
In tale decadimento un nucleo era in grado di trasformarsi nel nucleo dell’elemento successivo nella tavola periodica, emettendo radiazione beta, che è un gergo sofisticato per dire “elettroni“. Questo decadimento era davvero una bella gatta da pelare per almeno due motivi:

  • Sembrava rafforzare l’idea che gli elettroni dovessero essere contenuti nel nucleo, perché da qualche parte dovevano spuntare fuori questi elettroni beta! Ma ciò era, come detto sopra, in contrasto con il fatto che la lunghezza d’onda di un elettrone avente l’energia tipica dei decadimenti β era molto maggiore delle dimensioni nucleari.
  • Gli elettroni, a parità di nucleo che decade, venivano emessi con tantissime energie diverse, da una minima energia fino a una massima energia. Se l’energia messa a disposizione dal nucleo è sempre la stessa, perché gli elettroni non assumono solo quel valore specifico di energia? Niels Bohr arrivò a dire che le interazioni nucleari non conservavano l’energia!

Il primo azzardo: un’analogia

La genialità di Fermi risiedeva nella semplicità dei suoi ragionamenti, anche se tale semplicità era solo apparente, perché il risultato di un’approfondita analisi concettuale svolta quando nessuno stava guardando.

Fermi nel 1933 conosceva solo un tipo di interazione spiegabile con una teoria delle alte energie: l’elettrodinamica quantistica a cui abbiamo accennato sopra. Questa teoria faceva uso del concetto di creazione e distruzione del fotone nei processi.
Il colpo da maestro di Fermi fu quello di ragionare per analogia: spinto dalla convinzione che gli elettroni non potevano vivere dentro il nucleo, convinzione rafforzata dalla recente scoperta del neutrone, arrivò ad affermare che:

L’elettrone viene creato durante il processo di interazione all’interno del nucleo, dopodiché non può che propagarsi libero, fuori dal nucleo.

Si trattava, questa, della prima applicazione del concetto di creazione e distruzione di particelle, applicato a particelle che non fossero il fotone. Prima si pensava che le particelle come l’elettrone dovessero esistere sempre e che non potessero apparire e scomparire nei processi. Il passo compiuto da Fermi fu di proporzioni gigantesche.

Fermi riconobbe subito che un processo fisico del genere avrebbe dovuto garantire la conservazione della carica, e sfruttando il fatto sperimentale che il nucleo si trasformava in un nucleo con un protone in più, riconobbe che il decadimento beta non era altro che il decadimento del neutrone. Il protone rimane nel nucleo, e l’elettrone viene rilasciato libero. La reazione del processo è:

Il decadimento del neutrone.
Questo processo conserva la carica elettrica: all’inizio abbiamo carica zero, e alla fine abbiamo carica +1-1=0.

Una teoria che conserva la carica elettrica ha proprio la struttura matematica dell’elettrodinamica quantistica. Fermi si affidò di nuovo a un’analogia e scrisse l’interazione come un accoppiamento tra correnti cariche, proprio come nell’elettrodinamica:

Le analogie tra elettrodinamica e teoria di Fermi

Tuttavia questa forma dell’interazione restituiva di nuovo una distribuzione di energia a un singolo valore per l’elettrone uscente. L’analogia con l’elettrodinamica era troppo bella e semplice per essere vera? Non si riesce proprio a salvare il principio di conservazione dell’energia?

Il secondo azzardo: la particella fantasma

Come mai l’energia dell’elettrone assume più valori fino all’energia massima disponibile? Si dimostra matematicamente che questo in realtà è proprio ciò che succede quando il decadimento non produce solo due corpi, ma tre! Se il neutrone decade in protone ed elettrone, chi è la terza particella misteriosa prodotta?

Fermi, su suggerimento di Pauli, decise di fare un passo in più dove molti avrebbero mollato. Ci troviamo di fronte al primo caso in cui una particella viene teorizzata prima di essere scoperta: il neutrino. Il suo identikit è il seguente:

  • È neutro, per non intaccare la conservazione della carica nell’interazione di corrente.
  • È molto leggero, più leggero dell’elettrone (questo serve per giustificare l’energia degli elettroni).
  • Anche se il nome è simile a quello del neutrone (fu Fermi a battezzarlo), il neutrino non ha nulla a che vedere con il neutrone, non farti fregare!


La reazione completa è quindi:

La reazione corretta per il decadimento beta del neutrone. Assieme all’elettrone viene emesso anche un neutrino.

A questo punto basta aggiungere la corrente del neutrino e l’analogia con l’elettrodinamica è salva!

Rappresentazione schematica delle due teorie. A sinistra un vertice di interazione tra protone e fotone (rappresentato da γ). A destra il decadimento del neutrone (ispirato, nella sua struttura, dallo schema di sinistra).

Questa interazione era in grado di spiegare con successo lo spettro energetico degli elettroni nel decadimento beta, con notevole precisione per l’epoca. Fu un trionfo!

Il punto fondamentale è che il neutrino non fu mai rivelato prima degli anni ’50!

Enrico Fermi (1901-1954).

Questo per via del fatto che Fermi inconsapevolmente non aveva solo teorizzato il decadimento del neutrone, ma un nuovo tipo di forza della natura: l’interazione debole! Il neutrino interagisce solo tramite la forza debole, che, come suggerisce il nome, è più difficile da rivelare sperimentalmente.

Il travaglio del capolavoro

È difficile sovrastimare la portata del lavoro di Fermi, in quanto inconsapevolmente aveva teorizzato per primo, in una forma a bassa energia, una delle quattro forze fondamentali della natura. Fu inoltre il primo a usare il concetto di creazione e distruzione delle particelle che non fossero fotoni, e il primo a teorizzare una particella ancora da rivelare sperimentalmente.

Oggi questo tipo di pratica è all’ordine del giorno, ma all’epoca di Fermi era un modo di lavorare rivoluzionario.

Fermi pubblicò la propria teoria nel dicembre del 1933 con l’umile nome “Tentativo di una teoria dei raggi beta“, nonostante fosse ben più di un tentativo!
Per capire la portata di questo “tentativo” basti pensare che il lavoro fu rifiutato dalla rivista “Nature” in quanto:

“Contiene speculazioni teoriche troppo distanti dalla realtà per essere di interesse al lettore.”

Insomma il lavoro del fisico italiano era troppo all’avanguardia per essere considerato, nonostante spiegasse bene i risultati sperimentali.
Fermi prese molto male questo rifiuto, ma pubblicò comunque l’articolo nelle riviste italiane e tedesche, dove invece fu accolto con grande clamore.
La teoria di Fermi fu apprezzata sempre di più negli anni, ma venne compresa e completata solo tra gli anni ’50 e ’60, ed oggi è riconosciuta come una delle più grandi intuizioni del ventesimo secolo.

L’eredità di un gigante

Oggi la teoria di Fermi è inglobata all’interno della teoria unificata elettro-debole, che contiene cioè sia l’elettrodinamica sia l’interazione debole. Tale unificazione avvenne però solo negli anni ’60, e in questo senso Fermi può essere pensato come il precursore non solo dell’interazione debole, ma anche dell’unificazione elettrodebole, perché intuì per primo la forte analogia con l’elettrodinamica.
Oggi sappiamo che esistono dei mediatori della forza elettrodebole che sono bosoni proprio come il fotone è un bosone mediatore della forza elettromagnetica.

Il decadimento beta nella teoria elettrodebole moderna. Confronta questo disegno con quello sopra: c’è un bosone mediatore W in più. L’analogia con l’elettrodinamica, che Fermi fu il primo a intuire, è finalmente completa.

Fermi avrebbe potuto teorizzare, in linea di principio, anche questo bosone mediatore, e completare l’analogia unificando le due teorie. La sua attitudine umile e la sua volontà di spiegare i risultati sperimentali (che riguardavano la fisica delle basse energie, in cui la mediazione del bosone non produce effetti misurabili), lo spinse a non fare il passo più lungo della gamba. Ma la gamba di un gigante è comunque la più lunga che ci sia.


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Come lo spin nasce dalla relatività

Lo spin è uno dei concetti più astratti da capire in un qualunque corso base di scienza dell’atomo. Spesso se ne dà una rappresentazione “intuitiva” o “semi-classica” come il risultato della rotazione della particella intorno al proprio asse, lasciando ai più curiosi tanti, troppi interrogativi.
Un secolo di teoria quantistica dei campi ci ha invece aiutato a comprendere che la “biglia rotante” è solo un’ approssimazione (seppur molto utile) di un concetto dietro al quale si cela praticamente tutta la struttura della nostra realtà: la relatività speciale.

La scoperta che le particelle hanno uno spin è uno dei trionfi della fisica sperimentale, ma come viene interpretato lo spin nella fisica teorica moderna?

Il principio di relatività e la simmetria di Lorentz

La fisica è fatta di fenomenologia, e tali fenomeni sono studiati dagli osservatori, che possiamo essere tutti noi. Possiamo prendere righello e compasso e tracciare la traiettoria di un corpo sulla nostra personalissima cartina di coordinate.
Un osservatore è detto inerziale se può concordare con tutti gli osservatori che si muovono con velocità costante rispetto a lui su un fatto molto semplice: un corpo esente da forze si muove di moto rettilineo uniforme.
Il punto però è che:

Non esiste un osservatore inerziale più speciale di altri

Se io uso la mia cartina di coordinate, e Pino (che si muove con velocità costante rispetto a me) usa la sua cartina di coordinate, dobbiamo concordare sulle leggi della fisica dei fenomeni che stiamo osservando, per cui deve esistere una trasformazione che colleghi le mie coordinate con le sue: una traduzione da una lingua all’altra che preservi la struttura delle leggi fisiche.

Questo è quello che ci disse Galileo con il suo principio di relatività

Due osservatori inerziali descrivono lo stesso fenomeno fisico usando le loro coordinate. La traduzione che lega i due set di coordinate si chiama “Trasformazione di Galileo” e lascia invariate in forma le leggi della fisica.

Dopodiché venne Einstein e si accorse che le trasformazioni di Galileo non lasciavano invariata la velocità della luce vista da osservatori inerziali, e siccome ciò era in conflitto con le leggi dell’elettromagnetismo, Einstein disse che la relatività di Galileo era solo un’approssimazione di un tipo di trasformazioni di coordinate molto speciale: le trasformazioni di Lorentz

Le trasformazioni di Lorentz lasciano invariata la velocità della luce vista da tutti gli osservatori inerziali dell’universo.

Esiste quindi una struttura matematica ben precisa che permette di tradurre un set di coordinate in un altro, e tale struttura matematica lascia invariate le leggi della fisica ed anche la velocità della luce: è la simmetria di Lorentz.


Le leggi di Newton non rispettano la simmetria di Lorentz, perché sono un’approssimazione che rispetta invece la simmetria di Galileo. La relatività di Einstein ci insegna quindi a teorizzare delle leggi che rispettino la simmetria di Lorentz.

La ricerca di leggi che rispettano la simmetria di Lorentz ci ha condotto a nuova fisica e risultati confermati sperimentalmente

Simmetrie e generatori: la teoria quantistica dei campi

Nella fisica ogni simmetria genera una quantità conservata, e tale quantità può essere interpretata, matematicamente, come il generatore della simmetria.

  • La simmetria per traslazioni implica la conservazione della quantità di moto. Matematicamente una traslazione nello spazio può essere generata dalla quantità di moto.
  • La simmetria per rotazioni implica la conservazione del momento angolare. Matematicamente una rotazione nello spazio può essere generata dal momento angolare.
  • La simmetria per traslazioni temporali implica la conservazione dell’energia. Matematicamente l’evoluzione temporale può essere generata dall’energia di un sistema.
  • …..

e così via.
La relatività di Einstein ha postulato che il mondo debba rispettare una simmetria molto speciale: la simmetria di Lorentz. In questo caso la quantità conservata è una sorta di combinazione tra momento angolare e quantità di moto, che diventano quindi i generatori matematici della simmetria.

Questi generatori soddisfano alcune regole di composizione matematica, e tale fatto permette di rappresentarli in alcuni spazi molti speciali di oggetti matematici. Tali oggetti possono poi essere usati per descrivere i campi delle particelle quantistiche.

Il punto è che gli oggetti che vivono negli spazi delle rappresentazioni dei generatori di simmetria, trasformano in un modo ben specifico sotto la simmetria di Lorentz: questo permette di classificarli.

Siccome i fisici classificano le cose in base a come si comportano sotto le simmetrie, questo fatto ha permesso di catalogare tutte le particelle rivelate sperimentalmente.

Lo spin

Le diverse rappresentazioni dei generatori della simmetria di Lorentz possono essere catalogati con degli speciali numeri interi o semi-interi

E sono questi numeri a decidere in che modo speciale deve trasformare l’oggetto delle rappresentazione
j-esima sotto la simmetria di Lorentz.

Il passo successivo è costruire, per ciascun oggetto che trasforma nel suo modo speciale, una teoria invariante di Lorentz: una teoria di campo i cui quanti di eccitazione sono proprio particelle che, sperimentalmente, interagiscono con il mondo proprio in base al numerino speciale j, altrimenti detto spin.

I campi costruiti con gli oggetti degli spazi j descrivono le particelle che conosciamo:

  • Le particelle con spin j=0: come il bosone di Higgs
  • Le particelle con spin j=1/2: come gli elettroni, i protoni ecc.
  • Le particelle con spin j=1: come il fotone.

Lo spin è quindi un modo per dire “come trasforma quella particella sotto simmetria di Lorentz”?

Le rappresentazioni j della simmetria continuano fino a infinito, nulla lo vieta. Tuttavia non abbiamo ancora osservato sperimentalmente particelle elementari con spin superiore a j=1.


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Da dove nascono i princìpi di conservazione della Fisica?

La parola “conservazione” è una delle più ripetute su tutti i libri di fisica, ed è una delle prime parole prettamente “teoriche” imparate da bambini, a cui viene insegnata la “conservazione della massa” e dell’energia ancora prima di arrivare al liceo.
Quello che però non gli viene insegnato è il “perché” la scienza sia governata da princìpi di conservazione, ma c’è poco da biasimare: nessuno lo sa. Tuttavia la fisica teorica dell’ultimo secolo ha trovato il modo di interpretare matematicamente questo fatto, e il risultato è delizioso, ma ha a che fare con due concetti fondamentali: la trasformazioni e la simmetria sotto trasformazioni.

Trasformazioni e simmetrie

Detto in soldoni la fisica studia il comportamento dei sistemi sotto particolari tipi di trasformazione.

Se a un fisico presenti un qualsiasi oggetto, la prima cosa che gli interessa è controllare come reagisce l’oggetto sotto una trasformazione.

Un esempio di oggetti che possiamo descrivere con una proprietà di forma geometrica.
A sinistra un oggetto simmetrico sotto una riflessione attorno al suo asse verticale, a destra un oggetto asimmetrico sotto la stessa trasformazione.

Tutta la scienza fa ciò: prende un oggetto e ne verifica il comportamento sotto alcune trasformazioni, perché nei secoli si è capito che questo è il miglior modo per studiare il mondo che ci circonda.
Un esempio tipico di trasformazione è la rotazione spaziale: si tratta di ruotare gli oggetti attorno a qualsiasi asse passante per essi. Una volta effettuata la trasformazione ci si può chiedere quali proprietà dell’oggetto si vogliono indagare.
Ad esempio puoi prendere in mano il tuo telefono ed elencarne alcune proprietà:
La prima proprietà può essere quella ontologica: il telefono è un telefono perché è costruito in modo da funzionare come un telefono. La seconda proprietà può essere funzionale: la facciata del telefono ha funzione di touchscreen, mentre il retro non ha questa funzione. Una terza proprietà può essere la forma geometrica: un telefono è rettangolare.

Eseguiamo una trasformazione: ruotiamo il telefono di 180 gradi rispetto al suo asse verticale, cioè giriamolo in modo che ora il retro sia rivolto verso di noi.

Una volta ruotato il telefono possiamo chiederci: come sono cambiate le proprietà che avevamo elencato?

  • La prima proprietà non può variare: un telefono rimane tale indipendentemente da che angolo lo guardi.
  • La seconda proprietà varia, perché ora non puoi usare il touchscreen sul retro.
  • La terza proprietà non varia: un telefono rimane di forma rettangolare anche se ruotato.
La forma geometrica di una sfera è simmetrica sotto qualsiasi rotazione.

Possiamo quindi classificare il telefono come un oggetto le cui proprietà variano in questo modo sotto una rotazione spaziale di 180 gradi attorno al suo asse verticale.
I fisici teorici lavorano così.

Se una certa proprietà rimane uguale a se stessa sotto una trasformazione, diremo che quella proprietà è una simmetria sotto quella trasformazione.

La simmetria è una “immunità” a una certa trasformazione.

Facciamo un altro esempio. Consideriamo la sfera in figura, caratterizzata da un simbolo a forma di stella sulla sua superficie. Questa sfera può essere caratterizzata da due proprietà: la sua forma geometrica e la posizione della stellina. Potremmo classificare questo oggetto chiamandolo anche “sfera con una stellina in alto a sinistra”.

È intuitivo che sotto qualsiasi rotazione la sfera rimanga una sfera ai nostri occhi, ma la proprietà “stellina in alto a sinistra” cambia in base al tipo di rotazione. Ad esempio se riflettiamo la sfera attorno al suo diametro orizzontale, ora la proprietà cambierà in “sfera con stellina in basso a sinistra”.

La lezione da portare a casa è che non tutte le proprietà con cui possiamo descrivere un oggetto rimangono invariate sotto una trasformazione, e non c’è nulla di male in ciò. Una simmetria va sempre riferita al tipo di trasformazione effettuato.
Possiamo dire che una sfera è simmetrica sotto rotazione, ma non possiamo dire che “sfera con stellina in alto a sinistra” rimane simmetrica sotto qualsiasi rotazione, ma magari solo per rotazioni di 360 gradi.

La conservazione e il teorema di Noether

Una classe speciale di trasformazioni in fisica sono le traslazioni. Possiamo considerare un certo sistema e segnare la sua posizione tramite degli assi cartesiani. In questo modo possiamo elencare alcune proprietà: ad esempio la massa dell’oggetto e la sua interazione con l’ambiente circostante, il suo moto ecc.

Una particella in uno spazio completamente vuoto e identico in ogni suo punto.

Per essere concreti consideriamo una particella in uno spazio completamente vuoto e identico in ogni suo punto. Siccome lo spazio è vuoto ed identico in ogni suo punto, se spostiamo la particella in un altro punto le sue proprietà di moto non possono variare, altrimenti significherebbe che una qualche posizione spaziale è più speciale di altre, in contraddizione con l’ipotesi di spazio identico.
Non solo la proprietà di “particella” rimane invariata sotto la traslazione spaziale, ma anche le sue proprietà di moto.

La simmetria delle proprietà di moto viene chiamata quindi “conservazione” di una certa quantità, che in questo caso è la quantità di moto: una particella, come ci diceva Galileo, prosegue indisturbata nel suo moto rettilineo in assenza di forze, o rimane ferma se era già ferma.

Se invece ci fosse una forza, generata da una sorgente localizzata nello spazio, allora perderemmo l’equivalenza dei punti spaziali: non può esserci conservazione della quantità di moto, perché la quantità di moto varia in base alla forza applicata.

Non tutte le proprietà rimangono simmetriche sotto una certa trasformazione. Supponiamo però che ora la sorgente di forza abbia una simmetria circolare, cioè che la forza sia la stessa lungo una circonferenza immaginaria centrata attorno alla sorgente.
In tale modo abbiamo ottenuto una simmetria sotto rotazioni attorno all’asse della sorgente. Per via di questa simmetria la traiettoria della massa è influenzata allo stesso modo indipendentemente da che angolo formi rispetto alla posizione della sorgente, ciò consente la conservazione di un’altra proprietà di moto: il momento angolare.

Abbiamo perso la conservazione della quantità di moto, ma abbiamo guadagnato la conservazione del momento angolare, che nasce da un’altra simmetria del sistema sorgente-particella.

Emmy Noether, fisica matematica tedesca. Nel 1915 pubblicò uno dei risultati più spettacolari della fisica teorica.

Il pattern è chiaro: una certa simmetria spaziale di un sistema fisico genera la conservazione di una certa proprietà del suo moto, e questo è il contenuto del teorema di Noether. Il risultato è spettacolare:

Le leggi di conservazione nascono dalle
simmetrie.


Emmy Noether era contemporanea di Einstein, il quale proprio in quegli anni ci insegnò che spazio e tempo devono fare parte di un unico concetto: lo spaziotempo. Se consideriamo le traslazioni spaziali dobbiamo quindi considerare anche le traslazioni temporali e studiare le trasformazioni dei sistemi fisici sotto tali traslazioni.

Il principio di conservazione dell’energia nasce proprio dalla simmetria sotto traslazioni temporali: se le interazioni di un sistema non variano nel tempo, deve conservarsi il suo contenuto energetico.

Energia e quantità di moto sono quindi due proprietà di un sistema che rimangono invariate sotto una traslazione temporale per la prima, e spaziale per la seconda.

Ciò aprì le porte alla fisica delle simmetrie, che ha permesso la classificazione di tanti tipi di interazione, con le relative particelle mediatrici. Infatti molti oggetti della fisica vengono classificati semplicemente in base a come trasformano: il modo che abbiamo di distinguere un processo di interazione da un altro è proprio osservarne il comportamento sotto trasformazioni. Nel tempo sono state studiate tante altre simmetrie:

  • La simmetria di inversione spaziale.
  • La simmetria di inversione temporale.
  • La simmetria sotto cambi di coordinate.
  • La simmetria sotto cambi di sistemi di riferimento inerziale.
  • ….

e da ciascuna di queste simmetrie è nata una teoria capace di spiegare i risultati sperimentali. Ad esempio la richiesta di simmetria di alcune quantità fisiche sotto un cambio di coordinate tra due sistemi in moto uniforme ha condotto alla relatività di Einstein. Oggi le nuove teorie della fisica vengono costruite sui princìpi di simmetria.



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L’equazione più importante della fisica: perché tutto è un oscillatore armonico?

Spesso tra colleghi fisici ci si scherza sopra: “tutto, ma proprio tutto è un oscillatore armonico!”.
In realtà questa non è proprio un’esagerazione: in un certo senso, sotto alcune approssimazioni, tantissimi sistemi fisici hanno lo stesso comportamento di un oscillatore armonico.

Alcuni esempi:

  • Il pendolo oscilla
  • Le corde di una chitarra oscillano
  • Un liquido in un tubo a U oscilla
  • I pianeti seguono una traiettoria che riferita a una certa coordinata è un’oscillazione
  • La corrente elettrica in un circuito di una radio oscilla
  • Gli atomi oscillano
  • Gli elettroni sono delle oscillazioni di un certo campo fermionico

Cos’è un oscillatore armonico?

Tutti siamo familiari con il moto di una massa collegata a una molla: se tendiamo la molla e la lasciamo andare, la massa inizierà ad oscillare perché richiamata dalla forza elastica. Questa oscillazione è detta armonica perché è un’oscillazione perfetta, cioè segue l’isocronismo: il tempo che impiega la massa a fare avanti e indietro è indipendente da quanto è stata tesa la molla all’inizio. Questa proprietà permette di risolvere con estrema semplicità il moto di un sistema fisico.


L’equazione di un oscillatore armonico è la seguente

Questa è un’equazione differenziale che desidera essere risolta da una particolare funzione x(t) che rappresenta la traiettoria della massa nel tempo. Se non sai cos’è un’equazione differenziale, non preoccuparti, non è questo il punto del discorso.
Ti basta sapere che la soluzione x(t) è proprio un’oscillazione, cioè una funzione seno o coseno, avente una frequenza ω.

La traiettoria oscillante x(t) in funzione del tempo t.

La grande notizia è questa: sotto certe approssimazioni, la maggior parte dei sistemi fisici sono ben descritti da un’oscillazione!

Perché all’universo piace l’oscillatore armonico?

Le forze decidono in che modo devono muoversi i corpi.
Il motivo per cui la traiettoria della massa collegata alla molla obbedisce all’equazione differenziale dell’oscillatore armonico va ricercato nella natura dell’interazione tra la molla e la massa: la forza elastica.

In fisica tutte le interazioni possono essere descritte da un oggetto matematico fondamentale: il potenziale di interazione. Questo potenziale descrive le forze tra gli oggetti ed è specificato dall’interazione di cui si sta parlando, (ad esempio quella gravitazionale o elettromagnetica), per cui può dipendere dalle loro distanze reciproche, dalle loro masse, o dalle loro cariche elettriche.

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Per non mettere troppa carne sul fuoco consideriamo una sola dimensione spaziale x e supponiamo che l’interazione dipenda solo dalla distanza x dall’origine x=0.

Matematicamente il potenziale di interazione sarà quindi una funzione di x, che indichiamo per convenzione con U(x).

Alcuni potenziali di interazione in una sola dimensione. Solo il potenziale più a sinistra produce delle traiettorie di oscillazione armonica.

Il potenziale di un oscillatore armonico è una parabola

Il potenziale di un oscillatore armonico

Come mai ciò?
Immagina una biglia sul fondo di una scodella: se si prova a spostare la biglia verso le pareti della scodella, la biglia tornerà indietro verso il fondo e inizierà a oscillare da una parete all’altra fino a quando l’attrito non avrà consumato tutta l’energia potenziale iniziale.

La biglia vuole tornare nel fondo della scodella perché era una posizione di equilibrio stabile, ma non può più semplicemente fermarsi in quel punto dato che ha abbastanza energia cinetica da risalire nuovamente sulla parete in direzione opposta (abbiamo perturbato il suo equilibrio stabile).
Allo stesso modo una molla vuole portare il più possibile vicino a sé la massa (per raggiungere il punto di equilibrio), ma se lasciamo andare la massa da una certa posizione iniziale, essa avrà un’energia cinetica abbastanza elevata da non fermarsi nel punto di equilibrio della molla, per cui lo oltrepasserà e proseguirà fino a quando non sentirà l’interazione elastica richiamarla nuovamente, stavolta in direzione opposta.

Il punto è che il potenziale armonico è lo stesso sia per x>0 che per x<0:
la parabola è simmetrica nei due bracci

ciò consente alla molla di richiamare la massa con una simmetria direzionale perfetta: da questo nasce l’oscillazione. Tutte le interazioni che presuppongono l’esistenza di un potenziale a forma di parabola producono delle oscillazioni armoniche dei corpi.

La metamorfosi: come si diventa armonici?

La chiave che accomuna tutti i sistemi che possono essere trattati come oscillatori armonici è che debba esistere un punto di equilibrio stabile attorno a cui oscillare. Se fissiamo tale punto di equilibrio nell’origine x=0 allora grazie ai teoremi di analisi matematica abbiamo che il potenziale può essere sviluppato come un polinomio attorno a questo punto

dove teoricamente la somma continua fino all’infinito.
Il punto fondamentale è che possiamo approssimare, cioè possiamo studiare il sistema così vicino al punto di equilibrio da poter trascurare i termini polinomiali di grado superiore (in soldoni, il numero 0.01 al cubo è più piccolo di 0.01 al quadrato, e così via). Ad esempio possiamo fermarci al polinomio di grado due.

Non lasciarti distrarre dai parametri costanti F, sappi solo che dipendono dal punto attorno cui stiamo sviluppando il potenziale. In particolare nel punto di equilibrio si ha

infatti tale parametro rappresenta la forza sentita dal corpo, e per definizione di punto di equilibrio, la forza in quel punto è nulla. Quindi si annulla il primo ordine del polinomio, e se trascuriamo il terzo ordine, ci rimane proprio una parabola.

Quindi l’interazione diventa del tutto analoga a quella elastica per piccole distanze attorno alla posizione di equilibrio. Il potenziale armonico è uno dei pochissimi casi in cui sappiamo risolvere perfettamente le equazioni, per cui non solo all’universo piace oscillare, ma anche ai fisici piace descrivere interazioni molto complicate, approssimandole, quando possibile, con quelle di un oscillatore.



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Matteo Parriciatu
Matteo Parriciatu

Dopo aver conseguito la laurea in Fisica nel 2020, studia Fisica Teorica all’Università di Pisa specializzandosi in simmetrie di sapore dei neutrini, teorie oltre il Modello Standard e interessandosi di Relatività Generale.
È autore del libro “L’apprendista teorico” (2021).

Il paradosso di Putnam: il futuro esiste già rispetto a noi?

In che modo, partendo dalle trasformazioni di Lorentz, possiamo dimostrare che il futuro coesiste con il presente? Per vederlo servono alcune argomentazioni metafisiche, unite a una rapida infarinatura sui diagrammi di Minkowski.
La relatività di Einstein ci ha insegnato a vedere il mondo da un punto di vista geometrico: tempo e spazio diventano un tutt’uno chiamato spaziotempo. In tale contesto il tempo viene misurato come una distanza spaziale semplicemente moltiplicandolo per la velocità della luce “c”. Gli eventi del mondo visto da un sistema di riferimento inerziale possono quindi essere individuati (se consideriamo una sola dimensione spaziale) da due coordinate: ct e x, cioè ci basta sapere quando è successo l’evento (ct) e dove è successo, cioè la posizione (x). L’insieme di tutti gli eventi può essere descritto quindi da un diagramma di Minkowski mostrato in figura 1.

Figura 1: diagramma di Minkowski in dimensione 1+1 (una dimensione spaziale e una dimensione temporale).

In tale diagramma le rette parallele all’asse x sono l’insieme degli eventi che avvengono simultaneamente (cioè ct=costante), mentre le rette verticali sono l’insieme degli eventi che avvengono nello stesso punto (cioè x=costante). Lo spaziotempo di un osservatore situato in O è diviso in 2 macroregioni: il suo futuro assoluto e passato assoluto (cioè ct>0 e ct<0), ciò significa che potrà ricevere segnali solo se da punti spaziotemporali contenuti tra le due bisettrici:

che nel diagramma di Minkowski (x,ct) sono quindi rette inclinate di 45 gradi rispetto all’asse x.

Se consideriamo un secondo osservatore inerziale in moto con velocità v, ci interessa di solito sapere con quali coordinate egli veda il mondo interno a sé, e magari esprimerle in funzione di quello che vede un altro osservatore inerziale (in Fisica è fondamentale saper tradurre cosa vedono due scienziati che usano coordinate diverse per descrivere la stessa cosa).

Come otteniamo questa trasformazione di coordinate tra i due osservatori? Le coordinate (ct’,x’) del secondo osservatore rispetto al primo si ottengono con le trasformazioni di Lorentz

in cui

Assumiamo che v sia la velocità relativa tra i due osservatori inerziali


Come si muove l’origine O’ , e cioè i punti x’=0 e ct’=0 del secondo osservatore, nelle coordinate del primo?
Sostituendo nella trasformazione di Lorentz, la traiettoria di O’ nel diagramma dell’osservatore O (cioè il suo asse verticale x’=0) è rappresentato dalla retta

cioè una retta che ha un’inclinazione 1/β rispetto all’asse x (come se avessimo una retta x=3y sul piano cartesiano (x,y) che ha quindi coefficiente angolare 1/3). Siccome nulla può superare la velocità della luce, è sempre v<c e allora è sempre β<1 , quindi

cioè le traiettorie degli osservatori inerziali sono sempre rette con inclinazione maggiore di 45 gradi, come detto prima (in modo da farle stare all’interno della regione del futuro assoluto).
Il diagramma di Minkwoski del secondo osservatore rispetto al primo sarà quindi dato graficamente da

Il punto focale è proprio il fatto che ora la linea di simultaneità degli eventi per il secondo osservatore è una retta parallela al suo asse ct’=0 (ovvero l’asse x’), ma tale asse ct’=0 ha invece un’inclinazione rispetto all’osservatore originale, cioè non è parallela rispetto al suo asse x, quindi tali eventi non sono simultanei per l’osservatore originale: nella relatività di Einstein gli osservatori non devono per forza concordare sulla simultaneità degli eventi.

Simultaneità e realtà per Putnam

Facciamo ora il gioco metafisico di Putnam per divertirci.

Ipotesi:

Diremo che un evento è ontologicamente reale rispetto a noi, se e solo se questo evento è simultaneo a noi. Questa definizione è piuttosto innocua ed è facile che metta d’accordo tutti. In realtà non è così innocua. Prendiamo un osservatore in moto con velocità v, che al nostro tempo t=0 si trova a una certa distanza da noi, cioè supponiamo che la sua origine O’ sia simultanea rispetto alla nostra origine O.

Come abbiamo visto dalle trasformazioni di Lorentz, gli assi minkowskiani del secondo osservatore sono inclinati rispetto a noi, quindi è possibile che la linea di simultaneità individuata da ct’=0 possa intersecare il futuro assoluto dell’evento collocato in O nel sistema di coordinate originale, ad esempio in un punto A.

Ma ct’=0 corrisponde proprio all’asse x’, il quale include, tra tutti gli eventi, ovviamente anche l’origine O’ . Ma tale origine era per costruzione simultanea a O, quindi se la simultaneità è transitiva allora il fatto che A sia simultaneo ad O’ e che O’ sia simultaneo a O, implica che O debba essere simultaneo ad A, cioè a un evento del suo futuro assoluto.

Per quanto sembri assurda, questa costruzione è geometricamente permessa, come si vede in figura, dalla metrica dello spaziotempo minkowskiano.

Se ora usiamo la condizione di Putnam, cioè che un evento è ontologicamente reale rispetto a noi se e solo se è a noi simultaneo, allora dobbiamo concludere che il nostro futuro esiste già rispetto a noi: futuro e presente coesistono.
Notiamo quindi come un’assunzione innocua, come dire “se un evento è a me simultaneo, allora coesiste con me”, possa portare, nel contesto della relatività, a un paradosso di proporzioni enormi.
L’argomento è più metafisico che fisico, ed è dibattuto ancora oggi nella corrente dell’eternalismo. Per maggiori informazioni su questo affascinante dibattito: Hilary Putnam: Time and Physical Geometry.


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