Categoria: Elettromagnetismo

“Smarriti nella matematica”? Gli ultimi tristi anni di Albert Einstein

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Gli ultimi anni della vita di Einstein furono decisamente poco memorabili (scientificamente parlando). Il più grande fisico del XX secolo fu un po’ vittima dei suoi enormi successi giovanili, i quali lo condussero verso un isolamento intellettuale sempre più marcato.

Einstein sognava di unificare gravità ed elettromagnetismo in un unica, elegante “teoria del tutto”. Ovviamente nella sua epoca non si conoscevano ancora le forze nucleari debole e forte.

Uno dei motivi di questo isolamento era che Einstein rigettava la formulazione convenzionale della meccanica quantistica, che secondo lui era una teoria incompleta, esteticamente “sgraziata” e complicata.
Purtroppo il 99% della ricerca in fisica fondamentale dagli anni 20′ in poi si basava invece proprio sulla meccanica quantistica, quindi Einstein aveva ben pochi alleati su questo fronte.

Un altro motivo era dovuto a una sua ossessione: aveva il sogno di unificare due forze fondamentali, gravità ed elettromagnetismo. Queste due forze erano descritte da quelle che allora erano due teorie classiche di campo molto mature (classiche nel senso che non erano “quantizzate”. La quantizzazione dell’elettromagnetismo fu accuratamente ignorata da Einstein…)

Questa sua ossessione si fondava sul credere che la Natura avesse in serbo una teoria “elegante”, scritta con una matematica “bellissima” che lui era intenzionato a scoprire.


Effettivamente le teorie classiche di gravità ed elettromagnetismo erano due teorie, per certi versi, abbastanza simili (almeno nei temi).

Infatti la Relatività Generale di Einstein e l’Elettrodinamica classica possono essere entrambe costruite richiedendo che le loro equazioni rimangano invariate dopo che si eseguono certi tipi di trasformazioni sui loro campi fondamentali.

La ridondanza elettromagnetica

Il potenziale elettromagnetico quadri-dimensionale con cui viene formulata l’elettrodinamica (che chiamiamo A_\mu) presenta al suo interno un eccesso di informazioni. Che significa? Significa che per formulare l’elettromagnetismo è sufficiente un numero inferiore di parametri teorici rispetto a quelli forniti dalla formulazione 4-dimensionale della teoria (che con successo concilia l’elettromagnetismo di Maxwell con la relatività speciale).

Da un certo potenziale elettromagnetico sono ottenibili, tramite una specifica trasformazione, una serie di altri potenziali elettromagnetici che tuttavia lasciano invariate le leggi di Maxwell scritte con il potenziale originale. Le conclusioni fisiche sono le stesse.

Questo eccesso di informazioni si traduce nella seguente affermazione: il potenziale quadri-dimensionale può essere “traslato” nello spazio-tempo di una certa quantità, e la conseguenza è che l’elettromagnetismo rimane invariato.

Le equazioni non cambiano, la Fisica è la stessa.


Il motivo di ciò fu spiegato dalla teoria quantistica dei campi: quello che succede è che il fotone (la particella mediatrice dell’interazione elettromagnetica) ha massa nulla, e questo fa tutta la differenza del mondo in relatività speciale, perché può quindi muoversi alla velocità della luce (non è un grande sorpresa per te che la luce si muova alla velocità della luce).

I parametri che partecipano alla Fisica dell’elettromagnetismo si chiamano “stati di polarizzazione” (avrai sentito parlare degli occhiali polarizzati, ecco quel “polarizzato” si riferisce alla volontà di sfruttare le polarizzazioni della luce a proprio piacimento). La polarizzazione è per convenzione la direzione di oscillazione della campo elettrico di un’onda elettromagnetica (chiamata comunemente “luce”).

Dal punto di vista teorico, gli stati di polarizzazione possono essere studiati mettendoci nel sistema di riferimento in cui la particella mediatrice è ferma. Questi stati di polarizzazione hanno a che fare con la seguente domanda: che succede se ruoto il campo della particella nel suo sistema di riposo?
Il modo in cui il campo risponde alle rotazioni ci dà un’indicazione sui suoi stati di polarizzazione.

La quantità di moto di un oggetto fermo è nulla (per definizione di oggetto fermo), quindi se ruotiamo i nostri assi cartesiani la quantità di moto rimane la stessa (cioè nulla). Che furbata, eh? Beh questa libertà di ruotare le tre dimensioni si traduce in tre possibili stati di polarizzazione della particella.

Una rotazione attorno ad un asse è specificata da due componenti su un piano. In figura stiamo ruotando attorno all’asse z. Immagina che l’asse z sia la direzione di propagazione del fotone.

Il problema con il fotone è che avendo massa nulla si muove alla velocità della luce e quindi per via della relatività speciale non c’è modo di mettersi in un sistema di riferimento in cui il fotone è fermo: per ogni osservatore la velocità della luce è la stessa! Non riusciremo mai ad andare abbastanza veloci da vedere un fotone fermo! Il valore della velocità della luce non dipende in alcun modo dalla velocità di chi la misura.

Il meglio che possiamo fare è puntare il nostro asse cartesiano nella direzione di propagazione del fotone e studiare le rotazioni dei suoi stati attorno a questo asse. Le rotazioni attorno a un asse avvengono in un piano, il quale, essendo bidimensionale, è rappresentato da due parametri invece che tre. Quindi il fotone è specificato da solo due possibili stati di polarizzazione: solo due stati su tre partecipano alla Fisica dell’elettromagnetismo.

Che ce ne facciamo del terzo parametro che non utilizziamo? Ecco cosa intendevo con “eccesso di informazioni”. In soldoni, quella libertà viene tradotta dicendo che se aggiungiamo (o sottraiamo) al potenziale elettromagnetico una certa quantità arbitraria (la derivata di una funzione che chiamiamo \Lambda), le leggi della Fisica non cambiano. A scopo illustrativo questa è la trasformazione di cui parlo:

Il potenziale viene trasformato sottraendolo alla derivata di una funzione \Lambda. In gergo si parla di “trasformazioni di gauge”.

Dalla richiesta che la fisica non cambi se al potenziale elettromagnetico A_\mu aggiungiamo quella funzione arbitraria \partial_\mu \Lambda, discende la struttura matematica (con tanto di conseguenze fisiche) dell’elettromagnetismo.

Questo concetto è molto elegante: dalla richiesta che ci sia una certa ridondanza nella descrizione dei campi della teoria, discendono le equazioni che descrivono la realtà fisica.

So che risulta astratto da capire, ma tra tutte le forme possibili che possono assumere le leggi della fisica, richiedere che rimangano invariate dopo una trasformazione dei “blocchetti” di cui sono composte vincola parecchio il numero di forme possibili in cui possono presentarsi, assieme alle conseguenze fisiche che predicono. È in questo senso che diciamo “da questa richiesta derivano le leggi della Fisica” .

Questa eleganza stregò (e continua a stregare) i fisici teorici dell’epoca. Einstein fu tra i più colpiti.
Lo colpì soprattutto il fatto che la sua teoria della Relatività Generale (la migliore teoria che abbiamo ancora oggi sulla gravità classica) si basava su un principio molto simile.

Le leggi della gravità di Einstein discendono dalla richiesta che le leggi stesse rimangano invariate se si esegue una trasformazione di coordinate. In sostanza, la Fisica non deve dipendere da che tipo di “unità di misura” stai usando, o non deve dipendere dal fatto che il tuo laboratorio risulti ruotato in una certa direzione rispetto al centro della galassia (per esempio).

A grandi distanze dalla sorgente del campo gravitazionale, che chiamiamo h_{\mu\nu}, la trasformazione di coordinate del campo (la quale viene indicata con il simbolo \partial_\mu \epsilon_\nu) ha la seguente forma:

Magari non sarai familiare con la notazione degli indici spazio-temporali \mu,\nu , ma il punto della faccenda è notare la somiglianza (chiudendo un occhio) con la trasformazione del potenziale elettromagnetico:

Elettrodinamica (sopra) e gravità (sotto) a confronto. Entrambe queste trasformazioni hanno la proprietà di lasciare invariate le leggi della Fisica.

Secondo Einstein, questa somiglianza era una chiara indicazione che doveva esistere una teoria più fondamentale in grado di racchiudere gravità ed elettromagnetismo in un unico, elegantissimo linguaggio matematico.

Risulta interessante il fatto che non fu lui ad arrivare per primo ad un possibile tentativo di unificazione. La teoria di Kaluza-Klein nacque praticamente subito dopo la Relatività Generale, ed Einstein ne rimase estasiato.

Il primo tentativo di unificazione

La Kaluza-Klein si basava sul postulato che allo spaziotempo (già 4-dimensionale) dovesse essere aggiunta un’ulteriore dimensione, portando il totale a cinque. Questa dimensione sarebbe tuttavia troppo piccola per potere avere riscontri sperimentali, e la sua utlilità consiste unicamente nel fatto che in questo modo è possibile unificare gravità ed elettromagnetismo in un’unica elegante equazione di partenza.

La quinta dimensione nella teoria di Kaluza-Klein.

Tutti noi per disegnare un punto su un foglio ruotiamo leggermente la punta della penna per tracciare dei piccoli cerchi concentrici attorno a un punto fisso. Secondo la teoria Kaluza-Klein la quinta dimensione si nasconde nel bordo di ogni cerchio che circonda ciascun punto dello spaziotempo. Questi cerchi hanno un raggio R piccolissimo, molto più piccolo di qualsiasi scala subnucleare, questo è il motivo per cui non si osservano effetti fisici di tutto ciò.

Sfortunatamente la teoria della quinta dimensione ha serie difficoltà teorico-fenomenologiche: ad esempio ignora completamente l’esistenza delle altre interazioni fondamentali come la forza debole, della quale oggi sappiamo che a una certa scala di energia si unisce alla forza elettromagnetica per formare l’interazione elettrodebole.
Chiaramente Kaluza e Klein, avendo formulato la teoria nei primi anni ’20 , conoscevano solo la gravità e l’elettromagnetismo, per cui a detta loro (e anche di Einstein) la teoria era molto promettente.

Furono proprio le scoperte delle altre due forze fondamentali (quelle nucleari debole e forte) a far cadere nel dimenticatoio la Kaluza-Klein per qualche decennio. La teoria quantistica dei campi produceva risultati a un ritmo elevatissimo, spazzando via come un’onda tutte le teorie classiche di campo.

Einstein, che si assicurava di non utilizzare le teorie quantistiche di campo nei suoi lavori, lavorò alla Kaluza-Klein fino agli inizi degli anni ’40. Il suo obbiettivo era di ottenere, dalle soluzioni delle equazioni di campo della teoria a cinque dimensioni, dei campi che descrivevano delle particelle cariche in grado di interagire elettromagneticamente e gravitazionalmente.


Il suo obbiettivo era anche quello di derivare in qualche modo anche la meccanica quantistica a partire dalla sua teoria classica (non quantizzata). Tutto questo era sempre in linea con il suo intuito che la teoria quantistica non fosse completa, e che dovesse derivare da qualcosa di classico e molto più profondo.

Una volta introdotta l’ipotesi ondulatoria di De Broglie, il fisico Klein (uno degli ideatori della Kaluza-Klein) era stato in grado di spiegare anche la discretizzazione della carica elettrica delle particelle, proprio grazie alla quinta dimensione. Einstein evitò con cura di utilizzare l’ipotesi di De Broglie, e non menzionò mai il risultato di Klein. Insomma, se non si era capito, Einstein non apprezzava la teoria quantistica.

In ogni caso, Einstein concluse che la teoria di Kaluza-Klein non era in grado di spiegare un fatto empirico importantissimo: la gravità è estremamente più debole dell’elettromagnetismo. Questo spinse Einstein ad abbandonare per sempre la teoria dopo il 1941.

Se ti interessa la Fisica, iscriviti alla newsletter mensile! Ho pensato di scrivere una guida-concettuale di orientamento per aiutarti a capire da dove studiare.

Continuò quindi a lavorare, assieme a pochissimi altri, a teorie matematiche molto astratte e con pochi risvolti empirici. L’obbiettivo era sempre quello di unificare elettromagnetismo e gravità.

Non che fosse in torto nel perseguire questa sua ricerca, dato che l’obbiettivo delle teorie di grande unificazione che studiamo oggi è proprio quello di conciliare gravità e teorie quantistiche di campo (quindi non solo gravità ed elettromagnetismo, ma gravità e le altre tre interazioni fondamentali. Per una breve esposizione delle quattro interazioni, rimando al mio articolo).

Tuttavia fu proprio il suo ostentato rifiuto delle teorie quantistiche di campo a isolarlo sempre di più dal panorama scientifico internazionale. Anche se avesse fatto in tempo ad assistere alla sua nascita, Einstein non avrebbe mai approvato il nostro Modello Standard: in tale modello lavoriamo con teorie quantistiche basate solo sulla relatività speciale, ignorando completamente la gravità e lasciandola da parte in un settore chiamato “Relatività Generale”.
Invece secondo lui la gravità doveva avere un ruolo di primaria importanza negli sforzi dei fisici teorici:

Cosa sarebbe la Fisica senza la gravitazione?

Albert Einstein

Lavorò alla grande unificazione fino all’ultimo dei suoi giorni, facendo fede sulla sua convinzione (appartenente a un pensiero illuminista oggi superato) che una singola mente umana è in grado di scoprire ogni mistero dell’universo.

Sono comunque sicuro che a lui piacesse parecchio ciò che faceva, e non poteva esserci una fine più lieta per il più grande fisico del secolo scorso: morire “smarrito nella matematica”.

PS. ho scritto un libro di testo che rappresenta proprio ciò che avrei desiderato leggere all’inizio dei miei studi di Fisica teorica, per renderla accessibile agli amatori e insegnare le tecniche matematiche necessarie a una sua comprensione universitaria. Si chiama “L’apprendista teorico” , dai un’occhiata per vedere di cosa si tratta. Il libro è acquistabile su Amazon.

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Matteo Parriciatu
Matteo Parriciatu

Dopo aver conseguito la laurea in Fisica nel 2020, studia Fisica Teorica all’Università di Pisa specializzandosi in simmetrie di sapore dei Neutrini, teorie oltre il Modello Standard e interessandosi di Relatività Generale.
È autore del libro “L’apprendista teorico” (2021).

Quel tremendo colloquio con Enrico Fermi che cambiò la carriera di Dyson

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Ci sono svariati motivi per cui la Scienza, pur essendo una disciplina di matrice umana e quindi predisposta all’errore, riesce sempre a raddrizzarsi. Il motivo più cruciale è la spietatezza del giudizio tra pari: l’oggettività e il metodo scientifico non guardano in faccia nessuno.

Naturalmente per garantire il continuo raddrizzamento servono grandi personalità, che devono essere la base di ogni comunità scientifica. E non parlo di “grandi personalità” solo dal punto di vista accademico, servono grandi capacità relazionali e grande onestà intellettuale, anche a costo di dire qualcosa di molto scomodo. La scienza inizia a morire quando inizia a prendere piede il pensiero di gregge, dal quale nessuno ha il coraggio di discostarsi.
A capo del gregge servono dei pastori, pochi fari nella notte, ma sempre accesi e messi nei punti giusti.

In questo contesto, qualche tempo fa sono incappato in una storia condivisa da Freeman Dyson, che è stato uno dei più importanti fisici teorici del secondo novecento. Credo che questa storia riassuma perfettamente lo stato esistenziale del ricercatore: la ricerca è un mondo appassionante in tutti i sensi, passione emotiva e passione in senso latino, “patire, soffrire”.

Un po’ di contesto storico

Un tipico processo di elettrodinamica quantistica, un fotone virtuale viene scambiato tra due elettroni.

Alla fine degli anni ’40 si era raggiunta una soddisfacente descrizione dei processi atomici. L’unica forza fondamentale del mondo quantistico allora compresa, l’elettrodinamica quantistica, aveva come ingredienti i campi fermionici come elettroni, protoni e neutroni, e il campo elettromagnetico (rappresentato dal suo quanto di eccitazione, il fotone).
Come descritto in un precedente articolo, essendo il mediatore di un’interazione a raggio d’azione infinito, il fotone ha massa nulla. Un principio di simmetria, assieme alle nozioni dell’elettrodinamica classica, ci guidano a scrivere l’interazione elettrodinamica, come spiegato in un precedente articolo, con la seguente struttura:

L’accoppiamento tra campi fermionici ψ e il campo elettromagnetico Aμ.
L’intensità dell’interazione è specificata dalla carica dell’elettrone in unità fondamentali (unità di c=ℏ=1).
Freeman Dyson (1923-2020)

A partire da questa struttura, si è in grado di calcolare tutti i processi elettromagnetici possibili, e verificare l’accuratezza della teoria confrontando i valori ottenuti con i dati sperimentali. Questa era l’occupazione di Freeman Dyson e il suo gruppo di studenti. Dyson, allora un giovanissimo professore di Fisica Teorica alla Cornell, era riuscito con il suo gruppo ad ottenere uno spettacolare accordo tra le previsioni teoriche e i dati sperimentali: l’elettrodinamica era una teoria in grado di fare previsioni molto accurate.

Dopo questi successi, nel 1951 il gruppo di Dyson era alla ricerca di altri problemi da conquistare. Uno particolarmente promettente era il problema di studiare cosa tenesse assieme i nuclei: l’interazione nucleare.
All’epoca la Fisica Nucleare era una scienza prettamente empirica: i modelli teorici erano pochi, confusi e dallo scarso potere predittivo. Quello che era certo, almeno alla scala di energia che si esplorava all’epoca, è che il mediatore della forza nucleare doveva essere massivo (per sapere perché leggi qua) perché al di fuori del nucleo la forza nucleare cessava di esistere.
Se il mediatore dell’elettrodinamica era il fotone, il mediatore dell’interazione nucleare fu individuato nel pione. L’obbiettivo era quindi fare degli esperimenti in cui si facevano collidere pioni con altre particelle nucleari, per studiarne l’interazione.

Dyson e il suo gruppo, avendo avuto così tanto successo con il modello dell’elettrodinamica, decisero che la struttura migliore per l’interazione doveva essere molto simile:

L’accoppiamento tra i campi fermionici ψ e il campo del pione ϕ.
L’intensità dell’interazione è specificata dalla costante “g” , che ha un valore molto più elevato della costante di accoppiamento elettromagnetica “e”.
Un protone ed un neutrone interagiscono scambiandosi un pione neutro.
Nota la somiglianza con il diagramma dell’elettrodinamica.


Questa teoria era conosciuta come “teoria del pione pseudoscalare” , e il gruppo di Dyson ci lavorò a tempo pieno per due anni. Dopo uno sforzo di proporzioni eroiche, nel 1953 riuscirono a produrre delle predizioni teoriche in accettabile accordo con i dati disponibili all’epoca. La carriera di alcuni studenti di Dyson dipendeva dal successo di questa teoria, dato che erano per la maggior parte dottorandi o post-doc.

I dati sperimentali con cui confrontavano le loro previsioni teoriche erano stati raccolti da uno dei migliori fisici del novecento, nonché uno dei padri fondatori della ricerca nucleare: Enrico Fermi, professore a Chicago e al tempo uno dei leader nella costruzione del Ciclotrone con cui si studiavano le interazioni nucleari.
Fermi era anche uno dei migliori fisici teorici della sua generazione, quindi Dyson pensò fosse il caso di andare a trovarlo per discutere sul successo del proprio lavoro, prima di pubblicarlo.

Enrico Fermi (1901-1954), premio Nobel per la Fisica 1938.

L’incontro con Fermi

Nella primavera del ’53, Dyson si diresse a Chicago per andare a trovare Fermi nel suo ufficio, portando con sé una pila di fogli con alcuni grafici che riproducevano i dati sperimentali calcolati dal suo gruppo.

Fermi aveva la nomea di incutere una certa soggezione, di certo non solo per la sua fama di grande scienziato, ma anche per l’acutezza del suo giudizio. Quindi è facile immaginarsi che Dyson si sentisse un po’ teso per quell’incontro.
La sua tensione si trasformò presto in soggezione quando vide che Fermi diede solo un rapido sguardo ai fogli che gli aveva portato, per poi invitarlo a sedersi e chiedergli con un tono amichevole come stessero sua moglie e suo figlio neonato.

Dopo qualche chiacchiera, improvvisamente Fermi rilasciò il suo giudizio nella maniera più calma e schietta possibile

Ci sono due modi di fare i calcoli in Fisica Teorica. Il primo modo, che io preferisco, è di avere un chiaro schema mentale del processo fisico che vuoi calcolare. L’altro modo è di avere un preciso ed auto-consistente formalismo matematico. Voi non avete nessuno dei due.

Dyson rimase ammutolito, anche se la parte più orgogliosa di lui era comunque incredula. Quindi cercò di capire cosa non andasse, secondo Fermi, con la teoria del pione pseudoscalare.

Fermi aveva un intuito fisico eccezionale su cui fondò letteralmente una scuola di pensiero in grado di far fruttare ben 8 premi Nobel per la Fisica tra i suoi studenti.

La teoria del pione pseudoscalare, secondo il suo intuito, non poteva essere corretta perché a differenza dell’elettrodinamica l’interazione era molto più intensa e nei calcoli era necessario mascherare alcune divergenze senza avere un chiaro schema fisico di quello che stesse succedendo.

Inoltre, quando Dyson gli chiese, ancora orgogliosamente, come mai secondo lui i dati fossero comunque in accordo con le sue previsioni nonostante la teoria fosse inadeguata, Fermi gli fece notare che il numero di parametri utilizzato (quattro) era troppo alto, e che con un numero così elevato fosse possibile raggiungere un raccordo tra le previsioni teoriche e qualunque dato sperimentale.

In sostanza Fermi demolì, con estrema calma e schiettezza, gli ultimi due anni di lavoro dell’intero gruppo di Dyson, composto da dottorandi e post-doc la cui carriera in quel momento dipendeva dal successo di quella teoria.

La storia diede ragione a Fermi. La teoria del pione pseudoscalare non era quella corretta, al modello delle forze nucleari mancava un pezzo fondamentale del puzzle: i quark, teorizzati da Gell-Mann il decennio successivo, quando Fermi era già morto.

Dopo quell’incontro traumatico, Dyson e il suo gruppo pubblicarono comunque il lavoro, ma abbandonarono completamente quel campo di ricerca. Negli anni successivi, ripensando a quell’evento, Dyson espresse di essere grato eternamente a Fermi per quello “schiaffo” morale, perché la sua teoria non avrebbe portato nessun frutto e avrebbe fatto sprecare preziosi anni di ricerca a lui e al suo gruppo.

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Matteo Parriciatu
Matteo Parriciatu

Dopo aver conseguito la laurea in Fisica nel 2020, studia Fisica Teorica all’Università di Pisa specializzandosi in simmetrie di sapore dei neutrini, teorie oltre il Modello Standard e interessandosi di Relatività Generale.
È autore del libro “L’apprendista teorico” (2021).

No, le equazioni di Maxwell non furono capite subito

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Se consideriamo i più importanti avanzamenti scientifici del XIX secolo, la teoria elettromagnetica di James Clerk Maxwell è seconda solo al lavoro di Darwin “l’origine delle specie”.

Tuttavia questa importanza non fu riconosciuta subito, e non parlo di qualche anno. Rimasi sorpreso quando scoprii che ci vollero circa 30 anni affinché le equazioni di Maxwell fossero capite a pieno, e che addirittura per i primi 20 anni furono praticamente ignorate.
Dopo un po’ di ricerche, ho individuato due motivi principali per spiegare ciò:

James Clerk Maxwell (1831-1879)
  • Il carico concettuale della teoria di Maxwell.
  • La modestia di Maxwell.

Il tangibile e l’intangibile

La teoria di Maxwell, pubblicata per la prima volta nel 1865, risulta ancora oggi un po’ indigesta per la maggior parte dei neofiti, figuriamoci per i fisici del 1800!
Immaginiamo il contesto culturale di questi fisici: l’universo newtoniano era composto da oggetti tangibili, in grado di interagire “a distanza” l’uno con l’altro in maniera misteriosa. Nonostante l’azione a distanza, le quantità misurabili erano tangibili, e questo era quello che contava!
Prima Faraday e poi Maxwell introdussero il giochino astratto dei “campi” intangibili che si estendono nello spazio e producono perturbazioni locali nel moto dei corpi. Per i fisici dell’epoca si trattava giusto di un giochino, un utensile fantasioso per schematizzare un meccanismo che funzionava bene anche senza.

Un disegno originale di Maxwell sulle linee di forza e le superfici equipotenziali.

Infatti i fisici classici ragionavano in termini meccanicistici perché erano figli del loro tempo, a cavallo tra la prima e la seconda rivoluzione industriale. Per loro i “campi” erano la manifestazione di strutture meccaniche composte da una moltitudine di piccoli vortici in grado di trasmettere gli stress meccanici tra cariche e correnti.

Maxwell era un visionario, ma pur sempre un fisico del 1800, per cui i campi da esso descritti avevano come fine ultimo quello di inserirsi nel contesto della teoria dei vortici. Il risultato era di una difficoltà paurosa e fu un po’ come darsi la zappa sui piedi.

Questo fu uno dei principali freni alla comprensione della teoria: per i suoi contemporanei era dannatamente complicata, difficile da visualizzare e senza nessun vantaggio rispetto al framework newtoniano.

Nel framework newtoniano il campo elettrico e il campo magnetico venivano descritti come due entità ben distinte, e la loro azione sui corpi veniva descritta con le leggi empiriche di Faraday, Lenz e Gauss, usando il concetto misterioso di forza a distanza.

Maxwell invece fece uno dei più grandi passi avanti nella Storia del Pensiero: l’interazione si propagava alla velocità della luce attraverso un certo mezzo (l’etere) sotto forma di onda elettromagnetica, e cioè di una nuova entità fisica che vede campo elettrico e campo magnetico come due facce della stessa medaglia.

Nessuno era pronto per capire la portata di questa grande unificazione. Nessuno l’aveva richiesta, e nessuno era volenteroso di imparare la matematica necessaria.

Infatti un altro problema fu che Maxwell non scrisse le sue equazioni nella forma elegante che conosciamo oggi (grazie al lavoro di Heaviside)

Sinistra: le equazioni di Maxwell originali. Destra: le equazioni di Maxwell in notazione di Heaviside.

bensì scrisse delle equazioni vettoriali componente per componente, per un totale di 20 equazioni, e con una notazione un po’ buffa. Pensa che disastro dover fare una peer review di un lavoro simile!

Quando la modestia è controproducente

È riportato che durante una conferenza Maxwell riservò alla sua teoria elettromagnetica giusto una breve menzione:

“[…] Un’altra teoria dell’elettricità che io preferisco rinnega l’azione a distanza e attribuisce l’azione elettrica alle tensioni e pressioni di un mezzo che pervade l’universo. Queste tensioni sono dello stesso tipo di quelle familiari agli ingegneri, e il mezzo è lo stesso in cui si pensa che avvenga la propagazione della luce.”

James Clerk Maxwell

Tutto qui? Tutto qui. Quando Newton scoprì le leggi della gravitazione le annunciò al mondo con un sonoro “Ora dimostrerò la struttura del sistema del Mondo”, mentre Maxwell si limita a citare il proprio lavoro con la frase “un’altra teoria che io preferisco…”


La sua modestia spinse i fisici dell’epoca a non prendere sul serio la teoria, ritardandone la comprensione per almeno 20 anni, fino ai lavori di Hertz, Lorentz e Einstein, i quali crebbero già in un contesto più amichevole al concetto di campo, per cui ai loro occhi sembrava quasi ovvio che il mondo dovesse parlare il linguaggio della teoria di Maxwell.

La transizione concettuale

La teoria di Maxwell diventa semplice e intellegibile solo quando si esegue una transizione concettuale: gli oggetti primari non sono più i modelli meccanici: le forze sono solo un ingrediente secondario, il campo elettromagnetico è l’ingrediente primario!

Ciò che è misurabile non è direttamente il campo elettromagnetico, ma una sua particolare espressione matematica: ad esempio il modulo quadro del campo rappresenta la sua energia, che è una quantità misurabile. Le quantità misurabili, a differenza della teoria di Newton, diventano una manifestazione secondaria di ciò che si nasconde dietro, il quale è molto più profondo.

Questo innovativo modo di pensare è stato replicato per tutto il XX secolo: oggi abbiamo ridotto all’osso le equazioni di Maxwell, capendole dal punto di vista della relatività di Einstein. Dalle 20 equazioni originali, passando per le 4 equazioni di Heaviside, arriviamo alla forma elegantissima di oggi, la quale le condensa tutte in due righe:

Le equazioni di Maxwell nell’elettrodinamica relativistica.

Questo è stato fatto grazie a un altro salto concettuale: il potenziale vettore del campo elettromagnetico, un tempo considerato solo come uno strumento astratto, si è rivelato come l’unico modo per trasportare l’elettromagnetismo nel reame della teoria classica dei campi. Questa necessità ha spalancato le porte alla formulazione dell’elettrodinamica quantistica e di tutta l’infrastruttura delle teorie di gauge moderne.

PS. ho scritto un libro di testo che rappresenta proprio ciò che avrei desiderato leggere all’inizio dei miei studi di Fisica teorica, per renderla accessibile agli amatori e insegnare le tecniche matematiche necessarie a una sua comprensione universitaria. Si chiama “L’apprendista teorico” , dai un’occhiata per vedere di cosa si tratta. Il libro è acquistabile su Amazon.

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Perché è stato necessario teorizzare il bosone di Higgs? Demistificando la rottura di simmetria

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Sono passati quasi 10 anni, e il bosone di Higgs rimane ancora l’ultima grande scoperta del CERN.
Per molti ciò ha chiuso un capitolo della fisica delle particelle, in quanto l’Higgs rappresentava l’ultimo pezzo del puzzle del Modello Standard, la teoria che ad oggi descrive tutto il mondo subatomico.

Il Modello Standard con tutte le particelle e i bosoni mediatori

Tuttavia rimane ancora un po’ di “misticismo” attorno al ruolo teorico giocato da questa particella, che è stata impropriamente soprannominata “la particella di Dio” in più occasioni. Il suo ruolo dovrebbe essere quello di “dare massa” alle particelle del Modello Standard, ma in che senso ciò avviene? E perché serve proprio il campo di Higgs per dare massa a un qualcosa che la massa (nel nostro immaginario) ce l’ha già di per sé?

Il campo di Higgs (da cui nasce il suo bosone come fluttuazione quantistica) non descrive un’interazione fondamentale, e non ha radici teoriche nei princìpi primi.
Ma allora, perché non potevamo fare a meno di teorizzarlo?

In realtà il campo di Higgs è uno strumento teorico che permette il funzionamento di un meccanismo ben preciso. La rivelazione sperimentale del bosone ha solo confermato che il meccanismo è stato azzeccato appieno.

Al contrario delle interazioni fondamentali, il campo di Higgs non è venuto a cercarci, siamo stati noi a invocarlo per poi verificarne l’esistenza

Vediamo quali sono i punti concettuali che hanno fatto sorgere l’esigenza del meccanismo di Higgs.

L’elettrodinamica e le simmetrie: squadra che vince non si cambia

Tra le quattro forze fondamentali, la prima che fu spiegata con una teoria quantistica di campo fu l’elettromagnetismo. Come spiegato in un precedente articolo, si scoprì negli anni ’30 che il modo più semplice per descrivere l’interazione elettromagnetica tra le particelle era quello di richiedere che la teoria fosse simmetrica sotto una particolare trasformazione che chiamiamo “θ“.
Il campo elettromagnetico è noto, nel gergo tecnico, come campo di gauge. I campi di gauge trasformano in una maniera particolare sotto la “θ“, in modo da far sì che le equazioni del moto (e quindi la Fisica del sistema) rimangano invariate.
D’altro canto, gli oggetti che compongono la teoria quantistica delle particelle (cioè i campi) non lasciano invariata la Fisica del sistema una volta che li trasformiamo sotto la “θ“. La trasformazione produce purtroppo dei pezzetti in più, e la teoria non è quindi invariante. Un modo per cancellare i pezzetti in più è quello di accoppiare il campo di gauge con il campo della particella.

La cosa stupefacente è che questo accoppiamento è perfettamente sufficiente per descrivere tutti i fenomeni di interazione tra le particelle con la teoria. Il mediatore dell’interazione diventa proprio il campo di gauge.

Abbiamo ottenuto un’interazione a partire da una questione che apparentemente non c’entrava proprio nulla, e cioè la richiesta di simmetria sotto una certa trasformazione.

Il meccanismo con cui otteniamo le interazioni in teoria quantistica dei campi

Il campo mediatore tra le particelle per una teoria di campo che conservi la carica elettrica (la quantità conservata sotto la trasformazione “θ“) è proprio il campo elettromagnetico, il cui bosone (cioè le oscillazioni del campo) è noto come fotone.

Questa tecnica di accoppiamento con un campo di gauge funzionò così bene che oggi l’elettrodinamica quantistica è ritenuta essere la teoria scientifica meglio testata di sempre.

Nel momento in cui si presentò il problema di descrivere le altre due interazioni subatomiche, cioè l’interazione debole e l’interazione nucleare forte, si decise di seguire un vecchio motto: squadra che vince non si cambia. Si cercò quindi di scrivere una teoria di campo per le interazioni a partire da princìpi di simmetria e introducendo altri campi di gauge.

L’interazione debole e il problema della massa

Per garantire la simmetria della teoria, il campo di gauge deve godere di una caratteristica fondamentale: i suoi quanti di eccitazione (cioè i suoi bosoni), devono avere massa nulla. Se il campo di gauge ha massa, non si può garantire la simmetria della teoria quantistica con la tecnica esposta sopra. Fortunatamente questa condizione è soddisfatta dal fotone, il quale ha notoriamente massa nulla.
Ma non è detto che saremo sempre così fortunati.

C’è infatti una differenza sostanziale tra interazione elettromagnetica e interazioni deboli: la prima è a raggio di azione infinito, mentre le seconde sono confinate alle dimensioni nucleari. Come spiegato in un precedente articolo, ciò significa che i bosoni mediatori delle interazioni deboli devono essere massivi, al contrario del fotone elettromagnetico, che non ha massa. Quindi se dovessimo introdurre dei campi di gauge per costruire una teoria dell’interazione usando la tecnica della simmetria, questi dovrebbero essere massivi, ma allora dovremmo sacrificare la simmetria, e quindi anche le quantità conservate che da essa derivano.

Si arrivò a un punto in cui si ritenne che il principio di simmetria di gauge fosse indispensabile per descrivere le interazioni fondamentali, quindi le teorie del Modello Standard vennero scritte usando campi di gauge senza massa, così come le particelle coinvolte.
Che cosa da pazzi, sacrificare la massa pur di avere la simmetria!

Il colpo di genio fu quello di immaginare che i bosoni di gauge, così come le particelle, acquisissero massa spontaneamente, con un particolare meccanismo alle basse energie

L’approccio è simile a quello che si usa quando si studia il moto di una particella massiva avente energia relativistica “E” data da:

“p” è la quantità di moto della particella, “m” è la sua massa.

Una particella senza massa ha energia data da “E=pc” (le particelle senza massa possono trasportare quantità di moto, come dimostrato dalle vele solari che sfruttano la pressione di radiazione). Tuttavia anche una particella massiva con grande quantità di moto può essere pensata in prima approssimazione come una particella a massa nulla

La massa può essere trascurata dentro la radice, se la quantità di moto è molto più grande di lei.

L’intenzione era quindi quella di teorizzare le interazioni fondamentali usando particelle senza massa ad alte energie, in modo da garantire la simmetria di gauge. Alle basse energie le masse sarebbero dovute emergere naturalmente, senza appiccicarcele manualmente, perché tale intervento romperebbe la simmetria di gauge accuratamente costruita. Serviva un particolare escamotage teorico affinché questo funzionasse.

Si decise di lasciare che la simmetria si rompesse da sola, spontaneamente, usando un escamotage teorico

Lungo e corto raggio: un’analogia per la rottura di simmetria

Per capire il meccanismo della rottura spontanea di simmetria a livello intuitivo, facciamo un’analogia con un sistema fisico più intuitivo, caratterizzato da una grossa simmetria.
Consideriamo il reticolo di un ferromagnete: ogni molecola del reticolo può essere pensata, per convenienza di ragionamento, come una bussola il cui “ago magnetico” punta, in una configurazione di minima energia, nello stesso verso del campo magnetico locale. Ciò succede se supponiamo che ogni ago magnetico sia a sua volta una sorgente di magnetismo e che riesca a interagire con gli aghi magnetici vicini al suo sito.
L’allineamento è contrastato dall’agitazione termica:

  • Ad alte temperature l’orientamento degli aghi magnetici è casuale, perché l’agitazione termica è ben più forte delle interazioni locali. In media troveremo tanti aghi allineati in un verso, quanti ne troveremo allineati in verso opposto, il risultato netto è una magnetizzazione nulla.
  • A basse temperature la configurazione di minima energia è quella in cui tutti gli aghi sono allineati nello stesso verso e il materiale acquista una magnetizzazione media diversa da zero.

Quale delle due situazioni ha maggiore simmetria geometrica? Si tenderebbe a pensare che sia la seconda, dato che siamo abituati a pensare la simmetria come un “grado di ordine” delle cose. Per lo stesso motivo potremmo sostenere che l’acqua sia più simmetrica quando si solidifica in ghiaccio, rispetto alla sua fase liquida.
In realtà la simmetria va pensata come segue:

“Io eseguo una trasformazione mentre tu chiudi gli occhi, quando li riapri possono succedere due cose: se vedi che il sistema è uguale a prima, allora la trasformazione era una simmetria del sistema, se invece vedi che il sistema è cambiato, quella trasformazione non era una simmetria.”


Il moto delle particelle agitate termicamente è molto più simmetrico, perché possiamo eseguire qualsiasi rotazione geometrica e il sistema rimarrà uguale a se stesso (nel nostro esempio continueranno a esserci tanti aghi magnetici allineati in qualsiasi direzione, con un risultato netto nullo). Le molecole sono così tante e in una disposizione così caotica che non avremmo modo di accorgerci di qualsiasi rotazione attorno a qualsiasi asse.

A sinistra un dipinto caotico di Marc Quinn, a destra lo stesso dipinto ruotato di 180 gradi. Difficile notare la differenza, eh?

Se ora abbassiamo la temperatura il sistema si “irrigidisce” e perde molta simmetria, gli aghi magnetici si dispongono in una situazione di energia minima allineandosi tutti, e ora una rotazione manda il sistema in se stesso solo se la eseguiamo attorno all’asse di magnetizzazione.

Il sistema ha ridotto spontaneamente la simmetria iniziale una volta scelto lo stato energetico più basso!

La simmetria non viene però semplicemente rotta e dispersa, ma viene tradotta in una certa libertà: l’allineamento degli aghi può comunque avvenire in qualsiasi direzione dello spazio in maniera casuale. Il sistema può scegliere di allinearsi lungo tantissime direzioni diverse, tuttavia una volta scelta un’orientazione si stabilizza solo in quella e in nessun’ altra. La simmetria è rotta dalla particolare scelta dell’orientamento, ma tale scelta è comunque casuale per via della simmetria globale iniziale.

In figura sono mostrati due stati di minima energia tra i quali il sistema può scegliere. Questi due stati sono differenziati da una rotazione simultanea di tutti gli aghi magnetici, ma il livello energetico è lo stesso

Non costa energia trasformare uno stato di minima energia in un altro alla stessa energia

Nel gergo della fisica teorica, se una certa interazione non costa energia, può essere descritta da un quanto di vibrazione senza massa.
Che succede se invece di ruotarli tutti assieme, ruotiamo un solo aghetto magnetico rispetto agli altri? Questo ci costerà energia! Invece nello stato di massima energia questa azione non sarebbe costata così tanta energia, per via dell’agitazione termica. Ora è come se l’interazione fosse descritta da un modo di vibrazione massivo.
Il motivo è che costa più fatica portare in cima a una collina una massa più grande rispetto a una massa più piccola. Se la massa più piccola diventa nulla, costerà nessuna fatica muoverla nel campo gravitazionale.

I modi di vibrazione che erano senza massa ad alta energia, diventano massivi a bassa energia.

L’accoppiamento con il campo di Higgs

La grossa simmetria di gauge del Modello Standard alle alte energie è composta da tre simmetrie principali, che vengono indicate con dei nomi simpatici a cui non devi badare troppo:

La simmetria di gauge del Modello Standard

Alle alte energie le interazioni deboli sono un tutt’uno con le interazioni elettromagnetiche, e in totale l’interazione elettrodebole risultante è descritta da quattro campi di gauge senza massa.
Tuttavia le interazioni deboli devono prevedere dei bosoni di gauge massivi, per fare previsioni sperimentali accurate.
Per salvare le simmetrie di gauge e al contempo avere dei bosoni di gauge massivi, i fisici teorici decisero di introdurre un’interazione ad hoc con un campo chiamato “campo di Higgs”, caratterizzato da un potenziale a forma di cappello messicano:

Il potenziale del campo di Higgs. Sulla cima del cappello l’energia è maggiore che sulla valle. Tutti i punti della valle sono alla stessa energia,.

Possiamo immaginarlo di nuovo come una collina: ciascuna particella sulla sommità preferirà rotolare verso il basso e stabilizzarsi in una situazione di minima energia. Il campo di Higgs può assumere spontaneamente una valore di minimo in ogni punto della valle nel cappello messicano.
Siccome nella teoria quantistica dei campi i valori medi sono un’indicazione del numero di particelle in un determinato stato, possiamo dire che la sommità del cappello rappresenta uno stato poco popolato con valore medio nullo del campo di Higgs, mentre la valle è uno stato densamente popolato con valore medio diverso da zero per il campo di Higgs. Popolato da chi? Da bosoni di Higgs, cioè i quanti di eccitazione del campo. Questo è analogo alla magnetizzazione degli aghi magnetici, che aveva valore medio nullo alle alte energie, mentre alle basse energie acquisisce un valore medio diverso da zero.

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Se ora accoppiamo il campo di Higgs con i campi del Modello Standard, cioè sia i campi di gauge che i campi delle particelle, abbiamo una rottura spontanea di simmetria alle basse energie.
L’accoppiamento va scelto saggiamente, perché vogliamo far acquisire massa solo ai bosoni dell’interazione debole. Per far ciò possiamo costruire il campo di Higgs in modo che trasformi come un oggetto appartenente allo spazio di simmetria SU(2), che è la simmetria caratteristica dell’interazione debole.

La simmetria iniziale di gauge da cui siamo partiti viene ora utilizzata per scegliere una posizione qualsiasi sul cappello messicano. Infatti ricordiamo: una trasformazione dei campi di gauge non cambia la fisica, e questa libertà può essere utilizzata per scegliere una determinata configurazione in cui l’universo andrà a sostare.
Ciò è analogo al modo in cui gli aghi magnetici erano liberi (per via della simmetria iniziale) di scegliere un’orientazione privilegiata a basse temperature, ed una volta scelta, si stabilivano lì.

L’accoppiamento tra i campi di gauge e il campo di Higgs fa sì che ora non tutte le direzioni di movimento sul cappello messicano siano gratuite: se volessimo risalire lungo la collina ci costerebbe un po’ di energia. Questo costo in energia viene interpretato come un modo di vibrazione massivo. I bosoni delle interazioni deboli, tramite un particolare formalismo matematico, si mischiano tra di loro per via di una particolare scelta della configurazione nello spazio della simmetria iniziale ed acquisiscono massa. Con un altro speciale tipo di accoppiamento acquisiscono massa anche le particelle del Modello Standard!

Siccome la “rottura” di simmetria avviene spontaneamente alle basse energie, abbiamo salvato la simmetria iniziale alle alte energie e le teorie di campo hanno una forma elegante e sperimentalmente solida.

Una visualizzazione pittorica del campo di Higgs e delle particelle frenate da questo “fluido universale”.

In un certo senso il campo di Higgs può essere pensato come un fluido che permea l’universo, e in questo fluido le particelle senza massa (che si muoverebbero alla velocità della luce) vengono “frenate” dal campo di Higgs come se ci fosse un certo attrito, che è il risultato dell’accoppiamento.
Il risultato è che le particelle non si muovono più alla velocità della luce, perciò hanno una massa ben precisa, predetta dal meccanismo di Higgs.

Il risultato del mixing dei campi di gauge dopo la rottura di simmetria corrisponde a tre bosoni di gauge massivi e uno senza massa.
I tre bosoni massivi corrispondono ai mediatori dell’interazione debole alle basse energie, mentre il bosone senza massa corrisponde a quello dell’elettromagnetismo, cioè il fotone.

La verifica sperimentale della massa del bosone di Higgs ha permesso di verificare con grande precisione tutte le previsioni sulle masse dei bosoni dell’interazione debole e sulle masse delle particelle del Modello Standard (con poche eccezioni come i neutrini, che rimangono ancora oggi un grande mistero).

Che mondo imperfetto sarebbe se ogni simmetria fosse perfetta!

B.G. Wybourne

PS. ho scritto un libro di testo che rappresenta proprio ciò che avrei desiderato leggere all’inizio dei miei studi di Fisica teorica, per renderla accessibile agli amatori e insegnare le tecniche matematiche necessarie a una sua comprensione universitaria. Si chiama “L’apprendista teorico” , dai un’occhiata per vedere di cosa si tratta. Il libro è acquistabile su Amazon.

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Come una simmetria fa nascere la teoria dell’elettromagnetismo

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Gran parte del lavoro della fisica degli ultimi 70 anni è stato quello di scovare nuove leggi della natura a partire da princìpi di simmetria. Un esempio di questo modo di lavorare può essere fornito andando a re-inventare la ruota, cioè analizzando l’emergere della teoria dell’elettromagnetismo (studiata e compresa da ormai un secolo e mezzo) da un principio di simmetria.

L’identikit di una simmetria

Se mi chiedessero di riassumere ciò che i fisici teorici intendono con la parola magica “simmetria” tramite l’esempio più semplice possibile, userei questo:

Stai osservando un sistema fisico e nel mentre che chiudi gli occhi eseguo una certa trasformazione del sistema in modo che quando li riapri per te non è cambiato nulla: allora quella trasformazione è una simmetria del sistema.

Esistono simmetrie più intuitive e meno astratte di altre, e quelle della meccanica quantistica sono decisamente poco intuitive. Per questo motivo la nostra strategia sarà quella di cercare delle analogie con le simmetrie geometriche, con cui abbiamo più confidenza.

Prima di poter apprezzare il discorso è però necessario passare un piccolo purgatorio di matematica dei numeri complessi, perché è li che si nasconde la simmetria che fa nascere l’elettromagnetismo.

La natura complessa della quantistica

La meccanica quantistica studia il moto delle particelle tramite le funzioni d’onda che “vivono” in uno speciale spazio matematico.
Si scoprì presto che, per riprodurre i risultati sperimentali a partire dalla teoria, tale spazio matematico doveva essere a valori complessi. Perché? Semplicemente è più facile fare i conti con i numeri complessi, ed alcune proprietà fisiche appaiono più evidenti.

In ogni punto dello spazio, il valore della funzione d’onda è rappresentato da un numero complesso: cioè una freccia sul piano di Gauss.

Se non hai molta dimestichezza col concetto di numero complesso, può aiutare un’analogia.
L’essenza matematica è molto simile a quella di un vettore sul piano cartesiano, dove con “vettore” devi sostituire “numero complesso” e con “piano cartesiano” devi sostituire “piano di Gauss”.

Le analogie non finiscono qui!

  • Proprio come un vettore, un numero complesso può allungarsi, accorciarsi, ribaltarsi, e in generale ruotare sul piano di Gauss.
  • La lunghezza di un vettore è un numero reale ed è chiamata in gergo ”modulo”.
  • La “lunghezza“ di un numero complesso è un numero reale ed è chiamata in gergo ”modulo”.

I numeri complessi godono però di alcune proprietà aggiuntive che tornano molto comode nei calcoli, per cui vanno in ogni caso ben distinti dai vettori.

Nota bene: ciò che calcoliamo dalle misure negli esperimenti sono i numeri reali, non i numeri complessi.
Per questo motivo la funzione d’onda di una particella è stata interpretata dai fisici come un numero complesso il cui modulo al quadrato restituisce un numero reale che è la densità di probabilità

La funzione d’onda di una particella è un numero complesso il cui modulo al quadrato (numero reale) viene interpretato come la probabilità di trovarla in un certo punto dello spazio.

dove la probabilità è in un certo senso ciò che si manifesta sperimentalmente, e quindi è la connessione tra mondo teorico e mondo degli esperimenti. Tutti i calcoli della meccanica quantistica hanno lo scopo di arrivare a una stima della probabilità.

La cosa interessante è che la definizione di probabilità come modulo quadro della funzione d’onda ci lascia una certa libertà: potremmo moltiplicare la funziona d’onda per un altro numero complesso “z” avente modulo uguale a uno, e la probabilità rimarrebbe la stessa

Se il numero complesso z ha modulo uguale a uno, la sua moltiplicazione con la funzione d’onda non ha alcun effetto sulla probabilità.

Dal punto di vista del mondo reale non è cambiato nulla (la probabilità è la stessa), ma dal punto di vista matematico la moltiplicazione per il numero “z” ha trasformato, in ogni punto dello spazio, il valore della funzione d’onda.

“Trasformato? Che vuol dire? Non è un semplice prodotto algebrico quello che abbiamo appena visto?"

Lo sarebbe se stessimo parlando di numeri reali. Tuttavia una proprietà molto interessante dei numeri complessi è che quando li moltiplichiamo tra loro otteniamo una rotazione sul piano di Gauss.
La trasformazione prende il nome gergale “trasformazione di fase”.

Il numero complesso A viene ruotato di un angolo pari all’inclinazione del numero complesso B. Il risultato è un numero complesso AB ruotato.

La matematica della meccanica quantistica ci dà la libertà di trasformare il valore complesso delle funzioni d’onda in ogni punto dello spazio, senza intaccare la probabilità di osservazione che esse descrivono.

L’atto di trasformare un oggetto con il risultato di lasciare intatta una certa quantità (come la probabilità che osserviamo) corrisponde proprio all’identikit di una simmetria. 

“Non mi convincono troppo queste parole altisonanti. “Simmetria" mi fa pensare più a una cosa geometrica, mentre mi pare di capire che qui siano solo astrazioni matematiche..."

Però abbiamo appena visto che la trasformazione di fase è parecchio analoga a una rotazione!

“Vorrai mica dire che c'è un modo per rendere più intuitive tutte queste astrazioni?"

Le interpretazioni di una simmetria: la teoria dei gruppi

Considera un quadrato disteso su un piano e immagina di chiudere gli occhi mentre io ruoto il quadrato di 5 gradi. Quando riapri gli occhi sei in grado di capire se ho eseguito una rotazione o meno?

Il quadrato iniziale (linea tratteggiata), e il quadrato dopo la rotazione di 5 gradi (linea continua).
“Mi prendi per uno stolto? Il quadrato ora è diverso da prima, è un po' più storto! Come fai a pretendere che non mi accorga della trasformazione?"

Ciò è successo perché la trasformazione “rotazione di 5 gradi” non è una simmetria del quadrato. Il quadrato non è rimasto identico a se stesso.

Un quadrato rimane identico a se stesso se invece lo ruotiamo per alcuni angoli speciali:

  • Possiamo non fare nulla, cioè ruotarlo di 0 gradi, e il quadrato rimane identico a se stesso.
  • Possiamo ruotarlo di 90 gradi e il quadrato rimane identico a se stesso.
  • Possiamo ruotarlo di 180 gradi e il quadrato rimane identico a se stesso.
  • Possiamo ruotarlo di 270 gradi e il quadrato rimane identico a se stesso.

In sostanza se io avessi eseguito una qualsiasi delle suddette rotazioni mentre tenevi gli occhi chiusi, dopo non saresti in grado di dirmi se io abbia trasformato il quadrato o meno.
In gergo gli angoli {90, 180, 270, 0} formano un gruppo: il gruppo di simmetria del quadrato.

Una rotazione di 90 gradi lascia il quadrato identico a se stesso.

Il nome “gruppo” si riferisce al fatto che se eseguissi due trasformazioni consecutive usando gli elementi del gruppo {90, 180, 270, 0} otterrei comunque una trasformazione che lascia invariato il quadrato, e quindi tale trasformazione deve fare anche lei parte del gruppo {90, 180, 270, 0}.
Ad esempio se ruoto di 90 e poi ruoto di 180, ottengo una rotazione totale di 270, che è un elemento del gruppo. Se ruoto di 270 e poi ruoto di 180 ottengo una rotazione di 450 gradi, che equivale a 90 gradi. Il gruppo è una “società chiusa“.

Spingendoci un po’ più sull’astratto desideriamo che un gruppo di simmetria, per ritenersi tale ai nostri occhi, abbia queste proprietà importanti:

  • Chiusura: se due elementi appartengono al gruppo, allora anche la loro composizione (cioè applico prima l’uno e poi l’altro) appartiene al gruppo. Lo abbiamo appena visto con le rotazioni.
  • Esistenza dell’identità: anche la trasformazione “non faccio nulla” deve appartenere al gruppo. Come ben sai, il “fare nulla” lascia le cose uguali a come erano prima.
  • Esistenza dell’inverso: se ruoto di 90 gradi e poi voglio tornare indietro, posso ruotare di altri 270 gradi e fare quindi un angolo giro di 360 gradi per tornare da dove ero partito. La composizione 90+270 equivale al “non fare niente”. Quindi diremo che l’elemento 270 gradi è la trasformazione inversa della rotazione di 90 gradi.

Il gruppo di simmetria del quadrato ha, come hai visto, pochi elementi. Esistono però gruppi con un numero infinito di elementi. Considera ad esempio un cerchio

Nel caso del cerchio qualsiasi angolo di rotazione è un elemento del gruppo di simmetria. Se chiudessi gli occhi e io ruotassi il cerchio di 13.42 gradi, dopo non sapresti dire se io abbia eseguito la rotazione o meno.
Il gruppo di simmetria del cerchio è definito da un angolo che può assumere infiniti valori.

“Tutto molto elegante, ma quindi? Non stavamo parlando di trasformazioni di fase?"

Le trasformazioni di fase: il gruppo U(1)

Abbiamo visto che le trasformazioni di fase che si fanno sulle funzioni d’onda sono delle rotazioni nel piano di Gauss, e la notizia è che sono molto simili al gruppo di simmetria del cerchio. Il loro collettivo ha un nome speciale: gruppo U(1).

Un elemento del gruppo può essere rappresentato da un esponenziale avente come esponente l’angolo di cui si sta facendo la rotazione.

“i” è l’unità immaginaria dei numeri complessi: la radice quadrata di -1.

Questa rappresentazione esponenziale degli elementi del gruppo rende più evidenti le proprietà dei gruppi elencate sopra:

Quindi la trasformazione di fase U(1) ha pieno diritto di essere considerata un gruppo di simmetria.

Quando trasformiamo una funzione d’onda moltiplicandola per un elemento del gruppo U(1), stiamo ruotando il suo valore sul piano complesso in ogni punto dello spazio in cui la funzione d’onda è definita. Se facciamo il modulo quadro di questo prodotto, l’effetto è quello di effettuare una rotazione inversa: la composizione delle due cose restituisce l’identità, cioè il non fare niente. 

“Continuo a non capire perché porre tanta enfasi sulle simmetrie. È un accidente matematico e nulla di più, perché perderci tutto questo tempo?"

Il motivo di tanta enfasi è il teorema di Noether.

Simmetrie e conservazione

Il teorema di Noether garantisce che per ogni simmetria debba esserci una quantità conservata. Ad esempio se un sistema fisico ha lo stesso gruppo di simmetria del cerchio, la quantità conservata è il momento angolare nel tempo.

È lecito chiedersi quale quantità conservata si nasconda dietro la simmetria U(1).

La teoria della relatività impone che la teoria più semplice per la descrizione di una particella libera sia quella di Dirac

La teoria di Dirac per una particella libera di spin 1/2 e massa m.

Dove la parte di sinistra descrive un cambiamento della funzione d’onda nello spaziotempo, e la parte di destra descrive la massa “m” della particella.

La parte sinistra della teoria di Dirac coinvolge una derivata rispetto alle coordinate spaziotemporali, cioè calcola le variazioni della quantità su cui agisce. In questo caso agisce sulla funzione d’onda a destra.

La teoria di Dirac è stata costruita in modo da essere simmetrica rispetto a una trasformazione di fase globale. Le due funzioni d’onda scritte sopra trasformano infatti in modo opposto sotto una trasformazione U(1)

In modo che il loro prodotto rimanga invariato

La trasformazione di fase globale, ripetiamo ancora una volta, ha l’effetto di ruotare simultaneamente in ogni punto dello spaziotempo il valore della funzione d’onda nel piano di Gauss. In sostanza il valore dell’angolo di rotazione θ è uguale per tutti i punti dello spaziotempo.

Siccome θ è una costante (cioè uguale in tutti i punti dello spazio tempo, da cui il nome globale), la parte di variazione della teoria di Dirac è anch’essa lasciata intatta dalla trasformazione

L’angolo θ non dipende dallo spaziotempo e la derivata non ha effetto su di lui.

Questa simmetria della teoria di Dirac genera una quantità conservata molto importante: la differenza tra numero di particelle e numero di antiparticelle.

Tuttavia la relatività vieta che la trasformazione di una fase in un certo punto dello spaziotempo possa ruotare istantaneamente la fase in un altro punto.

Richiediamo che debba esserci un “tempo di propagazione diverso da zero” tra un punto e l’altro.
L’unico rimedio è assumere che l’angolo di rotazione θ abbia un valore diverso punto per punto nello spaziotempo e che la trasformazione si propaghi ad una velocità finita, trasmessa da un qualche campo ignoto che siamo costretti a introdurre nella teoria:

Introduzione di un campo ignoto nella teoria per fare da mediatore nella trasmissione dell’informazione sulla fase tra i punti dello spaziotempo. “q” è una costante ignota.

Inoltre ora la teoria di Dirac ha perso la simmetria U(1), in quanto la parte di variazione comprende sia la variazione della funzione d’onda, sia la variazione dell’angolo che passa da θ costante a θ(x) funzione dello spaziotempo:

La richiesta che l’angolo di rotazione dipenda dallo spazio rompe la simmetria globale U(1)

quel termine aggiuntivo a destra rovina la festa, perché l’espressione non rimane uguale a se stessa dopo la trasformazione!

“Mi pare che andiamo di male in peggio. Ora non solo dobbiamo aggiungere alla teoria un campo ignoto per rispettare la relatività, ma abbiamo anche un pezzo in più dovuto alla variazione dell'angolo θ(x)! 

Non ha proprio nulla di simmetrico, non ne usciremo mai!"

Siccome nella realtà nessun esperimento è in grado di rivelare questo cambiamento di fase θ(x) che abbiamo effettuato matematicamente, vorremmo eliminare questa imbarazzante rottura della simmetria nella matematica della nostra teoria. E se la via d’uscita fosse proprio il campo ignoto che siamo stati costretti a postulare?

Per preservare sia la simmetria U(1) che la relatività ristretta, possiamo imporre che la nostra teoria sia simmetrica rispetto a un nuovo tipo di trasformazione.

Ad esempio una trasformazione del tipo:

Per quale motivo proprio questa trasformazione? Furbizia!
Infatti facendo entrambe queste trasformazioni, i termini aggiuntivi si eliminano e la nostra teoria rimane invariata, cioè abbiamo di nuovo una simmetria, che chiamiamo per ragioni storiche “simmetria U(1) di Gauge“.

L’azione combinata di entrambe le trasformazioni fa in modo di cancellare il termine aggiuntivo, la teoria è ora simmetrica.

Nasce l’elettrodinamica quantistica

Tramite alcune ragionevoli considerazioni si dimostra che il famigerato campo ignoto non è altro che il campo elettromagnetico. La teoria di Dirac descrive il comportamento delle particelle cariche in presenza di un campo elettromagnetico!

La costante “e” rappresenta la carica dell’elettrone, se vogliamo descrivere l’interazione di un elettrone con un campo elettromagnetico rappresentato da “A”.

Si è presentata la necessità dell’esistenza del campo elettromagnetico nel momento in cui abbiamo richiesto che venisse rispettata la relatività ristretta assieme alla simmetria U(1). Ciò ci ha condotto a considerare un nuovo insieme di trasformazioni sotto le quali la teoria è simmetrica: la U(1) di Gauge.

Inoltre la quantità conservata sotto questa nuova simmetria è proprio la carica elettrica.

La teoria ottenuta da queste considerazioni è nota come elettrodinamica quantistica, ed è la teoria del modello standard meglio verificata sperimentalmente.

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Come l’antimateria nasce dalla relatività

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Antiparticella = particella di uguale massa, ma con carica elettrica opposta

Il concetto di antimateria si è imposto praticamente da solo e prepotentemente, senza che nessuno lo abbia cercato di proposito, nel momento in cui sono state unificate meccanica quantistica e relatività ristretta alla fine degli anni ’20. Le prove sperimentali arrivarono fin dai primi anni ’30.
Oggi siamo in grado di produrre antimateria anche a fini medici (si pensi alla PET dove si sfruttano gli anti-elettroni, noti come positroni).

Ha un fascino particolare provare a seguire il percorso concettuale che, dalla relatività di Einstein, ha condotto alla teorizzazione dell’antimateria (dovuta a Dirac).

Facciamo finta di star scoprendo noi stessi il concetto di antiparticella in questo momento, e ripercorriamo tutte le tappe logiche fondamentali in cui potremo apprezzare il ruolo fondamentale giocato dalla teoria di Einstein.

L’energia di una particella

Nella meccanica quantistica ordinaria l’energia di una particella libera avente una quantità di moto p e una massa m si trova inserendo dentro l’equazione di Schrödinger la soluzione di onda piana (che è il modo quantistico di dire “particella esente da forze”). Il risultato è

La relatività di Einstein impone invece che tale espressione matematica per l’energia sia solo la versione approssimata della seguente

c è la velocità della luce

nell’approssimazione di quantità di moto molto piccole rispetto all’energia di massa. Fin qui nessun problema, la Fisica funziona così: quella che oggi sembra la forma definitiva di un’equazione, sarà l’approssimazione della versione più completa scoperta in futuro.

Il vero problema nasce quando si tenta di rendere l’equazione di Schrödinger relativistica

Lo schema è lo stesso: l’equazione non relativistica è solo l’approssimazione di quella relativistica, la quale, ad oggi, è la “vera equazione del moto” in quanto rispetta il principio di relatività di Einstein.

Il principio di relatività cambia la struttura matematica dell’equazione di Schrödinger, e se si prova a calcolare l’energia di una particella libera inserendovi al suo interno una soluzione di onda piana, si ottiene stavolta l’energia in questa forma curiosa e problematica

“Scusa, ma dove sta il problema? Abbiamo appena detto che la vera energia di una particella è data da quell'espressione brutta con m e c al quadrato e così via, non siamo contenti che l'equazione relativistica di Schrödinger restituisca la stessa energia per la particella libera?"

Il punto è che la struttura matematica dell’equazione di Schrödinger relativistica ci pone ora dinanzi a due vie, perché non ci dà l’energia, ma l’energia al quadrato!

Prima o poi nella vita siamo stati tutti mazziati dalla seguente proprietà matematica:

Ora il gioco è lo stesso, per la prima volta in Fisica l’equazione del moto di una particella esente da forze ci impone che l’energia possa essere data sia da un numero negativo che da un numero positivo

“E che ci vuole? Buttiamo via la soluzione negativa come si fa a scuola. Non esistono particelle libere con energia negativa!"

Facciamo però l’avvocato del diavolo e scegliamo di ascoltare la matematica imposta dalla relatività ristretta (ha sempre portato bene nella storia della Fisica!). Facciamo finta che possa esistere una particella ad energia negativa.

Come si comporta una particella di energia negativa?

L’energia in meccanica quantistica è importante perché ci dice come si evolve, nel tempo, la dinamica di una particella. Tale evoluzione è descritta, in soldoni, da

è insomma un esponenziale di un certo numero (di Eulero) avente come esponente il prodotto tra il numero complesso “i”, l’energia “E” e il tempo “t”. Non soffermarti sul perché, non è questo il punto.

Concentrati solo sul fatto che l’evoluzione dipende dal prodotto tra energia e tempo.

Se l’energia di una particella è negativa, il prodotto viene mandato in:

Ed ora è il momento di dire la cruda verità: ai fisici non piace per niente il fatto che le particelle possano avere energie negative, perché ci sarebbero non pochi problemi riguardo alla stabilità stessa della materia (mancherebbe un limite inferiore all’energia, un fatto molto pericoloso perché la natura vuole sempre occupare stati a energia minore).

Ma allora è tutto da buttare?


Continuiamo a fare gli avvocati del diavolo. Forse c’è un modo interessante di interpretare quel segno meno nel prodotto.

Continuiamo a seguire ciò che ci ha insegnato la relatività ristretta sulla struttura spaziotemporale della nostra realtà.

Questione di interpretazione: lo spaziotempo di Einstein

Supponiamo di osservare due eventi (contrassegnati da “1″ e “2″) che accadono in due punti dello spazio e a due istanti di tempo diversi. Li annotiamo sul nostro taccuino come

Ipotizziamo che, secondo noi, l’evento 1 sia avvenuto prima dell’evento 2. Matematicamente chiediamo quindi che sia

Se un altro osservatore in moto con una velocità costante “v” rispetto a noi osserva gli stessi eventi, annoterà anche lui i due eventi sul suo taccuino usando le sue personalissime coordinate

Einstein ci ha insegnato a collegare le due descrizioni dello stesso evento con la seguente trasformazione:

dove “γ” è una quantità positiva che dipende dalla velocità, di cui non devi preoccuparti.

Preoccupiamoci invece di sottrarre le due equazioni di sopra per ottenere la differenza tra gli istanti di tempo dei due eventi rilevati dall’osservatore in moto, rispetto alle nostre coordinate (così per curiosità, perché non farlo?)

La matematica della relatività ci tenta di porre la seguente domanda “e se la differenza tra i due istanti di tempo per il secondo osservatore fosse negativa?”. Ciò si tradurrebbe in:

La seconda condizione è possibile se la velocità del secondo osservatore è tale che

A patto però, come dicono le regole di Einstein, che v non superi la velocità della luce. Cioè deve essere

L’ultima condizione ci dice che la distanza spaziale tra i due eventi deve essere maggiore della distanza percorsa da un raggio di luce (di velocità c) nel tempo che intercorre tra i due eventi stessi. Se gli eventi soddisfano questa particolare caratteristica, allora è possibile trovare un osservatore con una velocità v tale da rendere

ovvero l’ordine degli eventi è invertito per il secondo osservatore: secondo lui è successo prima l’evento “2″ dell’evento “1”.

In relatività ristretta è permesso che l’ordine temporale degli eventi possa essere invertito dal punto di vista di un osservatore in moto

“Aspetta un attimo, ma questo mi consentirebbe di vedere la gallina prima dell'uovo, no? Non c'è un problema di causa-effetto?"

Ottima osservazione, ma non c’è nessun problema! Infatti l’inversione temporale avviene solo per eventi che non possono essere connessi da alcuna relazione causale: non ci può essere trasmissione di informazioni tra eventi che distano nello spazio più della distanza percorribile dalla luce nel tempo che li separa! Lo abbiamo incluso tacitamente nella condizione:

“Ok...e quindi? Cosa c'entrano nella fisica gli eventi senza connessione causale? La fisica è fatta di causalità! Mi pare che tu stia a chiacchierare di metafisica!“

Ora interviene la meccanica quantistica!

Per il principio di indeterminazione di Heisenberg, è possibile che una particella si propaghi da un punto all’altro dello spazio anche se questi due punti non sono connessi causalmente.

Se una particella viene emessa in un punto A ed assorbita in un punto B (e tali punti non sono causalmente connessi per ipotesi) allora un osservatore che si muove con una certa velocità (calcolata sopra), vedrebbe l’assorbimento della particella nel punto B in un tempo che precede l’istante in cui viene emessa nel punto A.

Come si esce da questo paradosso?

L’interpretazione di Feynman-Stückelberg

Il fisico americano Richard Feynman

Torniamo al prodotto tra energia e tempo per quanto riguarda l’evoluzione temporale di una particella. Avevamo detto che se l’energia è negativa abbiamo

Immagina che io ti abbia bendato gli occhi e avessi messo il segno meno davanti al prodotto senza dirti a quale fattore è stato applicato. Potrei benissimo aver cambiato segno a “t” invece che all’energia, senza dirti nulla. Il risultato è a tutti gli effetti equivalente:

Matematicamente non cambia nulla, ma il risultato è rivoluzionario:

Una particella di energia negativa può essere pensata anche come una particella di energia positiva che si muove indietro nel tempo!

Questa è l’interpretazione di Feynman-Stückelberg, i quali volevano cancellare dall’esistenza il concetto di energia negativa. Dal punto di vista delle interazioni tra le particelle, la relatività prevede l’inversione temporale, come abbiamo discusso sopra. 

“Ma che senso ha questa propagazione indietro nel tempo? A me pare ancora che si stia parlando di metafisica qui..."

Hai ragione. Infatti bisogna sedersi un attimo e ragionare su cosa significhi, dal punto di vista fisico, l’inversione temporale.

L’interpretazione dell’inversione temporale

Generalmente classifichiamo le particelle in base al modo in cui si comportano nelle interazioni fondamentali. In particolare ci interessa studiarne la traiettoria in una regione in cui è presente un campo elettromagnetico.

L’accoppiamento tra una particella e un campo elettromagnetico ha un nome tutto suo: la carica elettrica “q”.

La forza elettromagnetica su una carica “q” modifica la sua traiettoria accelerandola.

Le particelle descrivono traiettorie in una certa direzione, in base al segno della carica “q”, che può essere positivo o negativo.

Tra tutti i simboli dell’equazione appena scritta, concentriamoci solo sul tempo “τ“. Ci sono solo due termini che contengono il tempo esplicitamente, ed entrambi si trovano al denominatore ed appaiono come

Se invertiamo il tempo, otteniamo che il termine a sinistra non cambia (essendo un quadrato). Quindi cambia solo il secondo e si ha

Quindi sotto inversione temporale compare un segno meno globale per tutta l’equazione.
Ora immagina di nuovo che io ti abbia bendato gli occhi e avessi fatto spuntare fuori questo segno meno senza dirti che ho invertito il tempo. Potresti benissimo interpretare il segno meno in questo modo

Dal punto di vista sperimentale, l’effetto è quello di aver invertito il segno della carica elettrica. Le equazioni del moto relativistiche ci dicono che invertire il tempo si traduce, sperimentalmente, come il moto di una particella di carica elettrica opposta.

Una particella di energia positiva che si muove indietro nel tempo può essere interpretata come una particella di energia positiva, ma con carica opposta, che si muove avanti nel tempo.

Ecco che sparisce tutta la stranezza dell’inversione temporale! Ed ecco cosa ci ha insegnato la relatività ristretta applicata alla meccanica quantistica!

Le particelle ad energia negativa possono essere interpretate come delle particelle ad energia positiva che si muovono avanti nel tempo, ma che hanno carica opposta.

Oggi abbiamo un nome particolare per questo tipo di particelle che differiscono dalle particelle originali solo per il segno della carica elettrica e degli altri numeri quantici: le antiparticelle.

Una particella di energia negativa può essere interpretata come un’antiparticella di energia positiva che si muove, come tutte le altre particelle, avanti nel tempo. L’antiparticella differisce dalla particella solo per il segno della carica elettrica e di altri numeri quantici.

In questo modo abbiamo risolto anche il paradosso enunciato sopra:

Mettiamo che io veda una particella emessa in un punto A ed assorbita in un punto B. Come ci dice la relatività un altro osservatore potrebbe invece vedere una particella assorbita in B in un istante che precede la sua emissione nel punto A (se A e B non sono connessi causalmente). Ma ora sappiamo che ciò equivale ad osservare una particella di carica opposta che viene emessa in B ed assorbita in A. La causalità è salva.

PS. ho scritto un libro di testo che rappresenta proprio ciò che avrei desiderato leggere all’inizio dei miei studi di Fisica teorica, per renderla accessibile agli amatori e insegnare le tecniche matematiche necessarie a una sua comprensione universitaria. Si chiama “L’apprendista teorico” , dai un’occhiata per vedere di cosa si tratta. Il libro è acquistabile su Amazon.

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Matteo Parriciatu
Matteo Parriciatu

Dopo aver conseguito la laurea in Fisica nel 2020, studia Fisica Teorica all’Università di Pisa specializzandosi in simmetrie di sapore dei Neutrini, teorie oltre il Modello Standard e interessandosi di Relatività Generale.
È autore del libro “L’apprendista teorico” (2021).

Come lo spin nasce dalla relatività

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Lo spin è uno dei concetti più astratti da capire in un qualunque corso base di scienza dell’atomo. Spesso se ne dà una rappresentazione “intuitiva” o “semi-classica” come il risultato della rotazione della particella intorno al proprio asse, lasciando ai più curiosi tanti, troppi interrogativi.
Un secolo di teoria quantistica dei campi ci ha invece aiutato a comprendere che la “biglia rotante” è solo un’ approssimazione (seppur molto utile) di un concetto dietro al quale si cela praticamente tutta la struttura della nostra realtà: la relatività speciale.

La scoperta che le particelle hanno uno spin è uno dei trionfi della fisica sperimentale, ma come viene interpretato lo spin nella fisica teorica moderna?

Il principio di relatività e la simmetria di Lorentz

La fisica è fatta di fenomenologia, e tali fenomeni sono studiati dagli osservatori, che possiamo essere tutti noi. Possiamo prendere righello e compasso e tracciare la traiettoria di un corpo sulla nostra personalissima cartina di coordinate.
Un osservatore è detto inerziale se può concordare con tutti gli osservatori che si muovono con velocità costante rispetto a lui su un fatto molto semplice: un corpo esente da forze si muove di moto rettilineo uniforme.
Il punto però è che:

Non esiste un osservatore inerziale più speciale di altri

Se io uso la mia cartina di coordinate, e Pino (che si muove con velocità costante rispetto a me) usa la sua cartina di coordinate, dobbiamo concordare sulle leggi della fisica dei fenomeni che stiamo osservando, per cui deve esistere una trasformazione che colleghi le mie coordinate con le sue: una traduzione da una lingua all’altra che preservi la struttura delle leggi fisiche.

Questo è quello che ci disse Galileo con il suo principio di relatività

Due osservatori inerziali descrivono lo stesso fenomeno fisico usando le loro coordinate. La traduzione che lega i due set di coordinate si chiama “Trasformazione di Galileo” e lascia invariate in forma le leggi della fisica.

Dopodiché venne Einstein e si accorse che le trasformazioni di Galileo non lasciavano invariata la velocità della luce vista da osservatori inerziali, e siccome ciò era in conflitto con le leggi dell’elettromagnetismo, Einstein disse che la relatività di Galileo era solo un’approssimazione di un tipo di trasformazioni di coordinate molto speciale: le trasformazioni di Lorentz

Le trasformazioni di Lorentz lasciano invariata la velocità della luce vista da tutti gli osservatori inerziali dell’universo.

Esiste quindi una struttura matematica ben precisa che permette di tradurre un set di coordinate in un altro, e tale struttura matematica lascia invariate le leggi della fisica ed anche la velocità della luce: è la simmetria di Lorentz.


Le leggi di Newton non rispettano la simmetria di Lorentz, perché sono un’approssimazione che rispetta invece la simmetria di Galileo. La relatività di Einstein ci insegna quindi a teorizzare delle leggi che rispettino la simmetria di Lorentz.

La ricerca di leggi che rispettano la simmetria di Lorentz ci ha condotto a nuova fisica e risultati confermati sperimentalmente

Simmetrie e generatori: la teoria quantistica dei campi

Nella fisica ogni simmetria genera una quantità conservata, e tale quantità può essere interpretata, matematicamente, come il generatore della simmetria.

  • La simmetria per traslazioni implica la conservazione della quantità di moto. Matematicamente una traslazione nello spazio può essere generata dalla quantità di moto.
  • La simmetria per rotazioni implica la conservazione del momento angolare. Matematicamente una rotazione nello spazio può essere generata dal momento angolare.
  • La simmetria per traslazioni temporali implica la conservazione dell’energia. Matematicamente l’evoluzione temporale può essere generata dall’energia di un sistema.
  • …..

e così via.
La relatività di Einstein ha postulato che il mondo debba rispettare una simmetria molto speciale: la simmetria di Lorentz. In questo caso la quantità conservata è una sorta di combinazione tra momento angolare e quantità di moto, che diventano quindi i generatori matematici della simmetria.

Questi generatori soddisfano alcune regole di composizione matematica, e tale fatto permette di rappresentarli in alcuni spazi molti speciali di oggetti matematici. Tali oggetti possono poi essere usati per descrivere i campi delle particelle quantistiche.

Il punto è che gli oggetti che vivono negli spazi delle rappresentazioni dei generatori di simmetria, trasformano in un modo ben specifico sotto la simmetria di Lorentz: questo permette di classificarli.

Siccome i fisici classificano le cose in base a come si comportano sotto le simmetrie, questo fatto ha permesso di catalogare tutte le particelle rivelate sperimentalmente.

Lo spin

Le diverse rappresentazioni dei generatori della simmetria di Lorentz possono essere catalogati con degli speciali numeri interi o semi-interi

E sono questi numeri a decidere in che modo speciale deve trasformare l’oggetto delle rappresentazione
j-esima sotto la simmetria di Lorentz.

Il passo successivo è costruire, per ciascun oggetto che trasforma nel suo modo speciale, una teoria invariante di Lorentz: una teoria di campo i cui quanti di eccitazione sono proprio particelle che, sperimentalmente, interagiscono con il mondo proprio in base al numerino speciale j, altrimenti detto spin.

I campi costruiti con gli oggetti degli spazi j descrivono le particelle che conosciamo:

  • Le particelle con spin j=0: come il bosone di Higgs
  • Le particelle con spin j=1/2: come gli elettroni, i protoni ecc.
  • Le particelle con spin j=1: come il fotone.
  • …

Lo spin è quindi un modo per dire “come trasforma quella particella sotto simmetria di Lorentz”?

Le rappresentazioni j della simmetria continuano fino a infinito, nulla lo vieta. Tuttavia non abbiamo ancora osservato sperimentalmente particelle elementari con spin superiore a j=1.

PS. ho scritto un libro di testo che rappresenta proprio ciò che avrei desiderato leggere all’inizio dei miei studi di Fisica teorica, per renderla accessibile a tutti e insegnare le tecniche matematiche necessarie a una sua comprensione. Si chiama “L’apprendista teorico” , dai un’occhiata per vedere di cosa si tratta. Il libro è acquistabile su Amazon.

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Come l’elettromagnetismo nasce dalla relatività

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Link per il PDF—>  Come l’elettromagnetismo nasce dalla relatività

Senza alcuna pretesa di sviscerarla nei minimi dettagli, possiamo trarre gioia nel derivare la teoria di Maxwell dal solo principio di relatività einsteiniano, sposando “lo spirito” della teoria classica dei campi. L’artificiosità dei ragionamenti di questa nota è dovuta al fatto che sappiamo già dove vogliamo arrivare, tuttavia l’esercizio che segue è considerato dall’autore come di grande ispirazione per avvicinarsi a ciò che fanno i fisici moderni quando cercano le nuove teorie.

Matteo Parriciatu

Sulla teoria dell’emissione elettronica a freddo

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A seguire il documento in PDF –> sulla-teoria-dellemissione-elettronica-a-freddo

L’emissione degli elettroni dai metalli per effetto di campo fu studiata agli inizi del secolo scorso, e trovò giustificazione teorica solo con la venuta della meccanica ondulatoria. Nell’articolo si accenna ad una elementare applicazione delle meccanica ondulatoria a questo problema.

Matteo Parriciatu

Sopra gli spettri di emissione del corpo nero

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A seguire il documento in formato pdf –>Sopra gli spettri di emissione del corpo nero

Viene trattato il problema del corpo nero dal punto di vista della statistica classica di Boltzmann per poi arrivare alla teoria dei quanti di Planck, analizzando le caratteristiche degli spettri di emissione dal punto di vista analitico.

Matteo Parriciatu