Fisica delle Particelle Archivi

Semplificando…la forza che lega i Quark con gli Anti-Quark

21 Dicembre 202221 Dicembre 2022by matteoparriLeave a comment

Si sa: più si cerca di semplificare la fisica, più è probabile incappare in incomprensioni e confusione. È quello che nello slang degli economisti si chiama “trade off” : il nostro trade off è che acquisiamo intuizione, ma sacrifichiamo la precisione.
Nella fisica delle particelle la teoria dei Quark (QCD) è la teoria più complessa mai concepita, ma anche una delle più testate sperimentalmente. Divulgare questa teoria è sempre una grande sfida perché è una bestia difficile da addomesticare e si rischia sempre di risultare imprecisi o completamente in errore.

*Le interazioni tra i tre quark all’interno di un* neutrone.
[Qashqaiilove, Wikimedia Commons]

La realtà è che c'è ben poco di intuitivo nella QCD. Tuttavia ci sono delle circostanze in cui possiamo connettere alcuni concetti con dei fatti di cui abbiamo già familiarità e intuizione nella meccanica classica.

I Quark sono (per quanto ne sappiamo oggi) i costituenti più fondamentali della materia, conferendo una struttura ben precisa agli elementi del nucleo come protoni e neutroni (i quali sono composti ciascuno da tre quark).
Nonostante ciò è molto difficile intuire che protoni e neutroni siano composti da Quark! Infatti se ne osservano gli effetti solo a distanze sub-nucleari (o equivalentemente, ad energie sufficientemente elevate). Questa conversione tra energia e distanza è molto utile per capirsi nei discorsi che si fanno in questo campo di ricerca: dipende dal principio di indeterminazione moltiplicato per la velocità della luce:

$\Delta R \underbrace{\Delta p c}_{\Delta E}\sim \hbar c$

il quale fornisce un ottimo modo per convertire da distanze $\Delta R$ ad energia $E=pc$ per particelle molto energetiche. La costante fondamentale $\hbar c$ ha un valore preciso, ed è il fattore di conversione tra distanza ed energia. Invertendo la formula

$\Delta R\sim \frac{\hbar c}{\Delta E}$

ne deduciamo che grandi energie corrispondono a piccole distanze, e viceversa. Tieni a mente questa informazione perchè sarà cruciale nel discorso che andremo a fare.

Tra le quattro forze fondamentali (clicca qui per un breve riassunto), i Quark interagiscono tramite l’interazione forte. Il nome non lascia spazio all’immaginazione: a parità di distanza tra due particelle ad esempio la distanza subnucleare, l’interazione forte è 100 volte più intensa di quella elettromagnetica (che a sua volta è molto più intensa della forza debole e della debolissima forza gravitazionale) il che la rende la forza più intensa in Natura.

Così come i fotoni sono i mediatori dell’interazione elettromagnetica, i gluoni (anch’essi senza massa), sono i mediatori dell’interazione forte. Tuttavia i gluoni sono delle bestioline piuttosto difficili rispetto ai fotoni.

Cominciamo dalle similitudini: avendo massa nulla, anche i gluoni si muovono alla velocità della luce.
Così come i fotoni interagiscono solo tra corpi carichi elettricamente, i gluoni interagiscono solo con particelle dotate di una speciale carica: la carica di colore. Al contrario della carica elettrica, la carica di colore è molto meno intuitiva e quantificabile, e rappresenta le “coordinate” di uno spazio astratto che caratterizza lo stato quantistico di un quark.

Se vuoi, questa carica di colore è un’estensione multidimensionale dei due stati di spin (in questo articolo viene discusso il primo esempio di isospin nucleare nella teoria di Heisenberg). Anche se non è detto che questa cosa ti sia d’aiuto, dato che neanche lo spin è intuitivo! (Vedi questo articolo per approfondire).

I fotoni interagiscono molto poco con gli altri fotoni: se fatti scontrare tra loro hanno una grande probabilità di “passarsi attraverso”. Solo a determinate scale di energia più elevate l’interazione fotone-fotone diventa non più trascurabile. Questo fatto favorisce la validità del principio di sovrapposizione delle onde elettromagnetiche, tanto caro all’ingegneria.

I gluoni, d’altra parte, interagiscono con gli altri gluoni anche a scale di energia più basse, accoppiandosi nei modi più disparati possibili. La teoria dell’interazione forte quindi non rispetta il principio di sovrapposizione: c’è ben poco di lineare e semplice nei campi gluonici.

Analogie e differenze tra interazione elettromagnetica e interazione forte.
Entrambi i mediatori hanno massa nulla e si muovono quindi alla velocità della luce.

Le stranezze della forza forte non finiscono qui. Come specificato nell’immagine precedente, l’interazione elettromagnetica ha un range infinito: due cariche elettriche non smettono mai di sentire l’una la presenza dell’altra, indipendentemente dalla distanza che le separa! È l’intensità quella che varia e diminuisce con l’aumentare della separazione.
Succede lo stesso con la gravità (in tal caso la carica elettrica viene sostituita dalla massa). Il potenziale gravitazionale di una massa $m$ posta a distanza $r$ da una sorgente gravitazionale fissa e di massa $M$ è proporzionale a:

$V_{\text{gravità}}\propto -\frac{mM}{r}$

Il grafico della funzione ha il seguente aspetto:

Analogamente, il potenziale elettrostatico di Coulomb percepito da una carica elettrica $q$ nel campo di una carica $Q$ è

$V_{\text{e.m.}}\propto -\frac{qQ}{r}$

Queste funzioni di $r$ ci dicono la stessa cosa: l’interazione diminuisce all’aumentare della distanza. Dal punto di vista della fisica teorica è equivalente a dire che le interazioni diventano via via più deboli al diminuire della scala di energia, e per energie alte (cioè piccole distanze) diventano sempre più intense. Con “scala di energia” intendiamo il contenuto energetico che dobbiamo fornire al nostro esperimento per far scontrare le particelle nel nostro acceleratore.

Tutto ciò è abbastanza intuitivo: se si gioca con i poli dei geomag ci si rende presto conto che è molto difficile resistere all’attrazione di due poli opposti una volta che li si avvicina abbastanza, mentre è molto difficile avvicinare due poli uguali (in particolare più li si avvicina e più diventa difficile). Il magnetismo, naturalmente, fa parte dell’interazione elettromagnetica e si comporta proprio come ci aspettiamo.

L’interazione forte percepita dai quark è molto più controintuitiva: più i Quark sono vicini tra loro e più “si ignorano”, cioè comunicano molto meno, ovvero l’interazione è meno intensa (tutto il contrario delle interazioni a cui siamo abituati!). A questo fatto è stato dato il nome di libertà asintotica: alle alte energie i Quark si comportano come se fossero liberi. D’altra parte se allontaniamo i Quark (quindi abbassiamo la scala di energia) questi interagiscono molto di più tra loro: è la schiavitù infrarossa.

Sulla libertà asintotica Parisi è stato vicinissmo a vincere il Nobel già quando aveva 25 anni. Gli mancava solo intuire che il numero quantico giusto per descrivere l’interazione era la “carica di colore”.

Le peculiarità dei Quark

Ad oggi conosciamo 6 Quark fondamentali (cioè che non derivano da stati legati con altri Quark) a cui sono stati assegnati dei nomi precisi e di cui si conosce la massa, dal più leggero al più pesante.

I Quark up e down costituiscono la struttura interna di protoni e neutroni (nucleoni), tuttavia le loro masse contribuiscono solo a una piccola parte della massa dei nucleoni. La maggior parte della massa deriva invece dalle intricatissime interazioni e scambi energetici tra i Quark stessi, i quali comunicano incessantemente tramite gluoni.

Un’illustrazione molto schematica di quello che succede all’interno di un protone. Gli oggetti “a forma di molla” rappresentano le interazioni di scambio di gluoni.

Detto in maniera molto semplificata e fiabesca, è come se la carica di colore dei Quark accendesse la scintilla che fa scoccare un “incendio energetico” nel campo gluonico che li circonda. Questo incendio “brucia incessantemente” con un’energia $E$ che dà luogo alla maggior parte della massa del protone tramite la celebre $E=mc^2$ .

È sfruttando questo inferno energetico che siamo stati in grado di creare i Quark più pesanti del up e down, facendo scontrare protoni ad altissime energie che hanno rilasciato come prodotto i Quark più pesanti come il top (l’ultimo ad essere stato scoperto, nel 1995 al Fermilab di Chicago).

Dal punto di vista teorico, le complicate interazioni tra i Quark sono una conseguenza della natura relativistica delle teorie quantistiche di campo. Uno può aspettarsi che la descrizione di queste forze diventi leggermente più semplice se usciamo dal regime relativistico (cioè se consideriamo particelle abbastanza pesanti che si muovono a velocità molto più basse di quella della luce).

A noi piace tanto semplificare, quindi questo è quello che faremo! Consideriamo alcuni Quark più ciccioni, ad esempio il bottom e il charm: un sistema molto semplice da studiare in QCD è lo stato legato di quarkonio, il quale è uno stato legato tra Quark e antiQuark. Stiamo quindi parlando, nel nostro caso, dei seguenti sistemi:

Charmonium: stato legato di Charm e anti-Charm
Bottomonium: stato legato di Bottom e anti-Bottom

*Se ti interessa la Fisica, iscriviti alla newsletter mensile! Ho pensato di scrivere una guida-concettuale di orientamento per aiutarti a capire da dove studiare.*

Per completezza ricordiamo che un anti-Quark è la anti-particella del Quark corrispondente: ha uguale massa e numeri quantici tutti invertiti, cioè carica elettrica, carica di colore, spin etc. invertiti.

Siccome questi due Quark sono abbastanza massivi, si muvono a velocità più basse rispetto a tutti gli altri, quindi è possibile una trattazione non-relativistica in cui possiamo ignorare i discorsi di Einstein. Stiamo parlando di un’approssimazione.

Questi stati legati sono stati osservati sperimentalmente, dunque i discorsi matematici che seguono, seppur non rigorosissimi dal punto di vista teorico, sono empiricamente verificati.

Il potenziale di Quarkonio

Se $r$ è la distanza che separa Quark e anti-Quark, l’energia potenziale di interazione è data dall’espressione (in cui $a$ e $b$ sono delle costanti di cui non devi preoccuparti)

$V_\text{quarkonio}= -\frac{a}{r}+br$

ed ha il seguente grafico:

A piccole distanze l’interazione si comporta in modo del tutto simile a quella gravitazionale ed elettromagnetica: va giù come $1/r$ . Non farti però ingannare! A distanze piccolissime (cioè energie elevatissime) questo potenziale non è più una buona approssimazione di quello che sta succedendo, perché entrano in gioco gli effetti relativistici della forza forte, e la conseguenza è la libertà asintotica: invece di continuare ad aumentare infinitamente, ad altissime energie l’interazione forte inizia a indebolirsi sempre più, fino a che i Quark si ignorano del tutto.

[Nota bene: quando diciamo “piccole” o “grandi” distanze ci stiamo riferendo a qualcosa di grande o piccolo rispetto alle dimensioni subnucleari!]

D’altra parte, a grandi distanze il potenziale aumenta invece che diminuire (contrariamente a quanto succede nell’interazione gravitazionale ed elettromagnetica). Il fattore che domina questa peculiarità è parametrizzato dal termine $b\,r$ dove $b$ è una costante e $r$ è la distanza. Questo termine ingloba tutto ciò che ci è difficile conoscere del regime di “schiavitù infrarossa”, regime che può essere studiato solo tramite ingegnose simulazioni al computer (campo di studi noto come QCD su reticolo).

Per capire di che tipo di forza si tratta dal punto di vista della meccanica classica, consideriamo un potentiale molto simile: quello di una molla! Se allunghiamo o accorciamo una molla di una distanza $r$ , il potenziale ha la seguente forma:

$V_{\text{molla}}=\frac{1}{2}kr^2$

dove $k$ è la costante elastica. Confrontiamo ora la forma dei due potenziali nel regime di schiavitù infrarossa (cioè a distanze molto grandi in modo che il termine $1/r$ risulti trascurabile):

Stiamo cioè confrontando una retta con una parabola: entro una certa distanza l’interazione di Quarkonio è più intensa di quella che si avrebbe se fosse puramente elastica, mentre superata una certa soglia, l’interazione elastica diventa più elevata. Quindi lo stato legato di Quarkonio a basse energie ha un’intensità che somiglia un po’ a qualcosa che richiama l’interazione elastica tra due corpi. Tuttavia, a differenza della molla, dal punto di vista classico la forza $F=ma$ non dipende dalla distanza, mentre nella molla vi dipende come $F=-kx$ .

D’accordo, magari la molla non è un’approssimazione ottimale, ma è comunque un buon punto di partenza. In realtà è possibile dimostrare che l’andamento della forza di Quarkonio è molto più simile a quella caratteristica degli elastici! Se prendi un elastico per capelli e lo allunghi di una distanza $L$ , l’energia potentiale di richiamo che stai accumulando risulta proporzionale alla distanza $L$ , esattamente come l’energia potenziale del Quarkonio a grandi distanze!

PS. ho scritto un libro di testo che rappresenta proprio ciò che avrei desiderato leggere all’inizio dei miei studi di Fisica teorica, per renderla accessibile agli amatori e insegnare le tecniche matematiche necessarie a una sua comprensione universitaria. Si chiama “L’apprendista teorico” , dai un’occhiata per vedere di cosa si tratta. Il libro è acquistabile su Amazon.

Questa immagine ha l'attributo alt vuoto; il nome del file è cover_view_2.png

Matteo Parriciatu

Dopo aver conseguito la laurea in Fisica nel 2020, studia Fisica Teorica all’Università di Pisa specializzandosi in simmetrie di sapore dei Neutrini, teorie oltre il Modello Standard e interessandosi di Relatività Generale.
È autore del libro “L’apprendista teorico” (2021).

L’inspiegabile negazione del Premio Nobel a Bruno Pontecorvo, teorico dei Neutrini

20 Novembre 202222 Gennaio 2023by matteoparriLeave a comment

*Bruno Pontecorvo (Marina di Pisa 1913- Dubna 1993).*

La storia della scienza è cosparsa di scandali riguardanti la negazione di premi importanti a scienziati meritevoli per le più disparate ragioni.

Nel caso di Bruno Pontecorvo (a cui fu negato il Nobel per la Fisica del 1988) le ragioni erano prettamente politiche: era comunista e lavorava in URSS. In questo articolo dimostriamo perché questo debba ancora oggi risuonare come un vero e proprio scandalo scientifico.

Il “cucciolo” di via Panisperna

Nato a Marina di Pisa nel 1913, Bruno era una persona timida e la sua natura si distingueva da quella degli altri componenti dei gruppi di ricerca poiché, oltre a mostrare grandi doti come fisico sperimentale e teorico, era evidente in lui il profilo di abile fenomenologo, ossia una grande capacità di approfondire applicazioni e ipotesi di lavoro [1].

“A questa opinione soprattutto, io credo, devo la mia timidezza, un complesso di inferiorità che ha pesato su di me per quasi tutta la vita”
Bruno Pontecorvo

Pontecorvo si riferiva alla seguente opinione che secondo lui i suoi genitori avevano sui loro figli: “il fratello Guido era considerato il più intelligente, Paolo il più serio, Giuliana la più colta e lui, Bruno, il più buono ma il più limitato, come dimostravano i suoi occhi, buoni ma non intelligenti.”

Si può dire che Pontecorvo usufruì dell’istruzione universitaria più eccellente che ci fosse: fu ammesso al corso di Fisica sotto la guida di Enrico Fermi e Franco Rasetti nel 1931, all’età di 18 anni, entrando di diritto nel celebre gruppo dei ragazzi di via Panisperna (fu soprannominato “il cucciolo” per la sua giovane età).

Collaborò quindi alla ricerca sul bombardamento dei nuclei usando neutroni come proiettili, e nel 1934 si accorse assieme ad Edoardo Amaldi che la radioattività indotta da bombardamento di neutroni era circa cento volte più intensa se i neutroni attraversavano prima un filtro di paraffina (Fermi spiegò che questo era per via dell’idrogeno contenuto nel materiale, il cui effetto rallentava i neutroni, aumentando la loro efficacia nel bombardamento). Questa scoperta segnò uno step epocale per la ricerca sull’energia nucleare e valse il Nobel del 1938 ad Enrico Fermi, che ne spiegò il funzionamento.

Dopo il periodo romano, la sua vita fu molto movimentata e ricca di eventi di interesse storico.

Nel 1936 grazie a una raccomandazione di Fermi, collaborò a Parigi con Frédéric e Irène Joliot-Curie (rispettivamente genero e figlia di Pierre e Marie Curie e vincitori nel 1935 del premio Nobel per la scoperta della radioattività artificiale).
Fu nell’effervescente ambiente parigino che iniziò a interessarsi di politica. In particolare si iscrisse al PCI nel 1939.
Dopo l’invasione della Francia da parte dei tedeschi, Pontecorvo, essendo ebreo, scappò in bicicletta da Parigi e con un rocambolesco viaggio fatto di varie tappe in treno, raggiunse Lisbona e da qui si imbarcò per gli Stati Uniti.
Nei primi anni ’40 lavorò per una compagnia petrolifera in Oklahoma, dove viveva con la famiglia. Qui applicò per la prima volta la tecnica dei neutroni lenti scoperta dai ragazzi di via Panisperna e inventò la tecnica del “carotaggio neutronico dei pozzi di petrolio“.
Nel 1943 si trasferì in Canada per lavorare in un laboratorio che si occupava di raggi cosmici. Fu qui che iniziò il suo studio dei neutrini alle alte energie.
Dopo aver lavorato in inghilterra, scappò in Russia con la famiglia nell’estate del 1950 senza avvertire nessuno. Per superare la cortina di ferro i Pontecorvo si divisero: moglie e figli su un’automobile, Bruno nascosto nel bagagliaio di un’altra. Nell’URSS continuò le sue importanti ricerche di fisica delle particelle in un laboratorio di Dubna.

Cosa si capiva, all’epoca, dei neutrini

Per poter dire che “capiamo” tutto di una particella dobbiamo essere in grado di affermare quali siano i suoi numeri quantici, e di solito ci si concentra su questi tre:

Carica elettrica
Spin
Massa

Dei neutrini conosciamo con precisione solo i primi due: sono elettricamente neutri (infatti non interagiscono con la forza elettromagnetica) ed hanno spin 1/2, mentre sorprendentemente non sappiamo ancora con precisione il valore della loro massa. Sappiamo solo che non può essere più grande di un numero molto piccolo, per via delle evidenze sperimentali. All’epoca di Pontecorvo si supponeva che non avessero massa.

Dallo studio dei raggi cosmici (ed in particolare del decadimento del muone) Pontecorvo iniziò a intuire una similitudine tra quanto osservato e una teoria del suo vecchio Maestro: la teoria del decadimento $\beta$ di Enrico Fermi (clicca qui se vuoi saperne di più). In una lettera a Giancarlo Wick del 1947 scrisse:

Deep River, 8 maggio 1947

Caro Giancarlo (…) se ne deduce una similarità tra processi beta e processi di assorbimento ed emissione di muoni, che, assumendo non si tratti di una coincidenza, sembra di carattere fondamentale.
Bruno Pontecorvo

La scoperta di questa analogia fu uno degli step fondamentali che condusse all’introduzione di una nuova forza della natura: la teoria di Fermi passò dall’essere una semplice teoria fenomenologica ad una interazione fondamentale che si andava a sommare alle due già esistenti all’epoca: gravità ed elettromagnetismo.

La questione del neutrino rimaneva invece un vero mistero, specialmente la questione se avesse una massa o meno.
È di fondamentale importanza riuscire a determinare la massa di una particella. Nel Modello Standard la massa è spesso l’unico numero quantico che permette di distinguere tra due particelle che hanno gli altri numeri quantici uguali.

Ad esempio il muone e l’elettrone sono due particelle elementari con la stessa carica elettrica e lo stesso spin, ma il muone è circa 200 volte più pesante dell’elettrone ed è proprio ciò che ci permette di distinguerli nella maggior parte dei casi. Allo stesso modo il tau è la terza “sorella” di muone ed elettrone (fu scoperta nel 1975), in quanto ha stessa carica e stesso spin, ma massa pari a circa 18 volte quella del muone.
Queste tre particelle furono raggruppate in un trio chiamato “leptoni carichi”.

Elettrone, Muone e Tau: le tre particelle “sorelle” del Modello Standard costituiscono la famiglia dei **leptoni carichi.**

Per spiegare i risultati sperimentali degli anni ’30 e ’50, si associò a ciascun leptone carico (elettrone, muone e tau) un neutrino di tipo corrispondente. Infatti si dimostrò che in ciascun processo di interazione debole di un leptone carico compariva sempre un neutrino, di conseguenza:

All’elettrone venne associato un neutrino-elettronico: $\nu_e$
Al muone venne associato un neutrino-muonico: $\nu_\mu$
Al tau venne associato un neutrino-tau: $\nu_\tau$

Quindi anche i neutrini sono considerati dei leptoni, solo che hanno carica elettrica nulla. Assieme ai leptoni carichi costituiscono i 6 leptoni del Modello Standard.

Fu proprio Bruno Pontecorvo a suggerire questo raggruppamento in famiglie di “sapore”: sapore elettronico, sapore muonico e sapore tauonico. Ipotizzò questa teoria già nel 1947, ma la pubblicò con una dimostrazione rigorosa solo nel 1957.

*La distinzione tra leptoni carichi e leptoni neutrini. Nell’immagine i leptoni dello stesso colore appartengono allo stesso “sapore”.*

La cosa importante da capire è che siamo in grado di distinguere un neutrino $\nu_e$ da un neutrino $\nu_\mu$ o da un neutrino $\nu_\tau$ : basta guardare qual è il leptone carico coinvolto nelle interazioni (rare) di questi neutrini!

*Il modo in cui siamo in grado di dire quale dei tre neutrini stiamo considerando: basta guardare i leptoni carichi che escono fuori dalle interazioni del neutrino con la materia.*

In questo senso si parla di conservazione del sapore leptonico: un neutrino di sapore “muonico” è sempre associato, in un’interazione debole, a un muone. Se c’era un sapore elettronico all’inizio, dovrà esserci un sapore leptonico anche alla fine.

Purtroppo, l’acceleratore di particelle di Dubna non era abbastanza potente per verificare le teorie di Pontecorvo sul sapore leptonico. Soltanto pochi anni dopo, agli inizi degli anni Sessanta, gli americani Leon Ledermann, Melvin Schwartz e Jack Steinberger confermarono sperimentalmente le ipotesi del fisico italiano.

Questa scoperta valse ai tre fisici il premio Nobel per la Fisica nel 1988 per “il metodo del fascio di neutrini e la dimo-strazione della struttura doppia dei leptoni attraverso la scoperta del neutrino muone”, suscitando lo scalpore di una parte della comunità scientifica internazionale per l’esclusione del fisico teorico italiano che per primo effettuò la previsione parecchi anni prima.

Le oscillazioni di sapore

Pontecorvo continuò il suo studio pionieristico dei neutrini e, in collaborazione con il fisico teorico Vladimir Gribov, nel 1969 presenta in dettaglio il formalismo matematico della teoria delle oscillazioni, che fu proposto come soluzione al problema dei neutrini solari sorto negli esperimenti del 1968.
Pontecorvo sosteneva che i neutrini dovessero avere una massa, seppur piccola, e che questo fosse la spiegazione per il problema dei neutrini solari.

La spiegazione di Pontecorvo si rivelò corretta: alla fine del secolo scorso si scoprì che i neutrini sono in grado di cambiare sapore leptonico durante il loro viaggio tra due punti dello spazio, e fu proprio questo fatto ad evidenziare che i neutrini dovevano avere una massa: senza una massa non è possibile questa oscillazione tra sapori!

Ciò che stupisce è che rispetto alle altre particelle i neutrini hanno una massa così piccola che è difficile da misurare.
Gli esperimenti ci consentono solo di porre dei limiti superiori sempre più piccoli. Per dare un’idea, l’elettrone ha una massa di mezzo milione di elettronvolt, mentre si stima che quella dei neutrini sia inferiore a un solo elettronvolt. Se l’elettrone è considerato la particella carica più leggera del Modello Standard, i neutrini sono davvero dei pesi piuma.

L’oscillazione rompe la conservazione del sapore leptonico!

Ad esempio da un processo debole che coinvolge un elettrone (rivelabile) sappiamo che sbucherà fuori un $\nu_e$ , il quale, dopo una certa distanza, si tramuterà in un $\nu_\mu$ , il quale interagirà facendo comparire un muone, che sarà a sua volta rivelabile e ci permetterà di dire che questa oscillazione è effettivamente avvenuta!

Per spiegare questo effetto vengono introdotti gli “stati di massa” dei neutrini, chiamati $\nu_1,\nu_2,\nu_3$ a cui vengono associate le masse $m_1,m_2,m_3$ . Ciascun stato di massa “contiene” al suo interno i tre sapori dei neutrini $\nu_e,\nu_\mu,\nu_\tau$ in proporzioni che possono essere studiate sperimentalmente.
Graficamente abbiamo quindi tre neutrini ciascuno contenente al suo interno il mixing di sapori:

*Gli autostati di massa dei neutrini con al loro interno i mixing dei sapori*.
*Celeste: $\nu_e$ , Marroncino: $\nu_\mu$ , Grigio: $\nu_\tau$ .*

Questo mixing avviene nel senso quanto-meccanico di sovrapposizione di stati: ciascuno stato di massa è una sovrapposizione delle funzioni d’onda dei sapori leptonici $e,\mu,\tau$ .

Ad esempio dalla figura leggiamo che sperimentalmente è stato verificato che lo stato $\nu_1$ contiene per la maggior parte il sapore elettronico $\nu_e$ (indicato in blu), mentre il sapore tau $\nu_\tau$ è presente solo in minima parte.

Essendo tutto ciò un effetto quanto-meccanico, a ogni oscillazione tra sapori è associata una certa probabilità che sarà tanto più elevata quanto più grande è il mixing tra sapori negli stati di massa. Questa probabilità è verificabile sperimentalmente: basta chiedersi “se nel punto di partenza ho $N$ neutrini di tipo $\nu_e$ , quanti neutrini di tipo $\nu_\mu$ mi ritroverò a una certa distanza dal punto di partenza?”

Ad esempio la probabilità che un neutrino $\nu_e$ si trasformi in un neutrino $\nu_\mu$ è data dalla seguente formula:

*Vengono chiamate “oscillazioni” perché la probabilità dipende da un seno al quadrato, il quale rappresenta graficamente un’oscillazione nelle variabili $L,E,\Delta m^2$ .*

in cui $\theta$ è un parametro del Modello Standard che è stato misurato sperimentalmente (e definisce il grado di mixing dei due sapori in questo caso). D’altra parte $\Delta m^2=m_2^2-m_1^2$ riguarda la differenza tra i quadrati delle masse di $\nu_2$ e $\nu_1$ , mentre $L$ è la distanza a cui hanno viaggiato i neutrini prima di essere rivelati, ed $E$ è la loro energia.
Nota bene che se questi neutrini avessero la stessa massa, e cioè $\Delta m^2=0$ , non si potrebbero avere oscillazioni (la probabilità sarebbe nulla perché il seno di zero fa zero).

Ad esempio è molto più probabile che un $\nu_e$ si trasformi in un $\nu_\mu$ quando l’argomento del seno è vicino al punto in cui il seno ha un massimo, e cioè in prossimità di $90^{\circ}$ (o in radianti $pi/2$ ), e cioè quando

*Da questa formula è possibile capire a che valore del rapporto $L/E$ si è più sensibili per rivelare un’oscillazione da $\nu_e$ in $\nu_\mu$ .* *Si può quindi ottenere una stima di $\Delta m^2$ .*

Studiando l’andamento dell’oscillazione con $L/E$ si può quindi ricavare $\Delta m^2$ proprio da questa formula.

La differenza tra le masse dei neutrini $\nu_2$ e $\nu_1$ è minuscola, ma comunque calcolabile dai dati sperimentali. Allo stesso modo è stata calcolata la differenza tra le masse quadre di $\nu_3$ e $\nu_2$ , e da ciò si può ricavare la differenza tra le masse quadre di $\nu_3$ e $\nu_1$ .
Conosciamo solo queste $\Delta m^2$ , ma non i valori singoli di $m_3,m_2,m_1$ , che frustrazione, eh?

Misurando il numero di eventi di neutrini di un certo sapore ad alcuni valori del rapporto $L/E$ si possono ricavare i valori sperimentali di $\theta$ e $\Delta m^2$ . Questo è proprio ciò che si fa da qualche decina di anni: la teoria delle oscillazioni è verificata con un alto grado di accuratezza.

I Nobel dei neutrini

La Fisica dei neutrini inaugurata da Pontecorvo ha portato a ben quattro premi Nobel, ma nessuno è stato vinto da lui. Tre di questi furono però assegnati solo dopo la morte di Pontecorvo (1993), il più recente risale al 2015. L’unico che sarebbe doveroso reclamare per la memoria del fisico teorico italiano sarebbe quello del 1988, inspiegabilmente assegnato ad altri se non per questioni politiche.

Pontecorvo rimane uno dei fisici con il numero di previsioni azzeccate più alto e allo stesso tempo un numero di riconoscimenti piuttosto irrisorio (vinse comunque il premio Lenin nel 1963).

Ciò che fa restare stupiti è la precocità delle sue idee: il campo dei neutrini è particolarmente infelice perché essendo questi così poco interagenti, la loro rivelazione può aversi solo grazie a esperimenti particolarmente costosi e avanzati, spesso traslati di almeno 30-40 anni nel futuro rispetto alla loro teorizzazione. Pontecorvo elaborò negli anni ’60 quasi tutta la fisica dei neutrini che utilizziamo ancora oggi e che ha trovato conferma solo negli ultimi 30 anni.

Se mai inventassero un Nobel postumo, uno dei primi a riceverlo dovrebbe essere Pontecorvo.
[1] Fonte principale: “Il fisico del neutrino”- Jacopo De Tullio.

PS. ho scritto un libro di testo che rappresenta proprio ciò che avrei desiderato leggere all’inizio dei miei studi di Fisica teorica, per renderla accessibile agli amatori e insegnare le tecniche matematiche necessarie a una sua comprensione universitaria. Si chiama “L’apprendista teorico” , dai un’occhiata per vedere di cosa si tratta. Il libro è acquistabile su Amazon.

Matteo Parriciatu

Dopo aver conseguito la laurea in Fisica nel 2020, studia Fisica Teorica all’Università di Pisa specializzandosi in simmetrie di sapore dei Neutrini, teorie oltre il Modello Standard e interessandosi di Relatività Generale.
È autore del libro “L’apprendista teorico” (2021).

L’intrigante “carattere discriminatorio” del bosone di Higgs

12 Novembre 202212 Novembre 2022by matteoparri1 Comment

Immagina di reincarnarti in una particella elementare in un istante tra i $10^{-36}$ e i $10^{-12}$ secondi dopo il Big Bang.

L’universo ha un aspetto molto diverso da quello odierno, c’è tantissima confusione, un viavai di interazioni, come un vociare assordante.
La sensazione che provi è molto singolare, sei capace di individuare solo il momento in cui “appari” e il momento in cui “scompari”, ma nemmeno riesci a distinguere l’uno o dall’altro. Il problema è che ti muovi alla velocità della luce dato che, come tutte le altre particelle dell’universo, non hai massa. Per questo la tua percezione del tempo è assolutamente insensata, in accordo con le leggi della Relatività Ristretta.

In qualche modo sembra che il momento in cui appari e scompari dall’esistenza sia sempre accompagnato dalla presenza di una particella praticamente identica a te, o almeno questo è ciò che ti ricordi.

Ora i tempi sono cambiati (cambia tutto piuttosto in fretta quando passi da $10^{-36}$ a $10^{-12}$ secondi dopo il Big Bang). Ti accorgi che gli eventi iniziano ad avere una forma, tra un inizio e una fine c’è anche un presente.

Sei stata “rallentata” da qualcosa, e inizi a sentire il peso dello scorrere del tempo: non ti muovi più esattamente alla velocità della luce. Tra tutto quel vociare non riesci a prendere coscienza di cosa sia successo, pare che nessuno si sia accorto troppo del cambiamento, eppure inizi a riconoscere che le altre particelle non si comportano tutte come te, alcune sembrano interagire con le altre in un modo molto diverso dal tuo.

Ti viene in mente che questo possa essere connesso con l’esistenza di almeno due interazioni fondamentali diverse.

Inizi a raccogliere qualche indizio: ogni volta che scompari dall’esistenza è sempre coinvolta almeno un’altra particella. Dopo qualche tempo sei capace di individuare che esistono altre due particelle (che chiami signor “Mu” e signor “Tau”) che fanno le stesse cose che fai tu, e anche qualche particella identica a te e che per qualche motivo fa sempre il contrario di quello che fai tu.

*Il signor Ni rappresenta il neutrino elettronico.*

Non appena il vociare primordiale inizia a calmarsi, inizi a distinguere uno strano ronzio nelle tue orecchie “particellari”. Somiglia giusto a un timido bisbiglio, ed inizi a capire di star rallentando sempre di più la tua corsa frenetica tra un’esistenza e un’altra, forse per via di qualcosa che genera anche questo strano bisbigliare?

Decidi di chiedere informazioni a una delle particelle simili a te. C’è una particella in particolare che abbastanza spesso decide di scambiare qualche parola con te, solo che hai difficoltà a capirla perché è leggermente più frenetica. L’hai soprannominata affettuosamente “Ni”. Di solito “Ni” sembra non avere molto tempo da perdere dietro a domande sciocche come la tua, quindi decidi di chiedere al tuo vicino, il signor Mu.

*L’elettrone sente molto più debolmente le interazioni con l’Higgs, al contrario delle* *sue cugine $\mu$ e $\tau$ .*

Il signor Mu sembra leggermente meno frenetico, e si comporta esattamente come te: avete delle personalità così identiche che quasi vi disgustate reciprocamente, quindi di solito circolate un po’ lontano l’uno dall’altra. Tuttavia hai bisogno di informazioni, e ti prometti di parlargli non appena vi scontrerete di nuovo.

Il signor Mu ammette di essere sorpreso che tu ci abbia messo così tanto ad accorgerti del ronzio, lui lo percepisce 200 volte più forte di te.
Sa anche darti qualche informazione in più, perché di recente ha parlato con il signor Tau, il quale percepisce lo stesso ronzio quasi 20 volte più forte di lui.

Per il signor Tau non si tratta di un ronzio, ma di alcune interessantissime comunicazioni da parte del signor “H” , le quali lo invogliano a rallentare la sua corsa frenetica tra un punto e l’altro della sua esistenza, pur di ascoltare con maggiore attenzione ciò che il signor H ha da dirgli.
Non fai in tempo a fare altre domande che il signor Mu svanisce improvvisamente, lasciando il posto ad altre particelle, tra le quali riconosci il tuo amico Ni accompagnato dalla tua copia sputata.

Rimani un po’ perplesso/a dalla spiegazione del signor Mu. Pensavi fosse abbastanza scontato che te, Mu e Tau foste particelle molto simili. Perché mai il signor H si ostina a non volerti parlare a voce più alta? Perché senti a malapena un ronzio in confronto alle interessanti disquisizioni percepite da Mu e Tau?

Perché Mu e Tau svaniscono all’improvviso dopo così poco tempo, e tu sembri restare sempre la stessa, noiosa particella?

Il tempo passa e l’universo diventa più silenzioso. Ti ritrovi sempre più vicina ad altre particelle identiche a te, e inizi a condurre un’esistenza sempre più monotona, assuefatta dalle delicate parole di un interessante signore che qualcuno chiama “Nucleo”, il quale ti invita a stargli vicino.

*François Englert e Peter Higgs, premi Nobel per la Fisica 2013, tra gli inventori del meccanismo che dà la massa alle particelle del Modello Standard* tramite il campo di Higgs.

Impari che anche le altre particelle identiche a te non riescono a sentire nulla più di un ronzio da parte del signor H, e quindi capisci di appartenere a un’intera famiglia di particelle che sono un po’ “discriminate“.

Questo è uno degli aspetti più intriganti del Modello Standard: il modello non spiega perché il campo di Higgs interagisce più intensamente con alcune particelle e molto, molto più debolmente con altre.

In principio l’elettrone (la particella in cui ti sei reincarnato/a), il muone il tau sono creati praticamente uguali, sono tre cugini con uguale carica elettrica, spin e altri numeri quantici di interazione. Sono distinte giusto da un “cognome” di famiglia, appunto: “e”, “ $\mu$ ” e “ $\tau$ “.

Elettrone, Muone e Tau: le tre particelle “cugine” del Modello Standard costituiscono la famiglia dei **leptoni carichi.**

Dopo la rottura di simmetria elettrodebole (per la quale rimando al mio articolo), elettrone muone e tau acquistano una massa per via dell’interazione con il campo di Higgs.
Come funziona? L’interazione si scrive in un modo molto simile a questo (le “interazioni” del Modello Standard sono la scorciatoia per dire che due campi appaiono moltiplicati tra loro nelle equazioni del modello, o moltiplicati per un mediatore comune ad entrambi):

*Maggiore è la $y$ (chiamata costante di Yukawa), maggiore è la massa acquistata dalla particella per via del campo di Higgs.*

*Le masse delle particelle elementari del Modello Standard. L’altezza dei parallelepipedi rappresenta la loro massa.*

Il tau interagisce molto con l’Higgs, quindi la sua massa è molto più elevata di quella di muone ed elettrone. L’elettrone è quello che prende meno massa. Quanta meno? Tanta. Circa 0.3 millesimi di quella del tau, e 5 millesimi di quella del muone.

La storia non finisce qui: la particella elementare più massiva (il quark top) ha una massa che è quasi 100 volte quella del tau. Perché tutto questo “classismo” da parte del campo di Higgs? Perché sembra comunicare di più con alcune particelle e molto meno con altre?

La faccenda diventa quasi tragicomica nel caso dei neutrini (il famoso amico “Ni” della tua esperienza post-Big Bang). Si stima che la massa di un neutrino sia a sua volta quasi dieci miliardesimi di quella dell’elettrone. Questo aspetto ha suscitato uno scalpore tale da suggerire che il meccanismo di generazione della massa dei neutrini sia leggermente diverso da quello delle particelle “standard”. In particolare, il neutrino acquista massa grazie a processi sempre mediati dall’Higgs, ma che ricevono contributi da particelle non ancora osservate, che dovevano esistere da qualche parte nei primi istanti dopo il Big Bang.

Come possiamo accettare una tale differenza di trattamento? Come è possibile non restare intrigati dal carattere discriminatorio del campo di Higgs? Perché anche tra particelle praticamente del tutto simili come elettrone, muone e tau alle alte energie, c’è tutta questa discriminazione?

Questa è una parte dei compiti della fisica teorica di questo secolo. Non penserai mica che dopo la scoperta del bosone di Higgs nel 2012 siano finiti i suoi misteri? Assolutamente no, anzi si sono moltiplicati. Il bosone di Higgs (simbolo del trionfo intellettuale della fisica teorica del secolo scorso, e del trionfo sperimentale e tecnologico del secolo corrente) è un punto di partenza, non un punto di arrivo.

Il problema della gerarchia delle masse dei leptoni carichi e dei quark rimane ad oggi un mistero per il quale sono state presentate diverse soluzioni teoriche che dovranno superare i test sperimentali del prossimo secolo.
Chi vivrà, vedrà.

PS. ho scritto un libro di testo che rappresenta proprio ciò che avrei desiderato leggere all’inizio dei miei studi di Fisica teorica, per renderla accessibile agli amatori e insegnare le tecniche matematiche necessarie a una sua comprensione universitaria. Si chiama “L’apprendista teorico” , dai un’occhiata per vedere di cosa si tratta. Il libro è acquistabile su Amazon.

Matteo Parriciatu

Dopo aver conseguito la laurea in Fisica nel 2020, studia Fisica Teorica all’Università di Pisa specializzandosi in Simmetrie di Sapore dei Neutrini, teorie oltre il Modello Standard e interessandosi di Relatività Generale.
È autore del libro “L’apprendista teorico” (2021).

Quando Heisenberg propose che Protone e Neutrone fossero due stati della stessa particella

28 Agosto 20221 Novembre 2022by matteoparri2 Comments

Nel 1932 James Chadwick scoprì una nuova particella, era elettricamente neutra e aveva circa la stessa massa del protone. Essendo la prima particella neutra scoperta, venne battezzata “neutrone” per ovvi motivi.

*Werner Heisenberg (1901-1976), premio Nobel per la Fisica 1932.*

Meno ovvia era invece la natura intrinseca di questa particella, specialmente in un epoca dicotomica come quella, anni in cui protone ed elettrone erano lo yin e lo yang della fisica particellare. Tutto doveva essere composto di pochissimi costituenti elementari: il protone e l’elettrone rappresentavano l’unità di carica positiva e negativa per antonomasia.

Quindi ogni altra particella di qualsiasi carica doveva essere una composizione di protoni ed elettroni. Ah, se solo i fisici di quegli anni avessero potuto immaginare il gigantesco zoo di particelle che sarebbe apparso solo 20 anni dopo!

Sempre nel 1932 il fisico teorico Werner Heisenberg (lo stesso del famoso principio di indeterminazione) fu uno dei primi a lavorare su una interpretazione teorica del neutrone. Il suo obbiettivo era una teoria delle interazioni nucleari (materia su cui si sapeva ancora pochissimo e le idee erano molto confuse). Si cercava di rispondere a domande come: cosa compone i nuclei? Da cosa sono tenuti assieme? Come si possono modificare o trasformare?

Addirittura prima del 1932 si credeva che i nuclei fossero composti da protoni ed elettroni (i secondi avevano lo scopo di neutralizzare parte della carica del nucleo), cosa che non poteva essere più distante dalla realtà.

Fu Heisenberg a introdurre un po’ di ordine: sfruttò subito la scoperta del neutrone per inserirlo all’interno dei nuclei. In questo modo non servivano gli elettroni dentro il nucleo: invece di mettere il doppio dei protoni era sufficiente che ce ne fosse solo la metà che corrisponde alla carica elettrica nucleare, la restante parte della massa che serviva a raggiungere l’accordo con gli esperimenti era garantita dalla presenza di alcuni neutroni.

Si spiega più semplicemente guardando questo esempio:

Lo stesso nucleo descritto prima e dopo la scoperta del neutrone.
Prima del 1932, al fine di spiegare la massa misurata sperimentalmente era necessario introdurre il doppio dei protoni. Ma per compensare la carica elettrica in eccesso si doveva postulare la presenza di elettroni nel nucleo.

In ogni caso Heisenberg aveva anche l’obbiettivo di provare a interpretare la natura del neutrone utilizzando lo “yin e lo yang”. D’altronde questa particella aveva lo stesso spin e circa la stessa massa del protone, saranno mica così diversi?
Immaginò quindi che il neutrone potesse essere composto da un protone e da una specie di “elettrone con spin nullo”. In questo modo carica positiva più carica negativa fa zero, e lo spin (che è 1/2 per il protone) sommato con lo spin zero di quella specie di elettrone ipotetico, faceva correttamente 1/2.

Questa teoria fu abbandonata quasi subito, ma l’elettrone e il suo spin rimasero comunque la principale fonte di ispirazione per il vero guizzo creativo di Heisenberg.

Anzitutto il fisico si soffermò su un aspetto peculiare:

Le masse di protone e neutrone sono quasi uguali: differiscono solo dello 0.14%.

In particolare, Heisenberg notò che se in un esperimento la strumentazione di laboratorio non fosse abbastanza sensibile da distinguere questa differenza in massa, e se fossimo in grado di “spegnere” ogni tipo di interazione elettromagnetica, non saremmo nemmeno in grado di distinguere un protone da un neutrone!

Anzi, Heisenberg fece un passo ancora più lungo: la piccolissima differenza in massa tra protone e neutrone può essere ricondotta all’elettromagnetismo: il protone, essendo carico elettricamente, riceve dei contributi elettromagnetici che abbassano leggermente la sua massa rispetto a quella del neutrone (così si pensava all’epoca).

Come anticipato, Heisenberg prese ispirazione dal problema dello spin di un elettrone.
Già dagli anni ’20 si sapeva che lo spin di un elettrone era una quantità speciale che poteva assumere solo due valori distinti, per convenzione $+1/2$ e $-1/2$ .

*Una rappresentazione grafica dei due possibili valori di spin dell’elettrone.*

Lo spin era un numero quantico aggiuntivo che serviva a distinguere i possibili stati occupabili dagli elettroni negli orbitali atomici, e aveva a che fare con il comportamento degli elettroni in un campo magnetico.

In particolare si osservava che sotto l’azione di un campo magnetico gli atomi di un gas sviluppavano dei livelli energetici (sovrapposti a quelli già presenti) che prima non c’erano, segno che gli elettroni avevano interagito, tramite il loro spin, con questo campo magnetico: in base ai due possibili valori dello spin degli elettroni si ottenevano due nuovi livelli energetici molto vicini tra loro (vedi Effetto Zeeman).

In sostanza è come se una certa variabile nascosta (lo spin dell’elettrone) fosse venuta allo scoperto solo durante l’interazione elettromagnetica con il campo esterno.
Un fisico, per spiegare la separazione dei livelli energetici, avrebbe dovuto anzi postulare l’esistenza di questo nuovo numero quantico, e assegnargli precisamente due valori possibili.

Detto ciò, ad Heisenberg bastò tenere a mente la celebre equazione per l’energia a riposo di una particella, dovuta ad Einstein ( $E=mc^2$ ) per fare un collegamento molto interessante: la piccola differenza in massa ( $\Delta m$ ) tra protone e neutrone si traduce in una certa differenza in energia:

$\Delta E=\Delta mc^2$

A suo dire, questa differenza in energia era dovuta all’interazione elettromagnetica, allo stesso modo in cui la differenza in energia di due livelli atomici nell’effetto Zeeman era dovuta all’interazione con il campo magnetico.

Nel caso dell’effetto Zeeman, il tutto era spiegabile con l’introduzione di un nuovo numero quantico, lo spin.
Prima dell’accensione del campo magnetico, il livello energetico è lo stesso, dopo l’accensione, il livello si separa in due livelli.

Protone e neutrone potevano essere pensati come lo stesso livello energetico, la cui separazione è indotta (secondo Heisenberg) dalle interazioni elettromagnetiche!

L’analogia è evidenziata in questa figura:

*Analogia tra effetto Zeeman e la teoria di Heisenberg su protone e neutrone.*

Doveva allora esserci un nuovo numero quantico interno in grado di distinguere protone e neutrone durante i normali esperimenti, proprio come lo spin.

I fisici dell’epoca chiamarono isospin questo nuovo numero quantico, proprio per via dell’analogia con lo spin. In questo modo protone e neutrone non erano altro che due stati diversi della stessa particella, la quale fu battezzata nucleone. Per convenzione, al neutrone venne assegnato isospin $-1/2$ e al protone $+1/2$ .

Heisenberg sfruttò l’isospin per costruire una delle prime teorie sull’interazione nucleare. Il fisico tedesco sapeva bene che la forza nucleare doveva essere ben diversa da quella elettromagnetica fino ad allora conosciuta. Doveva essere una forza attrattiva, certo, se no il nucleo come fa a stare assieme? Però il tipo di attrazione non poteva essere simile a quello elettromagnetico.
Ciò era evidenziato da fatti sperimentali: proprio in quegli anni venivano condotti degli studi sulle energie di legame dei nuclei, e si scoprì che queste non crescevano come sarebbero cresciute se l’interazione nei nuclei fosse stata elettromagnetica.

*La differenza tra il comportamento nucleare e quello elettromagnetico.*

Inoltre, i dati sperimentali suggerivano che la carica elettrica del protone non influiva quasi per niente sui livelli energetici del nucleo. Quindi secondo Heisenberg i nucleoni contenuti all’interno dei nuclei dovevano interagire in maniera molto speciale, non tramite forze di tipo puramente coulombiano, ma tramite quelle che chiamò forze di scambio.

Queste forze di scambio potevano essere parametrizzate tramite degli operatori di isospin, del tutto simili agli operatori di spin della meccanica quantistica, i quali governavano le interazioni spin-obita e spin-spin tra i vari costituenti dell’atomo.

In questo formalismo lo stato quantistico di protone o neutrone poteva essere indicato con un vettore a due componenti:

Ma in realtà i nomi “protone” e “neutrone” divengono dei segnaposto per parlare di due stati della stessa particella: stato “isospin in alto” e stato “isospin in basso” (nota come ciò si traduce nella posizione del numero $1$ nella componente alta e bassa del vettore).

Nella teoria delle forze di scambio nucleare non è possibile distinguere tra protone e neutrone, cioè la teoria, globalmente, “non distingue” tra la carica elettrica del protone e quella del neutrone. Vengono visti come due facce della stessa medaglia, e sono interscambiabili senza che cambi nulla.

In questo senso si parla di simmetria di isospin delle forze nucleari

Per capire meglio come funziona questa teoria occorre fare un ripasso di algebra lineare in due dimensioni.

Un vettore $2D$ può essere rappresentato sul piano cartesiano $(x,y)$ come una freccia uscente dall’origine:

*La rappresentazione cartesiana del vettore (1,1). Le sue componenti sono v₁=1 sull’asse x, e v₂=1 sull’asse y.*

Ad esempio per costruire un vettore di componenti $(1,1)$ , cioè $v_1=1$ sull’asse $x$ , e $v_2=1$ sull’asse y, parto dall’origine e mi sposto di $1$ sull’asse $x$ , poi mi sposto di $1$ sull’asse $y$ . Il punto in cui arrivo è la testa del vettore. Collegando la testa con la coda (cioè l’origine) ottengo una linea diagonale che chiamo “vettore”.
Un vettore può essere trasformato da una matrice usando la seguente ricetta di composizione:

*Il risultato della trasformazione di un vettore è un nuovo vettore le cui componenti possono essere ottenute dalla ricetta contenuta nella matrice.*

Il vettore trasformato ha le sue componenti che nascono mischiando le componenti del vettore di partenza, secondo una particolare ricetta descritta dalla matrice-operatore.
Anche il non fare niente è una trasformazione: prende il nome di matrice identità, la sua azione mi fa ottenere di nuovo il vettore di partenza. Puoi verificare anche tu con la ricetta data sopra che il seguente calcolo lascia invariato il vettore di partenza:

*La matrice identità lascia il vettore invariato.*

Infatti in questo caso l’operatore è tale che $a_1=1, \,\,a_2=0\,\, a_3=0,\,\,a_4=1$ , e sostituendo nella ricetta di sopra otteniamo proprio che il vettore rimane invariato.

Per passare da uno stato all’altro del nucleone, cioè da protone a neutrone, si utilizzano gli operatori di salita e di discesa chiamati $\tau_+$ e $\tau_{-}$ , le quali sono matrici $2\times 2$ che agiscono sui vettori proprio come abbiamo visto sopra.

Puoi fare il conto anche tu e verificare che:

*Trasformazione di un protone in un neutrone*

*Trasformazione di un neutrone in un protone*

In generale lo stato di un nucleone è parametrizzato dalla sovrapposizione degli stati di protone e neutrone:

*Lo stato più generico di un nucleone*. $\alpha$ e $\beta$ sono parametri costanti.

Nella teoria di Heisenberg l’interazione tra due nucleoni deve tenere conto dei loro possibili stati di isospin. In particolare in un processo generico deve conservarsi l’isospin totale dei due nucleoni. La richiesta di questa conservazione permetteva di fare alcune previsioni su alcuni nuclei leggeri per mezzo di calcoli piuttosto semplici.

Alla fine la simmetria di isospin serviva a questo, era una semplificazione per i calcoli: tra tutte le possibili interazioni tra i nucleoni sono permesse solo quelle che conservano l’isospin totale, mentre vanno scartate tutte le altre.

Una simmetria imperfetta

La teoria dell’isospin di Heisenberg fu un buon colpo di genio, ma si rivelò piuttosto insoddisfacente a lungo andare. La verità è che a livello subnucleare protone e neutrone hanno una massa ben distinta! Ciò non è dovuto solo all’interazione elettromagnetica, ma anche alla composizione in quark di protone e neutrone (inutile dire che all’epoca di Heisenberg non si conoscevano i quark).

Se avessero masse uguali allora la simmetria di isospin sarebbe perfetta, quindi l’isospin sarebbe un numero quantico al pari dello spin degli elettroni. Questa differenza nella massa fa sì che la simmetria sia imperfetta, cioè consente di fare previsioni corrette solo entro un certo grado di approssimazione.

Nonostante ciò, l’idea delle simmetrie interne (come l’isospin) cambiò per sempre il modo di fare fisica delle particelle. Le simmetrie imperfette furono utilizzate per raggruppare alcuni gruppi di particelle che sbucavano fuori dagli esperimenti sui raggi cosmici e dagli acceleratori degli anni ’50 e ’60. In questo contesto le particelle di massa molto simile venivano catalogate come stati di una stessa particella con numeri quantici diversi (se ti incuriosisce: la via dell’ottetto).

Le simmetrie imperfette servirono ad ispirare Gell-Mann e altri fisici nella costruzione di una simmetria perfetta, che è quella della cromodinamica quantistica e che riguarda i quark. Ma di questo parleremo magari in un altro articolo…

PS. ho scritto un libro di testo che rappresenta proprio ciò che avrei desiderato leggere all’inizio dei miei studi di Fisica teorica, per renderla accessibile agli amatori e insegnare le tecniche matematiche necessarie a una sua comprensione universitaria. Si chiama “L’apprendista teorico” , dai un’occhiata per vedere di cosa si tratta. Il libro è acquistabile su Amazon.

Matteo Parriciatu

Dopo aver conseguito la laurea in Fisica nel 2020, studia Fisica Teorica all’Università di Pisa specializzandosi in simmetrie di sapore dei neutrini, teorie oltre il Modello Standard e interessandosi di Relatività Generale.
È autore del libro “L’apprendista teorico” (2021).

Il neutrino sterile: la particella “fantasma” che arrovella i fisici da decenni

25 Luglio 20226 Novembre 2022by matteoparri1 Comment

I neutrini sono a tutti gli effetti le particelle che abbiamo capito meno in tutto il Modello Standard.

In sintesi, le difficoltà sorgono dal fatto che queste particelle interagiscono con una sola delle interazioni fondamentali (senza contare la gravità), e questa è sfortunatamente l‘interazione debole. Alle tipiche energie dei nostri esperimenti questa interazione è fortemente soppressa (ecco perché si chiama “debole”), per cui è molto difficile produrre o far interagire dei neutrini:

In media, un neutrino interagisce una sola volta dopo aver percorso 100 miliardi di volte un diametro terrestre.

Nonostante ciò, i neutrini sono stati scoperti sperimentalmente e vengono studiati con cura dagli anni ’50, questo perché sono state impiegate sorgenti che ne emettono grandi quantità: in questo modo si contrasta la scarsa probabilità di interazione con l’enorme numero di “proiettili”. È la stessa filosofia di comprare un centinaio di “gratta e vinci” per aumentare le chances di pescarne almeno uno vincente.

Cosa non capiamo dei neutrini?

Per poter dire che “capiamo” tutto di una particella dobbiamo essere in grado di affermare quali siano i suoi numeri quantici, e di solito ci si concentra su questi tre:

Carica elettrica
Spin
Massa

Dei neutrini conosciamo con precisione solo i primi due: sono elettricamente neutri (infatti non interagiscono con la forza elettromagnetica) ed hanno spin 1/2, mentre sorprendentemente non sappiamo ancora con precisione il valore della loro massa. Sappiamo solo che non può essere più grande di un numero molto piccolo, per via delle evidenze sperimentali.

Ciò che stupisce è che rispetto alle altre particelle hanno una massa stupidamente minuscola, così piccola che è difficile da misurare: gli esperimenti ci consentono solo di porre dei limiti superiori sempre più piccoli. Per dare un’idea, l’elettrone ha una massa di mezzo milione di elettronvolt, mentre si stima che quella dei neutrini sia inferiore a un solo elettronvolt. Se l’elettrone è considerato la particella carica più leggera del Modello Standard, i neutrini sono davvero dei pesi piuma.

È di fondamentale importanza riuscire a determinare la massa di una particella. Nel Modello Standard la massa è spesso l’unico numero quantico che permette di distinguere tra due particelle che hanno gli altri numeri quantici uguali.

Ad esempio il muone e l’elettrone sono due particelle elementari con la stessa carica elettrica e lo stesso spin, ma il muone è circa 200 volte più pesante dell’elettrone ed è proprio ciò che ci permette di distinguerli nella maggior parte dei casi. Allo stesso modo il tau è la terza “sorella” di muone ed elettrone, in quanto ha stessa carica e stesso spin, ma massa pari a circa 18 volte quella del muone.
Queste tre particelle furono raggruppate in un trio chiamato “leptoni carichi”.

Per spiegare i risultati sperimentali degli anni ’30 e ’50, si associò a ciascun leptone carico (elettrone, muone e tau) un neutrino di tipo corrispondente. Infatti si dimostrò che in ciascun processo di interazione debole di un leptone carico compariva sempre un neutrino, di conseguenza:

All’elettrone venne associato un neutrino-elettronico: $\nu_e$
Al muone venne associato un neutrino-muonico: $\nu_\mu$
Al tau venne associato un neutrino-tau: $\nu_\tau$

Quindi anche i neutrini sono considerati dei leptoni, solo che hanno carica elettrica nulla. Assieme ai leptoni carichi costituiscono i 6 leptoni del Modello Standard.

La cosa importante da capire è che siamo in grado di distinguere un neutrino $\nu_e$ da un neutrino $\nu_\mu$ o da un neutrino $\nu_\tau$ : basta guardare qual è il leptone carico coinvolto nelle interazioni (rare) di questi neutrini!

In questo senso si parla di conservazione del sapore leptonico: un neutrino di sapore “muonico” è sempre associato, in un’interazione debole, a un muone. Se c’era un sapore elettronico all’inizio, dovrà esserci un sapore leptonico anche alla fine.

Le oscillazioni di sapore

Alla fine del secolo scorso si scoprì che i neutrini sono in grado di cambiare sapore leptonico durante il loro viaggio tra due punti dello spazio, e fu proprio questo fatto ad evidenziare che i neutrini dovevano avere una massa: senza una massa non è possibile questa oscillazione tra sapori!

L’oscillazione rompe la conservazione del sapore leptonico!