Un suo teorema cambiò per sempre la Fisica Teorica

Nascere in Baviera nel momento di maggior splendore del Secondo Reich comportava grossi vantaggi, ad esempio le opportunità accademiche: l’Impero Tedesco era il leader mondiale nelle scienze matematiche e fisiche.

Ciò era dovuto ai sostanziosi investimenti nella struttura scolastica e nelle università, il cui effetto collaterale fu quello di dare strumenti e voce a tante personalità geniali che altrimenti sarebbero rimaste inascoltate.

Immaginiamo ora di nascere in quelle circostanze, ma al contempo essere privati di tutte queste opportunità per via del proprio sesso.

Emmy Noether: 1882-1935

Il destino della giovane Emmy Noether sarebbe dovuto essere segnato già dalla sua nascita: il ceto borghese a cui apparteneva si aspettava precisamente che diventasse una maestra di inglese e francese.

Infatti alle ragazze non era concesso di puntare all’istruzione universitaria, dovevano fermarsi qualche passo prima.

Il padre di Noether era professore di matematica all’Università di Erlangen, mentre due dei suoi tre fratelli erano scienziati. La famiglia poteva quindi dare il necessario supporto a una carriera accademica, ed Emmy non aveva alcuna intenzione di essere lasciata indietro: voleva studiare matematica.

Per completare la sua formazione pre-universitaria decise di andare ad ascoltare le lezioni all’università di Erlangen, e per fare ciò doveva chiedere il permesso a ciascun professore individualmente.

Fu così che, con tutta la caparbietà del mondo, riuscì ad ottenere il diploma di ginnasio che le permise di frequentare l’università di Gottinga (senza iscrizione, dato che alle donne non era permesso).

Anche stavolta poteva solo ascoltare le lezioni, ma senza la possibilità di partecipare. Possiamo solo immaginare la spiacevole sensazione del sentirsi completamente trasparenti, inascoltati, ogni giorno della propria esistenza. I più fortunati tra noi vivono solo occasionalmente situazioni di questo tipo, ma per Noether dovevano far parte della sua identità.

Finalmente nel 1904 l’università di Erlangen permise l’iscrizione alle donne, e Noether ottenne il dottorato in matematica nel 1907. Le venne quindi concesso di fare ricerca all’istituto matematico di Erlangen, senza retribuzione.
Da allora Noether collaborò con le menti più proficue dell’epoca: Fischer, Minkowski, Klein, Hilbert (lavorò persino alla relatività generale di Einstein), ma a differenza loro Noether non vedeva un centesimo.

Non solo, doveva tenere le sue lezioni sotto il nome di Hilbert, in qualità di sua assistente, per far sì che fossero autorizzate e frequentate.

In questo astio sociale che andava a ledere la dignità personale di Noether, sarebbe stato molto comprensibile decidere di cambiare carriera.

L’articolo originale (in tedesco) di Emmy Noether, 1918.

Il fatto che lei non lo fece non dovrebbe far sentire in colpa chi invece avrebbe mollato: ognuno gioca la sua partita con le carte dategli dal destino. Noether dimostrò senza dubbio una tenacia fuori dal comune, forte della stima espressa da eminenti colleghi come Hilbert ed Einstein.

Sta di fatto che al momento giusto riuscì a far valere la sua genialità: nel 1918 dimostra un teorema che avrebbe cambiato per sempre il modo di fare Fisica Teorica.

Il teorema di Noether

L’enunciato del teorema testimonia la magnifica creatività ed eleganza di Noether, dato che può essere riassunto in sole 8 parole:

Per ogni simmetria c’è una legge di conservazione

Per comprenderne il significato facciamo un passo indietro.

La fisica studia il comportamento dei sistemi sotto particolari tipi di trasformazione.

Se a un fisico presenti un qualsiasi oggetto, la prima cosa che gli interessa è controllare come reagisce l’oggetto sotto una trasformazione.

Un esempio di oggetti che possiamo descrivere con una proprietà di forma geometrica.
A sinistra un oggetto simmetrico sotto una riflessione attorno al suo asse verticale, a destra un oggetto asimmetrico sotto la stessa trasformazione.

Questo atteggiamento è tipico della Scienza: si prende un oggetto e se ne verifica il comportamento sotto alcune trasformazioni, perché nei secoli si è capito che questo è il miglior modo per studiare il mondo che ci circonda.


Un esempio tipico di trasformazione è la rotazione spaziale: si tratta di ruotare gli oggetti attorno a qualsiasi asse passante per essi. Una volta effettuata la trasformazione ci si può chiedere quali proprietà dell’oggetto si vogliono indagare.


Ad esempio puoi prendere in mano il tuo telefono ed elencarne alcune proprietà:


La prima proprietà può essere quella ontologica: il telefono è un telefono perché è costruito in modo da funzionare come un telefono.

La seconda proprietà può essere funzionale: la facciata del telefono ha funzione di touchscreen, mentre il retro non ha questa funzione.

Una terza proprietà può essere la forma geometrica: un telefono è rettangolare.

Eseguiamo una trasformazione: ruotiamo il telefono di 180 gradi rispetto al suo asse verticale, cioè giriamolo in modo che ora il retro sia rivolto verso di noi.

Una volta ruotato il telefono possiamo chiederci: come sono cambiate le proprietà che avevamo elencato?

  • La prima proprietà non può variare: un telefono rimane tale indipendentemente da che angolo lo guardi.
  • La seconda proprietà varia, perché ora non puoi usare il touchscreen sul retro.
  • La terza proprietà non varia: un telefono rimane di forma rettangolare anche se ruotato.

Possiamo quindi classificare il telefono come un oggetto le cui proprietà variano in questo modo sotto una rotazione spaziale di 180 gradi attorno al suo asse verticale.
I fisici teorici lavorano così.

Se una certa proprietà rimane uguale a se stessa sotto una trasformazione, diremo che quella proprietà è una simmetria sotto quella trasformazione.

La simmetria è una “immunità” a una certa trasformazione.

La forma geometrica di una sfera è simmetrica sotto qualsiasi rotazione.

Facciamo un altro esempio. Consideriamo la sfera in figura, caratterizzata da un simbolo a forma di stella sulla sua superficie. Questa sfera può essere caratterizzata da due proprietà: la sua forma geometrica e la posizione della stellina. Potremmo classificare questo oggetto chiamandolo anche “sfera con una stellina in alto a sinistra”.

È intuitivo che sotto qualsiasi rotazione la sfera rimanga una sfera ai nostri occhi, ma la proprietà “stellina in alto a sinistra” cambia in base al tipo di rotazione. Ad esempio se riflettiamo la sfera attorno al suo diametro orizzontale, ora la proprietà cambierà in “sfera con stellina in basso a sinistra”.

La lezione da portare a casa è che non tutte le proprietà con cui possiamo descrivere un oggetto rimangono invariate sotto una trasformazione, e non c’è nulla di male in ciò.

Una simmetria va sempre riferita al tipo di trasformazione effettuato.


Possiamo dire che una sfera è simmetrica sotto rotazione, ma non possiamo dire che “sfera con stellina in alto a sinistra” rimane simmetrica sotto qualsiasi rotazione, ma magari solo per rotazioni di 360 gradi.

La conservazione nel teorema di Noether

Una classe speciale di trasformazioni in fisica sono le traslazioni. Possiamo considerare un certo sistema e segnare la sua posizione tramite degli assi cartesiani. In questo modo possiamo elencare alcune proprietà: ad esempio la massa dell’oggetto e la sua interazione con l’ambiente circostante, il suo moto ecc.

Per essere concreti consideriamo una particella in uno spazio completamente vuoto e identico in ogni suo punto.

Una particella in uno spazio completamente vuoto e identico in ogni suo punto.

Siccome lo spazio è vuoto ed identico in ogni suo punto, se spostiamo la particella in un altro punto le sue proprietà di moto non possono variare, altrimenti significherebbe che una qualche posizione spaziale è più speciale di altre, in contraddizione con l’ipotesi di spazio identico.


Non solo la proprietà di “particella” rimane invariata sotto la traslazione spaziale, ma anche le sue proprietà di moto.

La simmetria delle proprietà di moto viene chiamata quindi “conservazione” di una certa quantità, che in questo caso è la quantità di moto: una particella, come ci diceva Galileo, prosegue indisturbata nel suo moto rettilineo in assenza di forze, o rimane ferma se era già ferma.

Se invece ci fosse una forza, generata da una sorgente localizzata nello spazio, allora perderemmo l’equivalenza dei punti spaziali: non può esserci conservazione della quantità di moto, perché la quantità di moto varia in base alla forza applicata.

Non tutte le proprietà rimangono simmetriche sotto una certa trasformazione.

Supponiamo però che ora la sorgente di forza abbia una simmetria circolare, cioè che la forza sia la stessa lungo una circonferenza immaginaria centrata attorno alla sorgente.


In tal modo abbiamo ottenuto una simmetria sotto rotazioni attorno all’asse della sorgente. Per via di questa simmetria la traiettoria della massa è influenzata allo stesso modo indipendentemente da che angolo formi rispetto alla posizione della sorgente, ciò consente la conservazione di un’altra proprietà di moto: il momento angolare.

Abbiamo perso la conservazione della quantità di moto, ma abbiamo guadagnato la conservazione del momento angolare, che nasce da un’altra simmetria del sistema sorgente-particella.

Il pattern è chiaro: una certa simmetria spaziale di un sistema fisico genera la conservazione di una certa proprietà del suo moto, e questo è il contenuto del teorema di Noether: le leggi di conservazione nascono dalle simmetrie.


Come ci ha insegnato Einstein con la Relatività Generale, se consideriamo le traslazioni spaziali dobbiamo quindi considerare anche le traslazioni temporali e studiare le trasformazioni dei sistemi fisici sotto tali traslazioni.

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Il principio di conservazione dell’energia nasce proprio dalla simmetria sotto traslazioni temporali: se le interazioni di un sistema non variano nel tempo, deve conservarsi il suo contenuto energetico.

Energia e quantità di moto sono quindi due proprietà di un sistema che rimangono invariate sotto una traslazione temporale per la prima, e spaziale per la seconda.

Ciò aprì le porte alla fisica delle simmetrie, che ha permesso la classificazione di tanti tipi di interazione, con le relative particelle mediatrici. Infatti molti oggetti della fisica vengono classificati semplicemente in base a come trasformano: il modo che abbiamo di distinguere un processo di interazione da un altro è proprio osservarne il comportamento sotto trasformazioni. Nel tempo sono state studiate varie simmetrie:

  • La simmetria di inversione spaziale.
  • La simmetria di inversione temporale.
  • La simmetria sotto cambi di coordinate.
  • La simmetria sotto cambi di sistemi di riferimento inerziali.
  • ….

e da ciascuna (o da gruppi) di queste simmetrie è nata una teoria capace di spiegare i risultati sperimentali. Ad esempio la richiesta di simmetria di alcune quantità fisiche sotto un cambio di coordinate tra due sistemi in moto uniforme ha condotto alla relatività di Einstein. Oggi le nuove teorie della fisica delle particelle vengono costruite sui princìpi di simmetria.

Da tutto ciò si intuisce l’impatto colossale del teorema di Noether sulla Fisica Teorica: la matematica tedesca ha cambiato il nostro modo di pensare, rendendolo sorprendentemente elegante.


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Matteo Parriciatu

Dopo la laurea in Fisica (2020) e la magistrale in Fisica Teorica (2023) all’Università di Pisa, studia simmetrie di sapore dei leptoni e teorie oltre il Modello Standard.

È membro della Società Italiana di Fisica.

È autore del libro “L’apprendista teorico” (2021).

L’equazione più importante della fisica: perché tutto è un oscillatore armonico?

Spesso tra colleghi fisici ci si scherza sopra: “tutto, ma proprio tutto è un oscillatore armonico!”.
In realtà questa non è proprio un’esagerazione: in un certo senso, sotto alcune approssimazioni, tantissimi sistemi fisici hanno lo stesso comportamento di un oscillatore armonico.

Alcuni esempi:

  • Il pendolo oscilla
  • Le corde di una chitarra oscillano
  • Un liquido in un tubo a U oscilla
  • I pianeti seguono una traiettoria che riferita a una certa coordinata è un’oscillazione
  • La corrente elettrica in un circuito di una radio oscilla
  • Gli atomi oscillano
  • Gli elettroni sono delle oscillazioni di un certo campo fermionico

Cos’è un oscillatore armonico?

Tutti siamo familiari con il moto di una massa collegata a una molla: se tendiamo la molla e la lasciamo andare, la massa inizierà ad oscillare perché richiamata dalla forza elastica. Questa oscillazione è detta armonica perché è un’oscillazione perfetta, cioè segue l’isocronismo: il tempo che impiega la massa a fare avanti e indietro è indipendente da quanto è stata tesa la molla all’inizio. Questa proprietà permette di risolvere con estrema semplicità il moto di un sistema fisico.


L’equazione di un oscillatore armonico è la seguente

Questa è un’equazione differenziale che desidera essere risolta da una particolare funzione x(t) che rappresenta la traiettoria della massa nel tempo. Se non sai cos’è un’equazione differenziale, non preoccuparti, non è questo il punto del discorso.
Ti basta sapere che la soluzione x(t) è proprio un’oscillazione, cioè una funzione seno o coseno, avente una frequenza ω.

La traiettoria oscillante x(t) in funzione del tempo t.

La grande notizia è questa: sotto certe approssimazioni, la maggior parte dei sistemi fisici sono ben descritti da un’oscillazione!

Perché all’universo piace l’oscillatore armonico?

Le forze decidono in che modo devono muoversi i corpi.
Il motivo per cui la traiettoria della massa collegata alla molla obbedisce all’equazione differenziale dell’oscillatore armonico va ricercato nella natura dell’interazione tra la molla e la massa: la forza elastica.

In fisica tutte le interazioni possono essere descritte da un oggetto matematico fondamentale: il potenziale di interazione. Questo potenziale descrive le forze tra gli oggetti ed è specificato dall’interazione di cui si sta parlando, (ad esempio quella gravitazionale o elettromagnetica), per cui può dipendere dalle loro distanze reciproche, dalle loro masse, o dalle loro cariche elettriche.

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Per non mettere troppa carne sul fuoco consideriamo una sola dimensione spaziale x e supponiamo che l’interazione dipenda solo dalla distanza x dall’origine x=0.

Matematicamente il potenziale di interazione sarà quindi una funzione di x, che indichiamo per convenzione con U(x).

Alcuni potenziali di interazione in una sola dimensione. Solo il potenziale più a sinistra produce delle traiettorie di oscillazione armonica.

Il potenziale di un oscillatore armonico è una parabola

Il potenziale di un oscillatore armonico

Come mai ciò?
Immagina una biglia sul fondo di una scodella: se si prova a spostare la biglia verso le pareti della scodella, la biglia tornerà indietro verso il fondo e inizierà a oscillare da una parete all’altra fino a quando l’attrito non avrà consumato tutta l’energia potenziale iniziale.

La biglia vuole tornare nel fondo della scodella perché era una posizione di equilibrio stabile, ma non può più semplicemente fermarsi in quel punto dato che ha abbastanza energia cinetica da risalire nuovamente sulla parete in direzione opposta (abbiamo perturbato il suo equilibrio stabile).
Allo stesso modo una molla vuole portare il più possibile vicino a sé la massa (per raggiungere il punto di equilibrio), ma se lasciamo andare la massa da una certa posizione iniziale, essa avrà un’energia cinetica abbastanza elevata da non fermarsi nel punto di equilibrio della molla, per cui lo oltrepasserà e proseguirà fino a quando non sentirà l’interazione elastica richiamarla nuovamente, stavolta in direzione opposta.

Il punto è che il potenziale armonico è lo stesso sia per x>0 che per x<0:
la parabola è simmetrica nei due bracci

ciò consente alla molla di richiamare la massa con una simmetria direzionale perfetta: da questo nasce l’oscillazione. Tutte le interazioni che presuppongono l’esistenza di un potenziale a forma di parabola producono delle oscillazioni armoniche dei corpi.

La metamorfosi: come si diventa armonici?

La chiave che accomuna tutti i sistemi che possono essere trattati come oscillatori armonici è che debba esistere un punto di equilibrio stabile attorno a cui oscillare. Se fissiamo tale punto di equilibrio nell’origine x=0 allora grazie ai teoremi di analisi matematica abbiamo che il potenziale può essere sviluppato come un polinomio attorno a questo punto

dove teoricamente la somma continua fino all’infinito.
Il punto fondamentale è che possiamo approssimare, cioè possiamo studiare il sistema così vicino al punto di equilibrio da poter trascurare i termini polinomiali di grado superiore (in soldoni, il numero 0.01 al cubo è più piccolo di 0.01 al quadrato, e così via). Ad esempio possiamo fermarci al polinomio di grado due.

Non lasciarti distrarre dai parametri costanti F, sappi solo che dipendono dal punto attorno cui stiamo sviluppando il potenziale. In particolare nel punto di equilibrio si ha

infatti tale parametro rappresenta la forza sentita dal corpo, e per definizione di punto di equilibrio, la forza in quel punto è nulla. Quindi si annulla il primo ordine del polinomio, e se trascuriamo il terzo ordine, ci rimane proprio una parabola.

Quindi l’interazione diventa del tutto analoga a quella elastica per piccole distanze attorno alla posizione di equilibrio. Il potenziale armonico è uno dei pochissimi casi in cui sappiamo risolvere perfettamente le equazioni, per cui non solo all’universo piace oscillare, ma anche ai fisici piace descrivere interazioni molto complicate, approssimandole, quando possibile, con quelle di un oscillatore.



PS. ho scritto un libro di testo che rappresenta proprio ciò che avrei desiderato leggere all’inizio dei miei studi di Fisica e che ruota attorno all’equazione dell’oscillatore armonico. Si chiama “L’apprendista teorico” , dai un’occhiata per vedere di cosa si tratta. Il libro è acquistabile su Amazon.

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Matteo Parriciatu
Matteo Parriciatu

Dopo aver conseguito la laurea in Fisica nel 2020, studia Fisica Teorica all’Università di Pisa specializzandosi in simmetrie di sapore dei neutrini, teorie oltre il Modello Standard e interessandosi di Relatività Generale.
È autore del libro “L’apprendista teorico” (2021).

La caduta libera in un buco nero di Schwarzschild in coordinate di Fermi

Cosa percepisce un astronauta in caduta libera oltre l’orizzonte degli eventi?
Vengono utilizzate le coordinate normali di Fermi per descrivere lo spaziotempo in una piccola regione che circonda la traiettoria di un corpo in caduta libera verso un buco nero di Schwarzschild.

Perché la gravità è una forza fittizia in Relatività Generale?

Molte idee chiave della relatività generale sono nascoste nel formalismo di Minkowski della relatività ristretta. Partendo da ciò, possiamo percorrere la strada concettuale che condusse Einstein al più grande cambio di prospettiva dopo Newton:

La gravità è una forza fittizia perché è eliminabile con un cambio di coordinate: un corpo in caduta libera non è accelerato, segue solo la traiettoria percorsa dai corpi liberi in uno spaziotempo curvo.

Matteo Parriciatu

La deflessione della luce in un campo gravitazionale

A seguire il documento in PDF —->>>La deflessione della luce in un campo gravitazionale

Partendo da un’introduzione sulle basi matematiche della relatività generale, viene calcolata la geodetica di un fascio di luce in prossimità del Sole, ricavando il valore dell’angolo di deflessione.

Matteo Parriciatu

 

Compendio di Meccanica Celeste

A seguire il documento in formato PDF–>> Compendio di Meccanica Celeste

Vengono introdotti i concetti basilari riguardanti la dinamica di un corpo in un campo di forza centrale, come la forma della traiettoria in funzione dell’energia di legame dell’interazione. Vengono trattati la gravitazione, le leggi di Keplero, la legge di Newton e le perturbazioni gravitazionali. In particolare è analizzato dettagliatamente il famoso problema della precessione del perielio di Mercurio, sia con il calcolo classico sia con la soluzione fornita dalla relatività generale.

Matteo Parriciatu

Approccio classico alla teoria magnetica della materia

A seguire il documento in formato pdf–> Approccio classico alla teoria magnetica della materia

Entro i limiti concettuali della meccanica classica, è proposta la trattazione dei fenomeni di diamagnetismo e di paramagnetismo a livello atomico-molecolare, servendosi della precessione di Larmor e della legge di induzione nel caso del diamagnetismo, e di una distribuzione di probabilità di Boltzmann nel caso del paramagnetismo, arrivando a derivare in entrambi i casi le suscettività magnetiche in termini microscopici, fino alle leggi di Curie per il magnetismo.

Matteo Parriciatu

 

Sopra i fenomeni di polarizzazione nei gas

A seguire il link del documento in formato pdf Sopra i fenomeni di polarizzazione nei gas

Nell’ambito dei fenomeni elettrostatici, viene discussa l’applicazione di un campo elettrico ad un gas studiandone la polarizzazione elettronica e la polarizzazione per orientamento. Viene derivata la funzione di Langevin partendo da una distribuzione di Boltzmann nel caso della polarizzazione per orientamento.

Matteo Parriciatu