Fermi: quel 21enne che contribuì alla Relatività Generale

Uno degli scopi principali di Internet dovrebbe essere quello di dare la possibilità di condividere per aiutarsi a vicenda negli studi. In questo senso trovo appagante quando riesco a trovare un articolo di un altro studente che sta studiando un particolare argomento tecnico e ha voglia di condividere il risultato con gli altri, per aiutarli nella stessa ricerca. Ho tratto beneficio da questo tipo di pratiche, quindi mi sento di condividere a mia volta.

Una delle questioni che mi hanno lasciato insoddisfatto quando ho studiato Relatività Generale era la scarsa enfasi posta dai corsi e dai libri di testo introduttivi nei confronti delle coordinate di un osservatore in caduta libera.

Nella meccanica classica è spesso cruciale porsi nei panni di un osservatore che interagisce con l’universo intorno a sé, per capire come questi descrive i fenomeni intorno a lui, e le interpretazioni fisiche che ne dà.

Se ad esempio una particella in movimento si trova nella stessa regione di spazio di un’altra carica elettrica, è di nostro interesse capire quale sia il campo “visto” dalla particella, immedesimandoci in lei con un opportuno cambio di coordinate. Ciò ci permette di interpretare alcune proprietà del suo moto che altrimenti ci sarebbe apparso meno intuitivo.

Il principio di equivalenza

La Relatività Generale si fonda sul principio che un osservatore in caduta libera in un campo gravitazionale rappresenta un sistema localmente inerziale. Cioè nei pressi della sua traiettoria, dal suo punto di vista, lo spaziotempo è quello della relatività ristretta: piatto.

Questo principio permette di derivare la struttura matematica delle equazioni di Einstein per lo spaziotempo attorno a una distribuzione di massa o di energia qualunque. Tuttavia nella maggior parte delle trattazioni introduttive, il ruolo del principio di equivalenza finisce qui.

Ad esempio la soluzione che descrive lo spaziotempo attorno a un buco nero di Schwarzschild viene fornita nelle coordinate di un osservatore che si trova ad infinita distanza dal buco nero, e difficilmente viene affrontato il problema, (ben più interessante dal mio punto di vista), di come appaia lo spaziotempo attorno a un buco nero dal punto di vista di un osservatore che ci stia cascando dentro.

Questo è un gran peccato perché una delle curiosità più interessanti riguarda proprio ciò che percepirebbe un malcapitato nei pressi dell’orizzonte degli eventi!

La cosa curiosa è che nemmeno Einstein, il padre del principio di equivalenza e della relatività, si preoccupò di cercare quale fosse la trasformazione di coordinate per un osservatore in caduta libera (o meglio, si accontentò della prima approssimazione più semplice, e cioè lo spaziotempo piatto di un osservatore inerziale). Ma questo non ci dice nulla sullo spaziotempo poco più distante dalla traiettoria dell’osservatore, dove inizierebbero a manifestarsi gli effetti della curvatura!

Il giovanissimo Fermi

Sorprendentemente ci pensò l’allora 21enne Enrico Fermi, il quale scrisse quelle che oggi sono note come “coordinate di Fermi”. Il suo lavoro fu pubblicato nel 1922 con il nome “Sopra i fenomeni che avvengono in vicinanza di una linea oraria” e fu pionieristico.

Le coordinate di Fermi descrivono lo spaziotempo nelle vicinanze di un osservatore in caduta libera, e possono essere applicate per provare a soddisfare la curiosità di cosa succeda davvero nell’orizzonte degli eventi di un buco nero molto semplice, non rotante ed eterno: un buco nero di Schwarzschild.

Sfortunatamente queste coordinate sono poco trattate nei corsi introduttivi, e la letteratura è poco accessibile. Da questa insoddisfazione ho deciso di fare un po’ di ricerca a proposito e come risultato ho scritto un piccolo compendio con il fine di rendere questo argomento più accessibile a uno studente del primo anno di un corso magistrale.

Il file in PDF può essere scaricato qui sotto:

Naturalmente lascia a bocca aperta la maturità con la quale l’allora 21enne Enrico Fermi, geniale nella matematica, affrontò la questione. Ciò fu immediatamente riconosciuto dai fisici matematici italiani (come Levi Civita).

Oggi le coordinate di Fermi rappresentano uno strumento molto utile, e sono usate nella ricerca più avanzata nelle computazioni teoriche della relatività generale.


PS. ho scritto un libro di testo che rappresenta proprio ciò che avrei desiderato leggere all’inizio dei miei studi di Fisica teorica, per renderla accessibile agli amatori e insegnare le tecniche matematiche necessarie a una sua comprensione universitaria. Si chiama “L’apprendista teorico” , dai un’occhiata per vedere di cosa si tratta. Il libro è acquistabile su Amazon.

Come una simmetria fa nascere la teoria dell’elettromagnetismo

Gran parte del lavoro della fisica degli ultimi 70 anni è stato quello di scovare nuove leggi della natura a partire da princìpi di simmetria. Un esempio di questo modo di lavorare può essere fornito andando a re-inventare la ruota, cioè analizzando l’emergere della teoria dell’elettromagnetismo (studiata e compresa da ormai un secolo e mezzo) da un principio di simmetria.

L’identikit di una simmetria

Se mi chiedessero di riassumere ciò che i fisici teorici intendono con la parola magica “simmetria” tramite l’esempio più semplice possibile, userei questo:

Stai osservando un sistema fisico e nel mentre che chiudi gli occhi eseguo una certa trasformazione del sistema in modo che quando li riapri per te non è cambiato nulla: allora quella trasformazione è una simmetria del sistema.

Esistono simmetrie più intuitive e meno astratte di altre, e quelle della meccanica quantistica sono decisamente poco intuitive. Per questo motivo la nostra strategia sarà quella di cercare delle analogie con le simmetrie geometriche, con cui abbiamo più confidenza.

Prima di poter apprezzare il discorso è però necessario passare un piccolo purgatorio di matematica dei numeri complessi, perché è li che si nasconde la simmetria che fa nascere l’elettromagnetismo.

La natura complessa della quantistica

La meccanica quantistica studia il moto delle particelle tramite le funzioni d’onda che “vivono” in uno speciale spazio matematico.
Si scoprì presto che, per riprodurre i risultati sperimentali a partire dalla teoria, tale spazio matematico doveva essere a valori complessi. Perché? Semplicemente è più facile fare i conti con i numeri complessi, ed alcune proprietà fisiche appaiono più evidenti.

In ogni punto dello spazio, il valore della funzione d’onda è rappresentato da un numero complesso: cioè una freccia sul piano di Gauss.

Se non hai molta dimestichezza col concetto di numero complesso, può aiutare un’analogia.
L’essenza matematica è molto simile a quella di un vettore sul piano cartesiano, dove con “vettore” devi sostituire “numero complesso” e con “piano cartesiano” devi sostituire “piano di Gauss”.

Le analogie non finiscono qui!

  • Proprio come un vettore, un numero complesso può allungarsi, accorciarsi, ribaltarsi, e in generale ruotare sul piano di Gauss.
  • La lunghezza di un vettore è un numero reale ed è chiamata in gergo ”modulo”.
  • La “lunghezza“ di un numero complesso è un numero reale ed è chiamata in gergo ”modulo”.

I numeri complessi godono però di alcune proprietà aggiuntive che tornano molto comode nei calcoli, per cui vanno in ogni caso ben distinti dai vettori.

Nota bene: ciò che calcoliamo dalle misure negli esperimenti sono i numeri reali, non i numeri complessi.
Per questo motivo la funzione d’onda di una particella è stata interpretata dai fisici come un numero complesso il cui modulo al quadrato restituisce un numero reale che è la densità di probabilità

La funzione d’onda di una particella è un numero complesso il cui modulo al quadrato (numero reale) viene interpretato come la probabilità di trovarla in un certo punto dello spazio.

dove la probabilità è in un certo senso ciò che si manifesta sperimentalmente, e quindi è la connessione tra mondo teorico e mondo degli esperimenti. Tutti i calcoli della meccanica quantistica hanno lo scopo di arrivare a una stima della probabilità.

La cosa interessante è che la definizione di probabilità come modulo quadro della funzione d’onda ci lascia una certa libertà: potremmo moltiplicare la funziona d’onda per un altro numero complesso “z” avente modulo uguale a uno, e la probabilità rimarrebbe la stessa

Se il numero complesso z ha modulo uguale a uno, la sua moltiplicazione con la funzione d’onda non ha alcun effetto sulla probabilità.

Dal punto di vista del mondo reale non è cambiato nulla (la probabilità è la stessa), ma dal punto di vista matematico la moltiplicazione per il numero “z” ha trasformato, in ogni punto dello spazio, il valore della funzione d’onda.

“Trasformato? Che vuol dire? Non è un semplice prodotto algebrico quello che abbiamo appena visto?"

Lo sarebbe se stessimo parlando di numeri reali. Tuttavia una proprietà molto interessante dei numeri complessi è che quando li moltiplichiamo tra loro otteniamo una rotazione sul piano di Gauss.
La trasformazione prende il nome gergale “trasformazione di fase”.

Il numero complesso A viene ruotato di un angolo pari all’inclinazione del numero complesso B. Il risultato è un numero complesso AB ruotato.

La matematica della meccanica quantistica ci dà la libertà di trasformare il valore complesso delle funzioni d’onda in ogni punto dello spazio, senza intaccare la probabilità di osservazione che esse descrivono.

L’atto di trasformare un oggetto con il risultato di lasciare intatta una certa quantità (come la probabilità che osserviamo) corrisponde proprio all’identikit di una simmetria.

“Non mi convincono troppo queste parole altisonanti. “Simmetria" mi fa pensare più a una cosa geometrica, mentre mi pare di capire che qui siano solo astrazioni matematiche..."

Però abbiamo appena visto che la trasformazione di fase è parecchio analoga a una rotazione!

“Vorrai mica dire che c'è un modo per rendere più intuitive tutte queste astrazioni?"

Le interpretazioni di una simmetria: la teoria dei gruppi

Considera un quadrato disteso su un piano e immagina di chiudere gli occhi mentre io ruoto il quadrato di 5 gradi. Quando riapri gli occhi sei in grado di capire se ho eseguito una rotazione o meno?

Il quadrato iniziale (linea tratteggiata), e il quadrato dopo la rotazione di 5 gradi (linea continua).
“Mi prendi per uno stolto? Il quadrato ora è diverso da prima, è un po' più storto! Come fai a pretendere che non mi accorga della trasformazione?"

Ciò è successo perché la trasformazione “rotazione di 5 gradi” non è una simmetria del quadrato. Il quadrato non è rimasto identico a se stesso.

Un quadrato rimane identico a se stesso se invece lo ruotiamo per alcuni angoli speciali:

  • Possiamo non fare nulla, cioè ruotarlo di 0 gradi, e il quadrato rimane identico a se stesso.
  • Possiamo ruotarlo di 90 gradi e il quadrato rimane identico a se stesso.
  • Possiamo ruotarlo di 180 gradi e il quadrato rimane identico a se stesso.
  • Possiamo ruotarlo di 270 gradi e il quadrato rimane identico a se stesso.

In sostanza se io avessi eseguito una qualsiasi delle suddette rotazioni mentre tenevi gli occhi chiusi, dopo non saresti in grado di dirmi se io abbia trasformato il quadrato o meno.
In gergo gli angoli {90, 180, 270, 0} formano un gruppo: il gruppo di simmetria del quadrato.

Una rotazione di 90 gradi lascia il quadrato identico a se stesso.

Il nome “gruppo” si riferisce al fatto che se eseguissi due trasformazioni consecutive usando gli elementi del gruppo {90, 180, 270, 0} otterrei comunque una trasformazione che lascia invariato il quadrato, e quindi tale trasformazione deve fare anche lei parte del gruppo {90, 180, 270, 0}.
Ad esempio se ruoto di 90 e poi ruoto di 180, ottengo una rotazione totale di 270, che è un elemento del gruppo. Se ruoto di 270 e poi ruoto di 180 ottengo una rotazione di 450 gradi, che equivale a 90 gradi. Il gruppo è una “società chiusa“.

Spingendoci un po’ più sull’astratto desideriamo che un gruppo di simmetria, per ritenersi tale ai nostri occhi, abbia queste proprietà importanti:

  • Chiusura: se due elementi appartengono al gruppo, allora anche la loro composizione (cioè applico prima l’uno e poi l’altro) appartiene al gruppo. Lo abbiamo appena visto con le rotazioni.
  • Esistenza dell’identità: anche la trasformazione “non faccio nulla” deve appartenere al gruppo. Come ben sai, il “fare nulla” lascia le cose uguali a come erano prima.
  • Esistenza dell’inverso: se ruoto di 90 gradi e poi voglio tornare indietro, posso ruotare di altri 270 gradi e fare quindi un angolo giro di 360 gradi per tornare da dove ero partito. La composizione 90+270 equivale al “non fare niente”. Quindi diremo che l’elemento 270 gradi è la trasformazione inversa della rotazione di 90 gradi.

Il gruppo di simmetria del quadrato ha, come hai visto, pochi elementi. Esistono però gruppi con un numero infinito di elementi. Considera ad esempio un cerchio

Nel caso del cerchio qualsiasi angolo di rotazione è un elemento del gruppo di simmetria. Se chiudessi gli occhi e io ruotassi il cerchio di 13.42 gradi, dopo non sapresti dire se io abbia eseguito la rotazione o meno.
Il gruppo di simmetria del cerchio è definito da un angolo che può assumere infiniti valori.

“Tutto molto elegante, ma quindi? Non stavamo parlando di trasformazioni di fase?"

Le trasformazioni di fase: il gruppo U(1)

Abbiamo visto che le trasformazioni di fase che si fanno sulle funzioni d’onda sono delle rotazioni nel piano di Gauss, e la notizia è che sono molto simili al gruppo di simmetria del cerchio. Il loro collettivo ha un nome speciale: gruppo U(1).

Un elemento del gruppo può essere rappresentato da un esponenziale avente come esponente l’angolo di cui si sta facendo la rotazione.

“i” è l’unità immaginaria dei numeri complessi: la radice quadrata di -1.

Questa rappresentazione esponenziale degli elementi del gruppo rende più evidenti le proprietà dei gruppi elencate sopra:

Quindi la trasformazione di fase U(1) ha pieno diritto di essere considerata un gruppo di simmetria.

Quando trasformiamo una funzione d’onda moltiplicandola per un elemento del gruppo U(1), stiamo ruotando il suo valore sul piano complesso in ogni punto dello spazio in cui la funzione d’onda è definita. Se facciamo il modulo quadro di questo prodotto, l’effetto è quello di effettuare una rotazione inversa: la composizione delle due cose restituisce l’identità, cioè il non fare niente.

“Continuo a non capire perché porre tanta enfasi sulle simmetrie. È un accidente matematico e nulla di più, perché perderci tutto questo tempo?"

Il motivo di tanta enfasi è il teorema di Noether.

Simmetrie e conservazione

Il teorema di Noether garantisce che per ogni simmetria debba esserci una quantità conservata. Ad esempio se un sistema fisico ha lo stesso gruppo di simmetria del cerchio, la quantità conservata è il momento angolare nel tempo.

È lecito chiedersi quale quantità conservata si nasconda dietro la simmetria U(1).

La teoria della relatività impone che la teoria più semplice per la descrizione di una particella libera sia quella di Dirac

La teoria di Dirac per una particella libera di spin 1/2 e massa m.

Dove la parte di sinistra descrive un cambiamento della funzione d’onda nello spaziotempo, e la parte di destra descrive la massa “m” della particella.

La parte sinistra della teoria di Dirac coinvolge una derivata rispetto alle coordinate spaziotemporali, cioè calcola le variazioni della quantità su cui agisce. In questo caso agisce sulla funzione d’onda a destra.

La teoria di Dirac è stata costruita in modo da essere simmetrica rispetto a una trasformazione di fase globale. Le due funzioni d’onda scritte sopra trasformano infatti in modo opposto sotto una trasformazione U(1)

In modo che il loro prodotto rimanga invariato

La trasformazione di fase globale, ripetiamo ancora una volta, ha l’effetto di ruotare simultaneamente in ogni punto dello spaziotempo il valore della funzione d’onda nel piano di Gauss. In sostanza il valore dell’angolo di rotazione θ è uguale per tutti i punti dello spaziotempo.

Siccome θ è una costante (cioè uguale in tutti i punti dello spazio tempo, da cui il nome globale), la parte di variazione della teoria di Dirac è anch’essa lasciata intatta dalla trasformazione

L’angolo θ non dipende dallo spaziotempo e la derivata non ha effetto su di lui.

Questa simmetria della teoria di Dirac genera una quantità conservata molto importante: la differenza tra numero di particelle e numero di antiparticelle.

Tuttavia la relatività vieta che la trasformazione di una fase in un certo punto dello spaziotempo possa ruotare istantaneamente la fase in un altro punto.

Richiediamo che debba esserci un “tempo di propagazione diverso da zero” tra un punto e l’altro.
L’unico rimedio è assumere che l’angolo di rotazione θ abbia un valore diverso punto per punto nello spaziotempo e che la trasformazione si propaghi ad una velocità finita, trasmessa da un qualche campo ignoto che siamo costretti a introdurre nella teoria:

Introduzione di un campo ignoto nella teoria per fare da mediatore nella trasmissione dell’informazione sulla fase tra i punti dello spaziotempo. “q” è una costante ignota.

Inoltre ora la teoria di Dirac ha perso la simmetria U(1), in quanto la parte di variazione comprende sia la variazione della funzione d’onda, sia la variazione dell’angolo che passa da θ costante a θ(x) funzione dello spaziotempo:

La richiesta che l’angolo di rotazione dipenda dallo spazio rompe la simmetria globale U(1)

quel termine aggiuntivo a destra rovina la festa, perché l’espressione non rimane uguale a se stessa dopo la trasformazione!

“Mi pare che andiamo di male in peggio. Ora non solo dobbiamo aggiungere alla teoria un campo ignoto per rispettare la relatività, ma abbiamo anche un pezzo in più dovuto alla variazione dell'angolo θ(x)! 

Non ha proprio nulla di simmetrico, non ne usciremo mai!"

Siccome nella realtà nessun esperimento è in grado di rivelare questo cambiamento di fase θ(x) che abbiamo effettuato matematicamente, vorremmo eliminare questa imbarazzante rottura della simmetria nella matematica della nostra teoria. E se la via d’uscita fosse proprio il campo ignoto che siamo stati costretti a postulare?

Per preservare sia la simmetria U(1) che la relatività ristretta, possiamo imporre che la nostra teoria sia simmetrica rispetto a un nuovo tipo di trasformazione.

Ad esempio una trasformazione del tipo:

Per quale motivo proprio questa trasformazione? Furbizia!
Infatti facendo entrambe queste trasformazioni, i termini aggiuntivi si eliminano e la nostra teoria rimane invariata, cioè abbiamo di nuovo una simmetria, che chiamiamo per ragioni storiche “simmetria U(1) di Gauge“.

L’azione combinata di entrambe le trasformazioni fa in modo di cancellare il termine aggiuntivo, la teoria è ora simmetrica.

Nasce l’elettrodinamica quantistica

Tramite alcune ragionevoli considerazioni si dimostra che il famigerato campo ignoto non è altro che il campo elettromagnetico. La teoria di Dirac descrive il comportamento delle particelle cariche in presenza di un campo elettromagnetico!

La costante “e” rappresenta la carica dell’elettrone, se vogliamo descrivere l’interazione di un elettrone con un campo elettromagnetico rappresentato da “A”.

Si è presentata la necessità dell’esistenza del campo elettromagnetico nel momento in cui abbiamo richiesto che venisse rispettata la relatività ristretta assieme alla simmetria U(1). Ciò ci ha condotto a considerare un nuovo insieme di trasformazioni sotto le quali la teoria è simmetrica: la U(1) di Gauge.

Inoltre la quantità conservata sotto questa nuova simmetria è proprio la carica elettrica.

La teoria ottenuta da queste considerazioni è nota come elettrodinamica quantistica, ed è la teoria del modello standard meglio verificata sperimentalmente.


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Come l’antimateria nasce dalla relatività

Antiparticella = particella di uguale massa, ma con carica elettrica opposta

Il concetto di antimateria si è imposto praticamente da solo e prepotentemente, senza che nessuno lo abbia cercato di proposito, nel momento in cui sono state unificate meccanica quantistica e relatività ristretta alla fine degli anni ’20. Le prove sperimentali arrivarono fin dai primi anni ’30.
Oggi siamo in grado di produrre antimateria anche a fini medici (si pensi alla PET dove si sfruttano gli anti-elettroni, noti come positroni).

Ha un fascino particolare provare a seguire il percorso concettuale che, dalla relatività di Einstein, ha condotto alla teorizzazione dell’antimateria (dovuta a Dirac).

Facciamo finta di star scoprendo noi stessi il concetto di antiparticella in questo momento, e ripercorriamo tutte le tappe logiche fondamentali in cui potremo apprezzare il ruolo fondamentale giocato dalla teoria di Einstein.

L’energia di una particella

Nella meccanica quantistica ordinaria l’energia di una particella libera avente una quantità di moto p e una massa m si trova inserendo dentro l’equazione di Schrödinger la soluzione di onda piana (che è il modo quantistico di dire “particella esente da forze”). Il risultato è

La relatività di Einstein impone invece che tale espressione matematica per l’energia sia solo la versione approssimata della seguente

c è la velocità della luce

nell’approssimazione di quantità di moto molto piccole rispetto all’energia di massa. Fin qui nessun problema, la Fisica funziona così: quella che oggi sembra la forma definitiva di un’equazione, sarà l’approssimazione della versione più completa scoperta in futuro.

Il vero problema nasce quando si tenta di rendere l’equazione di Schrödinger relativistica

Lo schema è lo stesso: l’equazione non relativistica è solo l’approssimazione di quella relativistica, la quale, ad oggi, è la “vera equazione del moto” in quanto rispetta il principio di relatività di Einstein.

Il principio di relatività cambia la struttura matematica dell’equazione di Schrödinger, e se si prova a calcolare l’energia di una particella libera inserendovi al suo interno una soluzione di onda piana, si ottiene stavolta l’energia in questa forma curiosa e problematica

“Scusa, ma dove sta il problema? Abbiamo appena detto che la vera energia di una particella è data da quell'espressione brutta con m e c al quadrato e così via, non siamo contenti che l'equazione relativistica di Schrödinger restituisca la stessa energia per la particella libera?"

Il punto è che la struttura matematica dell’equazione di Schrödinger relativistica ci pone ora dinanzi a due vie, perché non ci dà l’energia, ma l’energia al quadrato!

Prima o poi nella vita siamo stati tutti mazziati dalla seguente proprietà matematica:

Ora il gioco è lo stesso, per la prima volta in Fisica l’equazione del moto di una particella esente da forze ci impone che l’energia possa essere data sia da un numero negativo che da un numero positivo

“E che ci vuole? Buttiamo via la soluzione negativa come si fa a scuola. Non esistono particelle libere con energia negativa!"

Facciamo però l’avvocato del diavolo e scegliamo di ascoltare la matematica imposta dalla relatività ristretta (ha sempre portato bene nella storia della Fisica!). Facciamo finta che possa esistere una particella ad energia negativa.

Come si comporta una particella di energia negativa?

L’energia in meccanica quantistica è importante perché ci dice come si evolve, nel tempo, la dinamica di una particella. Tale evoluzione è descritta, in soldoni, da

è insomma un esponenziale di un certo numero (di Eulero) avente come esponente il prodotto tra il numero complesso “i”, l’energia “E” e il tempo “t”. Non soffermarti sul perché, non è questo il punto.

Concentrati solo sul fatto che l’evoluzione dipende dal prodotto tra energia e tempo.

Se l’energia di una particella è negativa, il prodotto viene mandato in:

Ed ora è il momento di dire la cruda verità: ai fisici non piace per niente il fatto che le particelle possano avere energie negative, perché ci sarebbero non pochi problemi riguardo alla stabilità stessa della materia (mancherebbe un limite inferiore all’energia, un fatto molto pericoloso perché la natura vuole sempre occupare stati a energia minore).

Ma allora è tutto da buttare?


Continuiamo a fare gli avvocati del diavolo. Forse c’è un modo interessante di interpretare quel segno meno nel prodotto.

Continuiamo a seguire ciò che ci ha insegnato la relatività ristretta sulla struttura spaziotemporale della nostra realtà.

Questione di interpretazione: lo spaziotempo di Einstein

Supponiamo di osservare due eventi (contrassegnati da “1″ e “2″) che accadono in due punti dello spazio e a due istanti di tempo diversi. Li annotiamo sul nostro taccuino come

Ipotizziamo che, secondo noi, l’evento 1 sia avvenuto prima dell’evento 2. Matematicamente chiediamo quindi che sia

Se un altro osservatore in moto con una velocità costante “v” rispetto a noi osserva gli stessi eventi, annoterà anche lui i due eventi sul suo taccuino usando le sue personalissime coordinate

Einstein ci ha insegnato a collegare le due descrizioni dello stesso evento con la seguente trasformazione:

dove “γ” è una quantità positiva che dipende dalla velocità, di cui non devi preoccuparti.

Preoccupiamoci invece di sottrarre le due equazioni di sopra per ottenere la differenza tra gli istanti di tempo dei due eventi rilevati dall’osservatore in moto, rispetto alle nostre coordinate (così per curiosità, perché non farlo?)

La matematica della relatività ci tenta di porre la seguente domanda “e se la differenza tra i due istanti di tempo per il secondo osservatore fosse negativa?”. Ciò si tradurrebbe in:

La seconda condizione è possibile se la velocità del secondo osservatore è tale che

A patto però, come dicono le regole di Einstein, che v non superi la velocità della luce. Cioè deve essere

L’ultima condizione ci dice che la distanza spaziale tra i due eventi deve essere maggiore della distanza percorsa da un raggio di luce (di velocità c) nel tempo che intercorre tra i due eventi stessi. Se gli eventi soddisfano questa particolare caratteristica, allora è possibile trovare un osservatore con una velocità v tale da rendere

ovvero l’ordine degli eventi è invertito per il secondo osservatore: secondo lui è successo prima l’evento “2″ dell’evento “1”.

In relatività ristretta è permesso che l’ordine temporale degli eventi possa essere invertito dal punto di vista di un osservatore in moto

“Aspetta un attimo, ma questo mi consentirebbe di vedere la gallina prima dell'uovo, no? Non c'è un problema di causa-effetto?"

Ottima osservazione, ma non c’è nessun problema! Infatti l’inversione temporale avviene solo per eventi che non possono essere connessi da alcuna relazione causale: non ci può essere trasmissione di informazioni tra eventi che distano nello spazio più della distanza percorribile dalla luce nel tempo che li separa! Lo abbiamo incluso tacitamente nella condizione:

“Ok...e quindi? Cosa c'entrano nella fisica gli eventi senza connessione causale? La fisica è fatta di causalità! Mi pare che tu stia a chiacchierare di metafisica!“

Ora interviene la meccanica quantistica!

Per il principio di indeterminazione di Heisenberg, è possibile che una particella si propaghi da un punto all’altro dello spazio anche se questi due punti non sono connessi causalmente.

Se una particella viene emessa in un punto A ed assorbita in un punto B (e tali punti non sono causalmente connessi per ipotesi) allora un osservatore che si muove con una certa velocità (calcolata sopra), vedrebbe l’assorbimento della particella nel punto B in un tempo che precede l’istante in cui viene emessa nel punto A.

Come si esce da questo paradosso?

L’interpretazione di Feynman-Stückelberg

Il fisico americano Richard Feynman

Torniamo al prodotto tra energia e tempo per quanto riguarda l’evoluzione temporale di una particella. Avevamo detto che se l’energia è negativa abbiamo

Immagina che io ti abbia bendato gli occhi e avessi messo il segno meno davanti al prodotto senza dirti a quale fattore è stato applicato. Potrei benissimo aver cambiato segno a “t” invece che all’energia, senza dirti nulla. Il risultato è a tutti gli effetti equivalente:

Matematicamente non cambia nulla, ma il risultato è rivoluzionario:

Una particella di energia negativa può essere pensata anche come una particella di energia positiva che si muove indietro nel tempo!

Questa è l’interpretazione di Feynman-Stückelberg, i quali volevano cancellare dall’esistenza il concetto di energia negativa. Dal punto di vista delle interazioni tra le particelle, la relatività prevede l’inversione temporale, come abbiamo discusso sopra.

“Ma che senso ha questa propagazione indietro nel tempo? A me pare ancora che si stia parlando di metafisica qui..."

Hai ragione. Infatti bisogna sedersi un attimo e ragionare su cosa significhi, dal punto di vista fisico, l’inversione temporale.

L’interpretazione dell’inversione temporale

Generalmente classifichiamo le particelle in base al modo in cui si comportano nelle interazioni fondamentali. In particolare ci interessa studiarne la traiettoria in una regione in cui è presente un campo elettromagnetico.

L’accoppiamento tra una particella e un campo elettromagnetico ha un nome tutto suo: la carica elettrica “q”.

La forza elettromagnetica su una carica “q” modifica la sua traiettoria accelerandola.

Le particelle descrivono traiettorie in una certa direzione, in base al segno della carica “q”, che può essere positivo o negativo.

Tra tutti i simboli dell’equazione appena scritta, concentriamoci solo sul tempo “τ“. Ci sono solo due termini che contengono il tempo esplicitamente, ed entrambi si trovano al denominatore ed appaiono come

Se invertiamo il tempo, otteniamo che il termine a sinistra non cambia (essendo un quadrato). Quindi cambia solo il secondo e si ha

Quindi sotto inversione temporale compare un segno meno globale per tutta l’equazione.
Ora immagina di nuovo che io ti abbia bendato gli occhi e avessi fatto spuntare fuori questo segno meno senza dirti che ho invertito il tempo. Potresti benissimo interpretare il segno meno in questo modo

Dal punto di vista sperimentale, l’effetto è quello di aver invertito il segno della carica elettrica. Le equazioni del moto relativistiche ci dicono che invertire il tempo si traduce, sperimentalmente, come il moto di una particella di carica elettrica opposta.

Una particella di energia positiva che si muove indietro nel tempo può essere interpretata come una particella di energia positiva, ma con carica opposta, che si muove avanti nel tempo.

Ecco che sparisce tutta la stranezza dell’inversione temporale! Ed ecco cosa ci ha insegnato la relatività ristretta applicata alla meccanica quantistica!

Le particelle ad energia negativa possono essere interpretate come delle particelle ad energia positiva che si muovono avanti nel tempo, ma che hanno carica opposta.

Oggi abbiamo un nome particolare per questo tipo di particelle che differiscono dalle particelle originali solo per il segno della carica elettrica e degli altri numeri quantici: le antiparticelle.

Una particella di energia negativa può essere interpretata come un’antiparticella di energia positiva che si muove, come tutte le altre particelle, avanti nel tempo. L’antiparticella differisce dalla particella solo per il segno della carica elettrica e di altri numeri quantici.

In questo modo abbiamo risolto anche il paradosso enunciato sopra:

Mettiamo che io veda una particella emessa in un punto A ed assorbita in un punto B. Come ci dice la relatività un altro osservatore potrebbe invece vedere una particella assorbita in B in un istante che precede la sua emissione nel punto A (se A e B non sono connessi causalmente). Ma ora sappiamo che ciò equivale ad osservare una particella di carica opposta che viene emessa in B ed assorbita in A. La causalità è salva.


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Come la particella di Majorana potrebbe rivoluzionare la Fisica

Perché il neutrino?

Le particelle più famose sono notoriamente:

ProtoneElettroneNeutrone
Carica elettrica: +1 -1 0
La carica è data in unità della carica elementare dell’elettrone.

le quali erano le uniche particelle note al tempo in cui si studiavano i primi meccanismi nucleari (agli inizi degli anni 30′). Furono proprio i primi esperimenti sui nuclei a suggerire l’esistenza di una nuova, inedita particella elementare.

Il decadimento beta dei nuclei
Negli esperimenti si notava che alcuni nuclei erano in grado di emettere spontaneamente degli elettroni, con il nucleo che di conseguenza finiva per trasformarsi in quello dell’elemento successivo nella tavola periodica.

 
“Aspetta rallenta un attimo, quindi gli elettroni stanno dentro al nucleo e poi vengono rilasciati? Non torna mica con il modellino dell'atomo che s'è fatto a scuola!"


No: gli elettroni non possono “vivere” dentro i nuclei, perché sono troppo leggeri. I nuclei sono abitati da protoni e neutroni. Quindi questa emissione doveva essere spiegata in un altro modo. La teoria proposta era questa:
Dentro al nucleo un neutrone può trasformarsi in un protone (ciò spiega l’aumento del numero atomico nucleare) al prezzo di produrre anche un elettrone (al fine di lasciare inalterata la carica elettrica originale).
La reazione dovrebbe quindi essere

Un neutrone nucleare si trasforma in un protone più un elettrone

Il protone rimane confinato nel nucleo, mentre l’elettrone riesce a sfuggire con una certa energia ben definita dal punto di vista teorico.

Sperimentalmente invece l’energia dell’elettrone era tutt’altro che ben definita, ma distribuita in un certo intervallo.

Questo poteva voler dire due cose: o l’energia totale non si conserva, o l’energia dell’elettrone viene un po’ distribuita anche in quella di una terza particella invisibile emessa nel decadimento

Nessuno vuole mai sacrificare il principio di conservazione dell’energia, ma allo stesso tempo negli esperimenti non si vedeva nessuna “terza particella”, quindi che alternative avevano i fisici?
Inoltre siccome il processo deve conservare la carica elettrica totale, partendo da un neutrone (che è neutro come dice il nome) e arrivando a un protone più un elettrone (la cui carica totale è nulla), l’aggiunta di una terza particella senza intaccare la carica totale sarebbe possibile solo se tale particella fosse neutra.


In sintesi la “terza particella” deve soddisfare questo identikit:

  • Deve essere neutra
  • Deve interagire poco con le altre particelle (il motivo per cui non la vediamo sperimentalmente)
  • Deve essere molto leggera (per spiegare i dati sperimentali).

Enrico Fermi propose il nome “neutrino” per ovvie ragioni (ma non perché è “figlio del neutrone”: sono particelle davvero molto diverse, non farti ingannare dal nome). La reazione completa è quindi

La reazione corretta con l’aggiunta del neutrino

Il problema della massa del neutrino

I dati sperimentali lasciavano presagire che il neutrino dovesse avere una massa piccolissima, e che dovesse essere strutturalmente analogo all’elettrone, ma con carica nulla.

Siccome le particelle vengono catalogate in base a come trasformano sotto le simmetrie, il neutrino trovò subito la sua perfetta catalogazione nel ruolo di “particella di spin 1/2 con massa molto piccola” .

Le particelle di spin 1/2 sono descrivibili con due blocchetti matematici fondamentali:

I campi L e i campi R

Non soffermarti sui loro nomi per ora, sappi solo che si riferiscono al modo in cui entrambi trasformano sotto la simmetria di Lorentz (per saperne di più leggi questo).

Solitamente le particelle di spin 1/2 come gli elettroni possono essere pensate come la composizione di questi due blocchetti L e R perché partecipano sia ai tipi di interazione L sia ai tipi di interazione R.

Ora un fatto importante:

Per costruire una particella di spin 1/2 massiva occorrono entrambe le componenti L e R

D’altra parte i neutrini, in tutti i processi noti, interagivano solo con la componente L. Questa fu una conferma del fatto che il neutrino dovesse avere una massa esattamente uguale a zero: infatti siccome interagisce solo con la parte L, e siccome non è possibile descrivere una particella massiva con solo la parte L senza una parte R (si otterrebbe una teoria che viola il principio di relatività), allora il neutrino poteva benissimo essere descritto con un unico blocchetto L e avere massa nulla.

Due piccioni con una fava: Ettore Majorana

Ogni particella ha la sua antiparticella (di uguale massa e con carica opposta): l’elettrone ha il positrone, il protone ha l’anti-protone e il neutrone ha l’anti-neutrone.

Le anti-particelle sono ciò che si ottiene quando si mischia la teoria quantistica con la teoria della relatività, per cui sono un qualcosa di abbastanza fondamentale.
Per questo motivo anche il neutrino doveva avere un’antiparticella: l’anti-neutrino. Se il neutrino interagisce solo tramite un campo L, l’anti-neutrino interagisce solo tramite un campo R. Tutto torna matematicamente.

“Non me la bevo mica questa! Una particella di uguale massa e carica opposta si chiama anti-particella...ma il neutrone non ha carica, come si fa a distinguerlo dall'antineutrone?"

Il neutrone ha una struttura interna composta da quark: è possibile distinguerlo dall’anti-neutrone con alcuni esperimenti ben congegnati. Però hai sollevato un dubbio interessante che potrebbe riguardare il neutrino:

Chi ci dice che neutrino e antineutrino non siano in realtà la stessa particella? Dopotutto sono neutri…

e dopotutto non hanno una struttura interna di quark (essendo fatti della stessa pasta degli elettroni).

Purtroppo c’è un problema: se sono la stessa particella, come mai interagiscono in modo diverso? Il neutrino interagisce solo come blocchetto L e l’anti-neutrino solo come R. Una bella gatta da pelare.

Poi arrivò il genio di Majorana e prese due piccioni con una fava:

È possibile costruire una teoria che rispetti il principio di relatività a partire da un blocchetto L e un blocchetto R, ma con quest’ultimo costruito a partire da un blocchetto L tramite il meccanismo della coniugazione di carica. Un neutrino può quindi essere descritto da

campo L + C ( campo L)

con “C” si intende il meccanismo della coniugazione di carica

questa costruzione impone che neutrino e anti-neutrino sono la stessa particella: quello che in precedenza era visto come anti-neutrino era in realtà la componente R costruita con “C(L)”.

La cosa più sorprendente dell’intuizione di Majorana era però un’altra: s’era detto poco fa che si possono costruire particelle di spin 1/2 massive solo se hanno entrambe le componenti L e R: ebbene ora il neutrino di Majorana le ha entrambe, quindi è possibile dargli una massa ed ottenere allo stesso tempo una teoria che rispetti il principio di relatività!

Il neutrino di Majorana ha una massa

Per anni il lavoro di Majorana fu trascurato perché la comunità scientifica era invece fermamente convinta che i neutrini dovessero avere massa nulla, e per distinguerli dai neutrini di Majorana, furono chiamati neutrini di Weyl del modello standard. In questo modello il neutrino e l’anti-neutrino sono particelle distinte.

Ettore Majorana 1906 – 1938 (morte presunta)

Inoltre i neutrini di Weyl permettevano matematicamente la conservazione di un certo “numero leptonico” (un numero quantico derivante da una simmetria accidentale, cioè non giustificata teoricamente), il quale era un concetto molto caro ai fisici dell’epoca.
Il neutrino di Majorana avrebbe invece distrutto la simmetria del numero leptonico, per via della sua struttura matematica (campo L più campo C(L)). Un prezzo alto da pagare.

Lo scacco matto: i neutrini hanno massa!

La svolta arrivò con la scoperta del meccanismo di oscillazione dei neutrini. La cosa più importante che devi sapere di questo meccanismo è che letteralmente non potrebbe avvenire se i neutrini avessero massa nulla:

L’oscillazione dei neutrini IMPLICA che i neutrini hanno massa!

Tale fatto era prettamente sperimentale e si traduce nella questione seguente: la massa c’è, ma di che massa si tratta?

Massa di Dirac o massa di Majorana?

  • Una massa di Dirac cioè un neutrino composto da campi L e R che però interagisce solo con L;
    e l’anti-neutrino (distinto dal neutrino) composto anche lui da L e R, ma che interagisce solo con R.
    Le componenti R e L di neutrino e anti-neutrino rispettivamente sarebbero sterili (non partecipano alle interazioni).
  • Una massa di Majorana cioè il neutrino e l’anti-neutrino sono la stessa particella.

La massa di Dirac manterrebbe conservato il numero leptonico, mentre la massa di Majorana no. La massa di Dirac implica l’esistenza di componenti sterili del neutrino (che non partecipano alle interazioni), un fatto abbastanza misterioso. La massa di Majorana non ha bisogno di misteriose componenti sterili.

Conseguenze: la fine di una simmetria

Come possiamo sapere se la massa dei neutrini è di Dirac o di Majorana? Basta cercare un processo di neutrini che comporti la violazione del numero leptonico. Un processo di questo tipo è noto come “doppio decadimento beta senza neutrini” ed è molto raro, cioé molto difficile da rilevare sperimentalmente (vedi esperimento CUORE).

Se si dovesse osservare tale processo si dimostrerebbe una volta per tutte che i neutrini sono particelle di Majorana (a quasi un secolo dalla sua prematura scomparsa) e si aprirebbero nuovi orizzonti oltre il Modello Standard delle particelle: ad esempio la violazione del numero leptonico potrebbe dare nuova linfa ai modelli cosmologici che cercano di spiegare perché ci sia più materia che anti-materia nel nostro universo!


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Come lo spin nasce dalla relatività

Lo spin è uno dei concetti più astratti da capire in un qualunque corso base di scienza dell’atomo. Spesso se ne dà una rappresentazione “intuitiva” o “semi-classica” come il risultato della rotazione della particella intorno al proprio asse, lasciando ai più curiosi tanti, troppi interrogativi.
Un secolo di teoria quantistica dei campi ci ha invece aiutato a comprendere che la “biglia rotante” è solo un’ approssimazione (seppur molto utile) di un concetto dietro al quale si cela praticamente tutta la struttura della nostra realtà: la relatività speciale.

La scoperta che le particelle hanno uno spin è uno dei trionfi della fisica sperimentale, ma come viene interpretato lo spin nella fisica teorica moderna?

Il principio di relatività e la simmetria di Lorentz

La fisica è fatta di fenomenologia, e tali fenomeni sono studiati dagli osservatori, che possiamo essere tutti noi. Possiamo prendere righello e compasso e tracciare la traiettoria di un corpo sulla nostra personalissima cartina di coordinate.
Un osservatore è detto inerziale se può concordare con tutti gli osservatori che si muovono con velocità costante rispetto a lui su un fatto molto semplice: un corpo esente da forze si muove di moto rettilineo uniforme.
Il punto però è che:

Non esiste un osservatore inerziale più speciale di altri

Se io uso la mia cartina di coordinate, e Pino (che si muove con velocità costante rispetto a me) usa la sua cartina di coordinate, dobbiamo concordare sulle leggi della fisica dei fenomeni che stiamo osservando, per cui deve esistere una trasformazione che colleghi le mie coordinate con le sue: una traduzione da una lingua all’altra che preservi la struttura delle leggi fisiche.

Questo è quello che ci disse Galileo con il suo principio di relatività

Due osservatori inerziali descrivono lo stesso fenomeno fisico usando le loro coordinate. La traduzione che lega i due set di coordinate si chiama “Trasformazione di Galileo” e lascia invariate in forma le leggi della fisica.

Dopodiché venne Einstein e si accorse che le trasformazioni di Galileo non lasciavano invariata la velocità della luce vista da osservatori inerziali, e siccome ciò era in conflitto con le leggi dell’elettromagnetismo, Einstein disse che la relatività di Galileo era solo un’approssimazione di un tipo di trasformazioni di coordinate molto speciale: le trasformazioni di Lorentz

Le trasformazioni di Lorentz lasciano invariata la velocità della luce vista da tutti gli osservatori inerziali dell’universo.

Esiste quindi una struttura matematica ben precisa che permette di tradurre un set di coordinate in un altro, e tale struttura matematica lascia invariate le leggi della fisica ed anche la velocità della luce: è la simmetria di Lorentz.


Le leggi di Newton non rispettano la simmetria di Lorentz, perché sono un’approssimazione che rispetta invece la simmetria di Galileo. La relatività di Einstein ci insegna quindi a teorizzare delle leggi che rispettino la simmetria di Lorentz.

La ricerca di leggi che rispettano la simmetria di Lorentz ci ha condotto a nuova fisica e risultati confermati sperimentalmente

Simmetrie e generatori: la teoria quantistica dei campi

Nella fisica ogni simmetria genera una quantità conservata, e tale quantità può essere interpretata, matematicamente, come il generatore della simmetria.

  • La simmetria per traslazioni implica la conservazione della quantità di moto. Matematicamente una traslazione nello spazio può essere generata dalla quantità di moto.
  • La simmetria per rotazioni implica la conservazione del momento angolare. Matematicamente una rotazione nello spazio può essere generata dal momento angolare.
  • La simmetria per traslazioni temporali implica la conservazione dell’energia. Matematicamente l’evoluzione temporale può essere generata dall’energia di un sistema.
  • …..

e così via.
La relatività di Einstein ha postulato che il mondo debba rispettare una simmetria molto speciale: la simmetria di Lorentz. In questo caso la quantità conservata è una sorta di combinazione tra momento angolare e quantità di moto, che diventano quindi i generatori matematici della simmetria.

Questi generatori soddisfano alcune regole di composizione matematica, e tale fatto permette di rappresentarli in alcuni spazi molti speciali di oggetti matematici. Tali oggetti possono poi essere usati per descrivere i campi delle particelle quantistiche.

Il punto è che gli oggetti che vivono negli spazi delle rappresentazioni dei generatori di simmetria, trasformano in un modo ben specifico sotto la simmetria di Lorentz: questo permette di classificarli.

Siccome i fisici classificano le cose in base a come si comportano sotto le simmetrie, questo fatto ha permesso di catalogare tutte le particelle rivelate sperimentalmente.

Lo spin

Le diverse rappresentazioni dei generatori della simmetria di Lorentz possono essere catalogati con degli speciali numeri interi o semi-interi

E sono questi numeri a decidere in che modo speciale deve trasformare l’oggetto delle rappresentazione
j-esima sotto la simmetria di Lorentz.

Il passo successivo è costruire, per ciascun oggetto che trasforma nel suo modo speciale, una teoria invariante di Lorentz: una teoria di campo i cui quanti di eccitazione sono proprio particelle che, sperimentalmente, interagiscono con il mondo proprio in base al numerino speciale j, altrimenti detto spin.

I campi costruiti con gli oggetti degli spazi j descrivono le particelle che conosciamo:

  • Le particelle con spin j=0: come il bosone di Higgs
  • Le particelle con spin j=1/2: come gli elettroni, i protoni ecc.
  • Le particelle con spin j=1: come il fotone.

Lo spin è quindi un modo per dire “come trasforma quella particella sotto simmetria di Lorentz”?

Le rappresentazioni j della simmetria continuano fino a infinito, nulla lo vieta. Tuttavia non abbiamo ancora osservato sperimentalmente particelle elementari con spin superiore a j=1.


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Da dove nascono i princìpi di conservazione della Fisica?

La parola “conservazione” è una delle più ripetute su tutti i libri di fisica, ed è una delle prime parole prettamente “teoriche” imparate da bambini, a cui viene insegnata la “conservazione della massa” e dell’energia ancora prima di arrivare al liceo.
Quello che però non gli viene insegnato è il “perché” la scienza sia governata da princìpi di conservazione, ma c’è poco da biasimare: nessuno lo sa. Tuttavia la fisica teorica dell’ultimo secolo ha trovato il modo di interpretare matematicamente questo fatto, e il risultato è delizioso, ma ha a che fare con due concetti fondamentali: la trasformazioni e la simmetria sotto trasformazioni.

Trasformazioni e simmetrie

Detto in soldoni la fisica studia il comportamento dei sistemi sotto particolari tipi di trasformazione.

Se a un fisico presenti un qualsiasi oggetto, la prima cosa che gli interessa è controllare come reagisce l’oggetto sotto una trasformazione.

Un esempio di oggetti che possiamo descrivere con una proprietà di forma geometrica.
A sinistra un oggetto simmetrico sotto una riflessione attorno al suo asse verticale, a destra un oggetto asimmetrico sotto la stessa trasformazione.

Tutta la scienza fa ciò: prende un oggetto e ne verifica il comportamento sotto alcune trasformazioni, perché nei secoli si è capito che questo è il miglior modo per studiare il mondo che ci circonda.
Un esempio tipico di trasformazione è la rotazione spaziale: si tratta di ruotare gli oggetti attorno a qualsiasi asse passante per essi. Una volta effettuata la trasformazione ci si può chiedere quali proprietà dell’oggetto si vogliono indagare.
Ad esempio puoi prendere in mano il tuo telefono ed elencarne alcune proprietà:
La prima proprietà può essere quella ontologica: il telefono è un telefono perché è costruito in modo da funzionare come un telefono. La seconda proprietà può essere funzionale: la facciata del telefono ha funzione di touchscreen, mentre il retro non ha questa funzione. Una terza proprietà può essere la forma geometrica: un telefono è rettangolare.

Eseguiamo una trasformazione: ruotiamo il telefono di 180 gradi rispetto al suo asse verticale, cioè giriamolo in modo che ora il retro sia rivolto verso di noi.

Una volta ruotato il telefono possiamo chiederci: come sono cambiate le proprietà che avevamo elencato?

  • La prima proprietà non può variare: un telefono rimane tale indipendentemente da che angolo lo guardi.
  • La seconda proprietà varia, perché ora non puoi usare il touchscreen sul retro.
  • La terza proprietà non varia: un telefono rimane di forma rettangolare anche se ruotato.
La forma geometrica di una sfera è simmetrica sotto qualsiasi rotazione.

Possiamo quindi classificare il telefono come un oggetto le cui proprietà variano in questo modo sotto una rotazione spaziale di 180 gradi attorno al suo asse verticale.
I fisici teorici lavorano così.

Se una certa proprietà rimane uguale a se stessa sotto una trasformazione, diremo che quella proprietà è una simmetria sotto quella trasformazione.

La simmetria è una “immunità” a una certa trasformazione.

Facciamo un altro esempio. Consideriamo la sfera in figura, caratterizzata da un simbolo a forma di stella sulla sua superficie. Questa sfera può essere caratterizzata da due proprietà: la sua forma geometrica e la posizione della stellina. Potremmo classificare questo oggetto chiamandolo anche “sfera con una stellina in alto a sinistra”.

È intuitivo che sotto qualsiasi rotazione la sfera rimanga una sfera ai nostri occhi, ma la proprietà “stellina in alto a sinistra” cambia in base al tipo di rotazione. Ad esempio se riflettiamo la sfera attorno al suo diametro orizzontale, ora la proprietà cambierà in “sfera con stellina in basso a sinistra”.

La lezione da portare a casa è che non tutte le proprietà con cui possiamo descrivere un oggetto rimangono invariate sotto una trasformazione, e non c’è nulla di male in ciò. Una simmetria va sempre riferita al tipo di trasformazione effettuato.
Possiamo dire che una sfera è simmetrica sotto rotazione, ma non possiamo dire che “sfera con stellina in alto a sinistra” rimane simmetrica sotto qualsiasi rotazione, ma magari solo per rotazioni di 360 gradi.

La conservazione e il teorema di Noether

Una classe speciale di trasformazioni in fisica sono le traslazioni. Possiamo considerare un certo sistema e segnare la sua posizione tramite degli assi cartesiani. In questo modo possiamo elencare alcune proprietà: ad esempio la massa dell’oggetto e la sua interazione con l’ambiente circostante, il suo moto ecc.

Una particella in uno spazio completamente vuoto e identico in ogni suo punto.

Per essere concreti consideriamo una particella in uno spazio completamente vuoto e identico in ogni suo punto. Siccome lo spazio è vuoto ed identico in ogni suo punto, se spostiamo la particella in un altro punto le sue proprietà di moto non possono variare, altrimenti significherebbe che una qualche posizione spaziale è più speciale di altre, in contraddizione con l’ipotesi di spazio identico.
Non solo la proprietà di “particella” rimane invariata sotto la traslazione spaziale, ma anche le sue proprietà di moto.

La simmetria delle proprietà di moto viene chiamata quindi “conservazione” di una certa quantità, che in questo caso è la quantità di moto: una particella, come ci diceva Galileo, prosegue indisturbata nel suo moto rettilineo in assenza di forze, o rimane ferma se era già ferma.

Se invece ci fosse una forza, generata da una sorgente localizzata nello spazio, allora perderemmo l’equivalenza dei punti spaziali: non può esserci conservazione della quantità di moto, perché la quantità di moto varia in base alla forza applicata.

Non tutte le proprietà rimangono simmetriche sotto una certa trasformazione. Supponiamo però che ora la sorgente di forza abbia una simmetria circolare, cioè che la forza sia la stessa lungo una circonferenza immaginaria centrata attorno alla sorgente.
In tale modo abbiamo ottenuto una simmetria sotto rotazioni attorno all’asse della sorgente. Per via di questa simmetria la traiettoria della massa è influenzata allo stesso modo indipendentemente da che angolo formi rispetto alla posizione della sorgente, ciò consente la conservazione di un’altra proprietà di moto: il momento angolare.

Abbiamo perso la conservazione della quantità di moto, ma abbiamo guadagnato la conservazione del momento angolare, che nasce da un’altra simmetria del sistema sorgente-particella.

Emmy Noether, fisica matematica tedesca. Nel 1915 pubblicò uno dei risultati più spettacolari della fisica teorica.

Il pattern è chiaro: una certa simmetria spaziale di un sistema fisico genera la conservazione di una certa proprietà del suo moto, e questo è il contenuto del teorema di Noether. Il risultato è spettacolare:

Le leggi di conservazione nascono dalle
simmetrie.


Emmy Noether era contemporanea di Einstein, il quale proprio in quegli anni ci insegnò che spazio e tempo devono fare parte di un unico concetto: lo spaziotempo. Se consideriamo le traslazioni spaziali dobbiamo quindi considerare anche le traslazioni temporali e studiare le trasformazioni dei sistemi fisici sotto tali traslazioni.

Il principio di conservazione dell’energia nasce proprio dalla simmetria sotto traslazioni temporali: se le interazioni di un sistema non variano nel tempo, deve conservarsi il suo contenuto energetico.

Energia e quantità di moto sono quindi due proprietà di un sistema che rimangono invariate sotto una traslazione temporale per la prima, e spaziale per la seconda.

Ciò aprì le porte alla fisica delle simmetrie, che ha permesso la classificazione di tanti tipi di interazione, con le relative particelle mediatrici. Infatti molti oggetti della fisica vengono classificati semplicemente in base a come trasformano: il modo che abbiamo di distinguere un processo di interazione da un altro è proprio osservarne il comportamento sotto trasformazioni. Nel tempo sono state studiate tante altre simmetrie:

  • La simmetria di inversione spaziale.
  • La simmetria di inversione temporale.
  • La simmetria sotto cambi di coordinate.
  • La simmetria sotto cambi di sistemi di riferimento inerziale.
  • ….

e da ciascuna di queste simmetrie è nata una teoria capace di spiegare i risultati sperimentali. Ad esempio la richiesta di simmetria di alcune quantità fisiche sotto un cambio di coordinate tra due sistemi in moto uniforme ha condotto alla relatività di Einstein. Oggi le nuove teorie della fisica vengono costruite sui princìpi di simmetria.



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Le radici quantistiche della Fisica classica: da dove arriva il principio di minima azione?

Probabilmente avrai sentito parlare delle proprietà degli oggetti quantistici, in particolare della doppia natura ondulatoria-corpuscolare delle particelle. Avrai anche sentito da qualche parte che il mondo macroscopico è solo un’approssimazione di quello quantistico, ma forse non ti è mai stato detto in che senso.

Anche il mondo macroscopico è misterioso!

La fisica macroscopica è dominata dal misteriosissimo principio dell’azione stazionaria, il cui enunciato è:

La traiettoria seguita da un corpo è tale da estremizzare il prodotto fra la differenza di energia cinetica e potenziale e il tempo impiegato a percorrere la traiettoria.

Una traiettoria che unisce i punti A e B per un corpo in caduta libera. La suddividiamo in varie porzioni e per ciascuna calcoliamo la differenza tra energia cinetica T e potenziale U, moltiplicando poi per il tempo impiegato ∆t.

In soldoni: una massa in caduta libera (e quindi sottoposta al potenziale gravitazionale) segue, come sappiamo, una traiettoria rettilinea dall’alto verso il basso.

Fin qui nulla di speciale, non può mica fare le piroette per aria un grave, giusto? Sì, però perché? Andiamo a vedere cosa ha di speciale questa traiettoria.

Se per ogni porzione piccolissima di questa traiettoria calcoliamo la differenza tra energia cinetica ed energia potenziale del grave, e poi moltiplichiamo tale differenza per il tempo impiegato a percorrere tale porzione, e poi sommiamo tutti i risultati delle singole porzioni, otteniamo un certo numero che chiamiamo “S”.

Tieni bene a mente questo numerino “S” dato che è molto speciale, calcolabile per qualsiasi traiettoria e sistema fisico. In sostanza è un’indicazione di quanto eccesso di energia cinetica rispetto all’energia potenziale abbiamo avuto nella traiettoria, e per quanto tempo lo abbiamo avuto.


Se ora immaginiamo di avere poteri soprannaturali per modificare la traiettoria del grave in qualsiasi modo preferiamo, e rifacciamo lo stesso calcolo, scopriamo che è letteralmente impossibile ottenere un valore più basso di quello ottenuto prima, che era “S”. La traiettoria naturale del grave è tale da rendere minimo il numero “S”.

Tradotto: puoi immaginare di far compiere al grave qualche piroetta in aria, prima di farlo cadere dal punto più alto al punto più basso, e il numerino ”S” che provi a calcolare risulterà sempre maggiore di quello ottenuto con la traiettoria rettilinea naturale.
Se invece fai compiere al corpo traiettorie molto vicine a quella naturale, il numero ”S” si discosterà pochissimo da quello originale, cioè ∆S=0.

I punti A e B possono essere uniti da tante traiettorie immaginarie. Il principio dell’azione stazionaria ci dice che la traiettoria effettivamente seguita in natura è quella che estremizza il numero “S”.

I fisici calcolano in questo modo le traiettorie dei corpi nella meccanica classica, cercando cioè quella che minimizza il numero “S”.

Il mistero:


Il motivo per cui ciò debba essere così è letteralmente un mistero: perché la natura fa seguire delle traiettorie che estremizzano o minimizzano quella quantità, e scarta tutte le altre traiettorie?


In che modo il principio più importante della fisica teorica ci è suggerito dalle leggi quantistiche?

La soluzione:

Procediamo per piccoli step. Forse avrai già visto da qualche parte questa immagine, riguardo il comportamento degli oggetti quantistici

Se pratichiamo due fori su una parete S2 e vi facciamo passare un fascio di oggetti quantistici, le loro posizioni di arrivo sullo schermo F si dispongono a strisce, con un pattern ben determinato di interferenza. Se la natura di tali oggetti fosse solo corpuscolare ci aspetteremmo invece, come suggeritoci dall’intuito, solo due strisce, in corrispondenza dei fori.

Questa figura di interferenza è dovuta al fatto che gli oggetti quantistici si comportano come onde, e le onde hanno un modo molto speciale di interagire con l’ambiente: in corrispondenza dei due fori vengono a crearsi due nuove versioni dell’onda incidente, che finiscono poi per interferire tra loro: dove l’interferenza è costruttiva sullo schermo F, osserviamo un massimo (striscia chiara), mentre dove l’interferenza è distruttiva osserviamo un minimo (striscia scura).

I fisici quantistici interpretano il comportamento ondulatorio dicendo “Ok, alla particella è associata una certa ampiezza di probabilità (l’ampiezza dell’onda), e l’ampiezza totale di probabilità di trovare la particella su F deve essere data dalla somma delle ampiezze dei due fori”. La probabilità si trova poi facendo il quadrato dell’ampiezza totale, per cui la probabilità di arrivo in F è

Il quadrato della somma è diverso dalla somma di quadrati. Il termine misto è responsabile dell’interferenza.

Che succede se pratichiamo tre fori invece che due? Indovinato, dobbiamo sommare anche la terza ampiezza e fare il quadrato della somma delle tre. Se invece usiamo quattro fori? La stessa cosa. Ormai dovrebbe essere chiaro.
E se volessimo essere malefici e usare due pareti invece che una sola?

La probabilità di arrivare in O si ottiene facendo il quadrato della somma delle ampiezze B1,B2,B3, ma la probabilità che la particella arrivi in B1,B2 o B3 è data anch’essa dal quadrato della somma delle probabilità di A1,A2,A3. Si può ripetere il ragionamento ricorsivamente aggiungendo altre pareti.

Il fascio di oggetti quantistici parte dalla sorgente S e deve attraversare ora ben due pareti: si “propaga” in maniera probabilistica da ciascun foro A1,A2,A3 verso ciascuno dei fori B1,B2,B3,B4, dai quali, nuovamente, si propagherà per essere raccolto dallo schermo nel punto O con una certa probabilità che dipende da tutte le combinazioni possibili delle probabilità precedenti.

Che succede se al posto di praticare solo tre o quattro fori, usiamo una parete con centinaia, migliaia di fori? Esattamente la stessa cosa: la particella arriverà in O con una probabilità data dalla combinazione di tutte le ampiezze e i modi possibili di arrivare a destinazione.
Concorderai con me che se pratichiamo migliaia e migliaia di fori, è come se stessimo facendo scomparire la parete, ed infatti è proprio qui che sorge l’intuizione di Richard Feynman:

Un oggetto quantistico può propagarsi da S ad O seguendo tutte le traiettorie immaginabili, cioè ciascuna traiettoria, nessuna esclusa, contribuisce alla probabilità che l’oggetto possa essere osservato in O.

Una particella quantistica può arrivare in O seguendo qualsiasi traiettoria immaginabile. Naturalmente certe traiettorie sono semplicemente più probabili di altre, in base al valore del numero ”S”, che assume un ruolo importante anche nella teoria quantistica.

Questa è una proprietà speciale del comportamento ondulatorio degli oggetti quantistici, ma in che modo si ripercuote sul mondo degli oggetti macroscopici?

Il punto cruciale è l’interferenza distruttiva: nel limite macroscopico in cui la scala di energia quantistica diventa molto piccola, sopravvivono solo quelle traiettorie che fanno variare poco il numerino “S” che abbiamo definito in precedenza, dato che l’interferenza distruttiva è tanto maggiore quanto più varia “S”.

Siccome la traiettoria naturale (macroscopica) coincide con il limite estremo del valore di ”S”, abbiamo che ”S” varia molto poco in corrispondenza di traiettorie vicine a quella naturale, che quindi sopravvivono nell’interferenza.
Le altre traiettorie hanno semplicemente una probabilità minuscola di compiersi in natura, per questioni essenzialmente probabilistiche-ondulatorie.

Da qualche parte nel tempo, presente o futuro, potrai osservare un sasso che, nell’atto di cadere da un punto più alto a un punto più basso, compie una traiettoria circolare, poi fa zig zag avanti e indietro, ed infine cade nel punto più basso.

Non hai mai visto una cosa simile accadere? Ti credo bene!
La probabilità che segua questa traiettoria al posto di quella naturale è, quantisticamente parlando, così minuscola che non basterebbe l’età dell’universo per osservarla.



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L’equazione più importante della fisica: perché tutto è un oscillatore armonico?

Spesso tra colleghi fisici ci si scherza sopra: “tutto, ma proprio tutto è un oscillatore armonico!”.
In realtà questa non è proprio un’esagerazione: in un certo senso, sotto alcune approssimazioni, tantissimi sistemi fisici hanno lo stesso comportamento di un oscillatore armonico.

Alcuni esempi:

  • Il pendolo oscilla
  • Le corde di una chitarra oscillano
  • Un liquido in un tubo a U oscilla
  • I pianeti seguono una traiettoria che riferita a una certa coordinata è un’oscillazione
  • La corrente elettrica in un circuito di una radio oscilla
  • Gli atomi oscillano
  • Gli elettroni sono delle oscillazioni di un certo campo fermionico

Cos’è un oscillatore armonico?

Tutti siamo familiari con il moto di una massa collegata a una molla: se tendiamo la molla e la lasciamo andare, la massa inizierà ad oscillare perché richiamata dalla forza elastica. Questa oscillazione è detta armonica perché è un’oscillazione perfetta, cioè segue l’isocronismo: il tempo che impiega la massa a fare avanti e indietro è indipendente da quanto è stata tesa la molla all’inizio. Questa proprietà permette di risolvere con estrema semplicità il moto di un sistema fisico.


L’equazione di un oscillatore armonico è la seguente

Questa è un’equazione differenziale che desidera essere risolta da una particolare funzione x(t) che rappresenta la traiettoria della massa nel tempo. Se non sai cos’è un’equazione differenziale, non preoccuparti, non è questo il punto del discorso.
Ti basta sapere che la soluzione x(t) è proprio un’oscillazione, cioè una funzione seno o coseno, avente una frequenza ω.

La traiettoria oscillante x(t) in funzione del tempo t.

La grande notizia è questa: sotto certe approssimazioni, la maggior parte dei sistemi fisici sono ben descritti da un’oscillazione!

Perché all’universo piace l’oscillatore armonico?

Le forze decidono in che modo devono muoversi i corpi.
Il motivo per cui la traiettoria della massa collegata alla molla obbedisce all’equazione differenziale dell’oscillatore armonico va ricercato nella natura dell’interazione tra la molla e la massa: la forza elastica.

In fisica tutte le interazioni possono essere descritte da un oggetto matematico fondamentale: il potenziale di interazione. Questo potenziale descrive le forze tra gli oggetti ed è specificato dall’interazione di cui si sta parlando, (ad esempio quella gravitazionale o elettromagnetica), per cui può dipendere dalle loro distanze reciproche, dalle loro masse, o dalle loro cariche elettriche.

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Per non mettere troppa carne sul fuoco consideriamo una sola dimensione spaziale x e supponiamo che l’interazione dipenda solo dalla distanza x dall’origine x=0.

Matematicamente il potenziale di interazione sarà quindi una funzione di x, che indichiamo per convenzione con U(x).

Alcuni potenziali di interazione in una sola dimensione. Solo il potenziale più a sinistra produce delle traiettorie di oscillazione armonica.

Il potenziale di un oscillatore armonico è una parabola

Il potenziale di un oscillatore armonico

Come mai ciò?
Immagina una biglia sul fondo di una scodella: se si prova a spostare la biglia verso le pareti della scodella, la biglia tornerà indietro verso il fondo e inizierà a oscillare da una parete all’altra fino a quando l’attrito non avrà consumato tutta l’energia potenziale iniziale.

La biglia vuole tornare nel fondo della scodella perché era una posizione di equilibrio stabile, ma non può più semplicemente fermarsi in quel punto dato che ha abbastanza energia cinetica da risalire nuovamente sulla parete in direzione opposta (abbiamo perturbato il suo equilibrio stabile).
Allo stesso modo una molla vuole portare il più possibile vicino a sé la massa (per raggiungere il punto di equilibrio), ma se lasciamo andare la massa da una certa posizione iniziale, essa avrà un’energia cinetica abbastanza elevata da non fermarsi nel punto di equilibrio della molla, per cui lo oltrepasserà e proseguirà fino a quando non sentirà l’interazione elastica richiamarla nuovamente, stavolta in direzione opposta.

Il punto è che il potenziale armonico è lo stesso sia per x>0 che per x<0:
la parabola è simmetrica nei due bracci

ciò consente alla molla di richiamare la massa con una simmetria direzionale perfetta: da questo nasce l’oscillazione. Tutte le interazioni che presuppongono l’esistenza di un potenziale a forma di parabola producono delle oscillazioni armoniche dei corpi.

La metamorfosi: come si diventa armonici?

La chiave che accomuna tutti i sistemi che possono essere trattati come oscillatori armonici è che debba esistere un punto di equilibrio stabile attorno a cui oscillare. Se fissiamo tale punto di equilibrio nell’origine x=0 allora grazie ai teoremi di analisi matematica abbiamo che il potenziale può essere sviluppato come un polinomio attorno a questo punto

dove teoricamente la somma continua fino all’infinito.
Il punto fondamentale è che possiamo approssimare, cioè possiamo studiare il sistema così vicino al punto di equilibrio da poter trascurare i termini polinomiali di grado superiore (in soldoni, il numero 0.01 al cubo è più piccolo di 0.01 al quadrato, e così via). Ad esempio possiamo fermarci al polinomio di grado due.

Non lasciarti distrarre dai parametri costanti F, sappi solo che dipendono dal punto attorno cui stiamo sviluppando il potenziale. In particolare nel punto di equilibrio si ha

infatti tale parametro rappresenta la forza sentita dal corpo, e per definizione di punto di equilibrio, la forza in quel punto è nulla. Quindi si annulla il primo ordine del polinomio, e se trascuriamo il terzo ordine, ci rimane proprio una parabola.

Quindi l’interazione diventa del tutto analoga a quella elastica per piccole distanze attorno alla posizione di equilibrio. Il potenziale armonico è uno dei pochissimi casi in cui sappiamo risolvere perfettamente le equazioni, per cui non solo all’universo piace oscillare, ma anche ai fisici piace descrivere interazioni molto complicate, approssimandole, quando possibile, con quelle di un oscillatore.



PS. ho scritto un libro di testo che rappresenta proprio ciò che avrei desiderato leggere all’inizio dei miei studi di Fisica e che ruota attorno all’equazione dell’oscillatore armonico. Si chiama “L’apprendista teorico” , dai un’occhiata per vedere di cosa si tratta. Il libro è acquistabile su Amazon.

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Matteo Parriciatu
Matteo Parriciatu

Dopo aver conseguito la laurea in Fisica nel 2020, studia Fisica Teorica all’Università di Pisa specializzandosi in simmetrie di sapore dei neutrini, teorie oltre il Modello Standard e interessandosi di Relatività Generale.
È autore del libro “L’apprendista teorico” (2021).