L’inaccettabile negazione del Premio Nobel a Bruno Pontecorvo, teorico dei Neutrini

Bruno Pontecorvo (Marina di Pisa 1913- Dubna 1993).

La storia della scienza è cosparsa di scandali riguardanti la negazione di premi importanti a scienziati meritevoli per le più disparate ragioni.

Nel caso di Bruno Pontecorvo (a cui fu negato il Nobel per la Fisica del 1988) le ragioni erano prettamente politiche: era comunista e lavorava in URSS. In questo articolo dimostriamo perché questo debba ancora oggi risuonare come un vero e proprio scandalo scientifico.

Il “cucciolo” di via Panisperna

Nato a Marina di Pisa nel 1913, Bruno era una persona timida e la sua natura si distingueva da quella degli altri componenti dei gruppi di ricerca poiché, oltre a mostrare grandi doti come fisico sperimentale e teorico, era evidente in lui il profilo di abile fenomenologo, ossia una grande capacità di approfondire applicazioni e ipotesi di lavoro [1].

“A questa opinione soprattutto, io credo, devo la mia timidezza, un complesso di inferiorità che ha pesato su di me per quasi tutta la vita” 

Bruno Pontecorvo

Pontecorvo si riferiva alla seguente opinione che secondo lui i suoi genitori avevano sui loro figli: “il fratello Guido era considerato il più intelligente, Paolo il più serio, Giuliana la più colta e lui, Bruno, il più buono ma il più limitato, come dimostravano i suoi occhi, buoni ma non intelligenti.

Si può dire che Pontecorvo usufruì dell’istruzione universitaria più eccellente che ci fosse: fu ammesso al corso di Fisica sotto la guida di Enrico Fermi e Franco Rasetti nel 1931, all’età di 18 anni, entrando di diritto nel celebre gruppo dei ragazzi di via Panisperna (fu soprannominato “il cucciolo” per la sua giovane età).

Collaborò quindi alla ricerca sul bombardamento dei nuclei usando neutroni come proiettili, e nel 1934 si accorse assieme ad Edoardo Amaldi che la radioattività indotta da bombardamento di neutroni era circa cento volte più intensa se i neutroni attraversavano prima un filtro di paraffina (Fermi spiegò che questo era per via dell’idrogeno contenuto nel materiale, il cui effetto rallentava i neutroni, aumentando la loro efficacia nel bombardamento). Questa scoperta segnò uno step epocale per la ricerca sull’energia nucleare e valse il Nobel del 1938 ad Enrico Fermi, che ne spiegò il funzionamento.

Dopo il periodo romano, la sua vita fu molto movimentata e ricca di eventi di interesse storico.

  • Nel 1936 grazie a una raccomandazione di Fermi, collaborò a Parigi con Frédéric e Irène Joliot-Curie (rispettivamente genero e figlia di Pierre e Marie Curie e vincitori nel 1935 del premio Nobel per la scoperta della radioattività artificiale).
    Fu nell’effervescente ambiente parigino che iniziò a interessarsi di politica. In particolare si iscrisse al PCI nel 1939.
  • Dopo l’invasione della Francia da parte dei tedeschi, Pontecorvo, essendo ebreo, scappò in bicicletta da Parigi e con un rocambolesco viaggio fatto di varie tappe in treno, raggiunse Lisbona e da qui si imbarcò per gli Stati Uniti.
  • Nei primi anni ’40 lavorò per una compagnia petrolifera in Oklahoma, dove viveva con la famiglia. Qui applicò per la prima volta la tecnica dei neutroni lenti scoperta dai ragazzi di via Panisperna e inventò la tecnica del “carotaggio neutronico dei pozzi di petrolio“.
  • Nel 1943 si trasferì in Canada per lavorare in un laboratorio che si occupava di raggi cosmici. Fu qui che iniziò il suo studio dei neutrini alle alte energie.
  • Dopo aver lavorato in inghilterra, scappò in Russia con la famiglia nell’estate del 1950 senza avvertire nessuno. Per superare la cortina di ferro i Pontecorvo si divisero: moglie e figli su un’automobile, Bruno nascosto nel bagagliaio di un’altra. Nell’URSS continuò le sue importanti ricerche di fisica delle particelle in un laboratorio di Dubna.

Cosa si capiva, all’epoca, dei neutrini

Per poter dire che “capiamo” tutto di una particella dobbiamo essere in grado di affermare quali siano i suoi numeri quantici, e di solito ci si concentra su questi tre:

  • Carica elettrica
  • Spin
  • Massa

Dei neutrini conosciamo con precisione solo i primi due: sono elettricamente neutri (infatti non interagiscono con la forza elettromagnetica) ed hanno spin 1/2, mentre sorprendentemente non sappiamo ancora con precisione il valore della loro massa. Sappiamo solo che non può essere più grande di un numero molto piccolo, per via delle evidenze sperimentali. All’epoca di Pontecorvo si supponeva che non avessero massa.

Dallo studio dei raggi cosmici (ed in particolare del decadimento del muone) Pontecorvo iniziò a intuire una similitudine tra quanto osservato e una teoria del suo vecchio Maestro: la teoria del decadimento \beta di Enrico Fermi (clicca qui se vuoi saperne di più). In una lettera a Giancarlo Wick del 1947 scrisse:

Deep River, 8 maggio 1947

Caro Giancarlo (…) se ne deduce una similarità tra processi beta e processi di assorbimento ed emissione di muoni, che, assumendo non si tratti di una coincidenza, sembra di carattere fondamentale.

Bruno Pontecorvo

La scoperta di questa analogia fu uno degli step fondamentali che condusse all’introduzione di una nuova forza della natura: la teoria di Fermi passò dall’essere una semplice teoria fenomenologica ad una interazione fondamentale che si andava a sommare alle due già esistenti all’epoca: gravità ed elettromagnetismo.

La questione del neutrino rimaneva invece un vero mistero, specialmente la questione se avesse una massa o meno.
È di fondamentale importanza riuscire a determinare la massa di una particella. Nel Modello Standard la massa è spesso l’unico numero quantico che permette di distinguere tra due particelle che hanno gli altri numeri quantici uguali.

Ad esempio il muone e l’elettrone sono due particelle elementari con la stessa carica elettrica e lo stesso spin, ma il muone è circa 200 volte più pesante dell’elettrone ed è proprio ciò che ci permette di distinguerli nella maggior parte dei casi. Allo stesso modo il tau è la terza “sorella” di muone ed elettrone (fu scoperta nel 1975), in quanto ha stessa carica e stesso spin, ma massa pari a circa 18 volte quella del muone.
Queste tre particelle furono raggruppate in un trio chiamato “leptoni carichi”.

Elettrone, Muone e Tau: le tre particelle “sorelle” del Modello Standard costituiscono la famiglia dei leptoni carichi.

Per spiegare i risultati sperimentali degli anni ’30 e ’50, si associò a ciascun leptone carico (elettrone, muone e tau) un neutrino di tipo corrispondente. Infatti si dimostrò che in ciascun processo di interazione debole di un leptone carico compariva sempre un neutrino, di conseguenza:

  • All’elettrone venne associato un neutrino-elettronico: \nu_e
  • Al muone venne associato un neutrino-muonico: \nu_\mu
  • Al tau venne associato un neutrino-tau: \nu_\tau

Quindi anche i neutrini sono considerati dei leptoni, solo che hanno carica elettrica nulla. Assieme ai leptoni carichi costituiscono i 6 leptoni del Modello Standard.

Fu proprio Bruno Pontecorvo a suggerire questo raggruppamento in famiglie di “sapore”: sapore elettronico, sapore muonico e sapore tauonico. Ipotizzò questa teoria già nel 1947, ma la pubblicò con una dimostrazione rigorosa solo nel 1957.

La distinzione tra leptoni carichi e leptoni neutrini. Nell’immagine i leptoni dello stesso colore appartengono allo stesso “sapore”.

La cosa importante da capire è che siamo in grado di distinguere un neutrino \nu_e da un neutrino \nu_\mu o da un neutrino \nu_\tau: basta guardare qual è il leptone carico coinvolto nelle interazioni (rare) di questi neutrini!

Il modo in cui siamo in grado di dire quale dei tre neutrini stiamo considerando: basta guardare i leptoni carichi che escono fuori dalle interazioni del neutrino con la materia.

In questo senso si parla di conservazione del sapore leptonico: un neutrino di sapore “muonico” è sempre associato, in un’interazione debole, a un muone. Se c’era un sapore elettronico all’inizio, dovrà esserci un sapore leptonico anche alla fine.

Purtroppo, l’acceleratore di particelle di Dubna non era abbastanza potente per verificare le teorie di Pontecorvo sul sapore leptonico. Soltanto pochi anni dopo, agli inizi degli anni Sessanta, gli americani Leon Ledermann, Melvin Schwartz e Jack Steinberger confermarono sperimentalmente le ipotesi del fisico italiano.


Questa scoperta valse ai tre fisici il premio Nobel per la Fisica nel 1988 per “il metodo del fascio di neutrini e la dimo-strazione della struttura doppia dei leptoni attraverso la scoperta del neutrino muone”, suscitando lo scalpore di una parte della comunità scientifica internazionale per l’esclusione del fisico teorico italiano che per primo effettuò la previsione parecchi anni prima.

Le oscillazioni di sapore

Pontecorvo continuò il suo studio pionieristico dei neutrini e, in collaborazione con il fisico teorico Vladimir Gribov, nel 1969 presenta in dettaglio il formalismo matematico della teoria delle oscillazioni, che fu proposto come soluzione al problema dei neutrini solari sorto negli esperimenti del 1968.
Pontecorvo sosteneva che i neutrini dovessero avere una massa, seppur piccola, e che questo fosse la spiegazione per il problema dei neutrini solari.

La spiegazione di Pontecorvo si rivelò corretta: alla fine del secolo scorso si scoprì che i neutrini sono in grado di cambiare sapore leptonico durante il loro viaggio tra due punti dello spazio, e fu proprio questo fatto ad evidenziare che i neutrini dovevano avere una massa: senza una massa non è possibile questa oscillazione tra sapori!

Ciò che stupisce è che rispetto alle altre particelle i neutrini hanno una massa così piccola che è difficile da misurare.
Gli esperimenti ci consentono solo di porre dei limiti superiori sempre più piccoli. Per dare un’idea, l’elettrone ha una massa di mezzo milione di elettronvolt, mentre si stima che quella dei neutrini sia inferiore a un solo elettronvolt. Se l’elettrone è considerato la particella carica più leggera del Modello Standard, i neutrini sono davvero dei pesi piuma.

L’oscillazione rompe la conservazione del sapore leptonico!

Ad esempio da un processo debole che coinvolge un elettrone (rivelabile) sappiamo che sbucherà fuori un \nu_e, il quale, dopo una certa distanza, si tramuterà in un \nu_\mu, il quale interagirà facendo comparire un muone, che sarà a sua volta rivelabile e ci permetterà di dire che questa oscillazione è effettivamente avvenuta!

Per spiegare questo effetto vengono introdotti gli “stati di massa” dei neutrini, chiamati \nu_1,\nu_2,\nu_3 a cui vengono associate le masse m_1,m_2,m_3. Ciascun stato di massa “contiene” al suo interno i tre sapori dei neutrini \nu_e,\nu_\mu,\nu_\tau in proporzioni che possono essere studiate sperimentalmente.
Graficamente abbiamo quindi tre neutrini ciascuno contenente al suo interno il mixing di sapori:

Gli autostati di massa dei neutrini con al loro interno i mixing dei sapori.
Celeste: \nu_e, Marroncino: \nu_\mu, Grigio: \nu_\tau.

Questo mixing avviene nel senso quanto-meccanico di sovrapposizione di stati: ciascuno stato di massa è una sovrapposizione delle funzioni d’onda dei sapori leptonici e,\mu,\tau.

Ad esempio dalla figura leggiamo che sperimentalmente è stato verificato che lo stato \nu_1 contiene per la maggior parte il sapore elettronico \nu_e (indicato in blu), mentre il sapore tau \nu_\tau è presente solo in minima parte.

Essendo tutto ciò un effetto quanto-meccanico, a ogni oscillazione tra sapori è associata una certa probabilità che sarà tanto più elevata quanto più grande è il mixing tra sapori negli stati di massa. Questa probabilità è verificabile sperimentalmente: basta chiedersi “se nel punto di partenza ho N neutrini di tipo \nu_e, quanti neutrini di tipo \nu_\mu mi ritroverò a una certa distanza dal punto di partenza?”

Ad esempio la probabilità che un neutrino \nu_e si trasformi in un neutrino \nu_\mu è data dalla seguente formula:

Vengono chiamate “oscillazioni” perché la probabilità dipende da un seno al quadrato, il quale rappresenta graficamente un’oscillazione nelle variabili L,E,\Delta m^2.

in cui \theta è un parametro del Modello Standard che è stato misurato sperimentalmente (e definisce il grado di mixing dei due sapori in questo caso). D’altra parte \Delta m^2=m_2^2-m_1^2 riguarda la differenza tra i quadrati delle masse di \nu_2 e \nu_1, mentre L è la distanza a cui hanno viaggiato i neutrini prima di essere rivelati, ed E è la loro energia.
Nota bene che se questi neutrini avessero la stessa massa, e cioè \Delta m^2=0, non si potrebbero avere oscillazioni (la probabilità sarebbe nulla perché il seno di zero fa zero).

Ad esempio è molto più probabile che un \nu_e si trasformi in un \nu_\mu quando l’argomento del seno è vicino al punto in cui il seno ha un massimo, e cioè in prossimità di 90^{\circ} (o in radianti pi/2), e cioè quando

Da questa formula è possibile capire a che valore del rapporto L/E si è più sensibili per rivelare un’oscillazione da \nu_e in \nu_\mu. Si può quindi ottenere una stima di \Delta m^2.
Se ti interessa la Fisica, iscriviti alla newsletter mensile! Ho pensato di scrivere una guida-concettuale di orientamento per aiutarti a capire da dove studiare.

Studiando l’andamento dell’oscillazione con L/E si può quindi ricavare \Delta m^2 proprio da questa formula.

La differenza tra le masse dei neutrini \nu_2 e \nu_1 è minuscola, ma comunque calcolabile dai dati sperimentali. Allo stesso modo è stata calcolata la differenza tra le masse quadre di \nu_3 e \nu_2, e da ciò si può ricavare la differenza tra le masse quadre di \nu_3 e \nu_1.
Conosciamo solo queste \Delta m^2, ma non i valori singoli di m_3,m_2,m_1, che frustrazione, eh?

Misurando il numero di eventi di neutrini di un certo sapore ad alcuni valori del rapporto L/E si possono ricavare i valori sperimentali di \theta e \Delta m^2. Questo è proprio ciò che si fa da qualche decina di anni: la teoria delle oscillazioni è verificata con un alto grado di accuratezza.

I Nobel dei neutrini

La Fisica dei neutrini inaugurata da Pontecorvo ha portato a ben quattro premi Nobel, ma nessuno è stato vinto da lui. Tre di questi furono però assegnati solo dopo la morte di Pontecorvo (1993), il più recente risale al 2015. L’unico che sarebbe doveroso reclamare per la memoria del fisico teorico italiano sarebbe quello del 1988, inspiegabilmente assegnato ad altri se non per questioni politiche.

Pontecorvo rimane uno dei fisici con il numero di previsioni azzeccate più alto e allo stesso tempo un numero di riconoscimenti piuttosto irrisorio (vinse comunque il premio Lenin nel 1963).

Ciò che fa restare stupiti è la precocità delle sue idee: il campo dei neutrini è particolarmente infelice perché essendo questi così poco interagenti, la loro rivelazione può aversi solo grazie a esperimenti particolarmente costosi e avanzati, spesso traslati di almeno 30-40 anni nel futuro rispetto alla loro teorizzazione. Pontecorvo elaborò negli anni ’60 quasi tutta la fisica dei neutrini che utilizziamo ancora oggi e che ha trovato conferma solo negli ultimi 30 anni.

Se mai inventassero un Nobel postumo, uno dei primi a riceverlo dovrebbe essere Pontecorvo.
[1] Fonte principale: “Il fisico del neutrino”- Jacopo De Tullio.


PS. ho scritto un libro di testo che rappresenta proprio ciò che avrei desiderato leggere all’inizio dei miei studi di Fisica teorica, per renderla accessibile agli amatori e insegnare le tecniche matematiche necessarie a una sua comprensione universitaria. Si chiama “L’apprendista teorico” , dai un’occhiata per vedere di cosa si tratta. Il libro è acquistabile su Amazon.

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Matteo Parriciatu
Matteo Parriciatu

Dopo aver conseguito la laurea in Fisica nel 2020, studia Fisica Teorica all’Università di Pisa specializzandosi in simmetrie di sapore dei Neutrini, teorie oltre il Modello Standard e interessandosi di Relatività Generale.
È autore del libro “L’apprendista teorico” (2021).

L’intrigante “carattere discriminatorio” del bosone di Higgs

Immagina di reincarnarti in una particella elementare in un istante tra i 10^{-36} e i 10^{-12} secondi dopo il Big Bang.

L’universo ha un aspetto molto diverso da quello odierno, c’è tantissima confusione, un viavai di interazioni, come un vociare assordante.
La sensazione che provi è molto singolare, sei capace di individuare solo il momento in cui “appari” e il momento in cui “scompari”, ma nemmeno riesci a distinguere l’uno o dall’altro. Il problema è che ti muovi alla velocità della luce dato che, come tutte le altre particelle dell’universo, non hai massa. Per questo la tua percezione del tempo è assolutamente insensata, in accordo con le leggi della Relatività Ristretta.

In qualche modo sembra che il momento in cui appari e scompari dall’esistenza sia sempre accompagnato dalla presenza di una particella praticamente identica a te, o almeno questo è ciò che ti ricordi.

Ora i tempi sono cambiati (cambia tutto piuttosto in fretta quando passi da 10^{-36} a 10^{-12} secondi dopo il Big Bang). Ti accorgi che gli eventi iniziano ad avere una forma, tra un inizio e una fine c’è anche un presente.


Sei stata “rallentata” da qualcosa, e inizi a sentire il peso dello scorrere del tempo: non ti muovi più esattamente alla velocità della luce. Tra tutto quel vociare non riesci a prendere coscienza di cosa sia successo, pare che nessuno si sia accorto troppo del cambiamento, eppure inizi a riconoscere che le altre particelle non si comportano tutte come te, alcune sembrano interagire con le altre in un modo molto diverso dal tuo.

Ti viene in mente che questo possa essere connesso con l’esistenza di almeno due interazioni fondamentali diverse.

Inizi a raccogliere qualche indizio: ogni volta che scompari dall’esistenza è sempre coinvolta almeno un’altra particella. Dopo qualche tempo sei capace di individuare che esistono altre due particelle (che chiami signor “Mu” e signor “Tau”) che fanno le stesse cose che fai tu, e anche qualche particella identica a te e che per qualche motivo fa sempre il contrario di quello che fai tu.

Il signor Ni rappresenta il neutrino elettronico.

Non appena il vociare primordiale inizia a calmarsi, inizi a distinguere uno strano ronzio nelle tue orecchie “particellari”. Somiglia giusto a un timido bisbiglio, ed inizi a capire di star rallentando sempre di più la tua corsa frenetica tra un’esistenza e un’altra, forse per via di qualcosa che genera anche questo strano bisbigliare?

Decidi di chiedere informazioni a una delle particelle simili a te. C’è una particella in particolare che abbastanza spesso decide di scambiare qualche parola con te, solo che hai difficoltà a capirla perché è leggermente più frenetica. L’hai soprannominata affettuosamente “Ni”. Di solito “Ni” sembra non avere molto tempo da perdere dietro a domande sciocche come la tua, quindi decidi di chiedere al tuo vicino, il signor Mu.

L’elettrone sente molto più debolmente le interazioni con l’Higgs, al contrario delle sue cugine \mu e \tau.

Il signor Mu sembra leggermente meno frenetico, e si comporta esattamente come te: avete delle personalità così identiche che quasi vi disgustate reciprocamente, quindi di solito circolate un po’ lontano l’uno dall’altra. Tuttavia hai bisogno di informazioni, e ti prometti di parlargli non appena vi scontrerete di nuovo.

Il signor Mu ammette di essere sorpreso che tu ci abbia messo così tanto ad accorgerti del ronzio, lui lo percepisce 200 volte più forte di te.
Sa anche darti qualche informazione in più, perché di recente ha parlato con il signor Tau, il quale percepisce lo stesso ronzio quasi 20 volte più forte di lui.

Per il signor Tau non si tratta di un ronzio, ma di alcune interessantissime comunicazioni da parte del signor “H” , le quali lo invogliano a rallentare la sua corsa frenetica tra un punto e l’altro della sua esistenza, pur di ascoltare con maggiore attenzione ciò che il signor H ha da dirgli.
Non fai in tempo a fare altre domande che il signor Mu svanisce improvvisamente, lasciando il posto ad altre particelle, tra le quali riconosci il tuo amico Ni accompagnato dalla tua copia sputata.

Rimani un po’ perplesso/a dalla spiegazione del signor Mu. Pensavi fosse abbastanza scontato che te, Mu e Tau foste particelle molto simili. Perché mai il signor H si ostina a non volerti parlare a voce più alta? Perché senti a malapena un ronzio in confronto alle interessanti disquisizioni percepite da Mu e Tau?


Perché Mu e Tau svaniscono all’improvviso dopo così poco tempo, e tu sembri restare sempre la stessa, noiosa particella?

Il tempo passa e l’universo diventa più silenzioso. Ti ritrovi sempre più vicina ad altre particelle identiche a te, e inizi a condurre un’esistenza sempre più monotona, assuefatta dalle delicate parole di un interessante signore che qualcuno chiama “Nucleo”, il quale ti invita a stargli vicino.

François Englert e Peter Higgs, premi Nobel per la Fisica 2013, tra gli inventori del meccanismo che dà la massa alle particelle del Modello Standard tramite il campo di Higgs.

Impari che anche le altre particelle identiche a te non riescono a sentire nulla più di un ronzio da parte del signor H, e quindi capisci di appartenere a un’intera famiglia di particelle che sono un po’ “discriminate“.

Questo è uno degli aspetti più intriganti del Modello Standard: il modello non spiega perché il campo di Higgs interagisce più intensamente con alcune particelle e molto, molto più debolmente con altre.

In principio l’elettrone (la particella in cui ti sei reincarnato/a), il muone il tau sono creati praticamente uguali, sono tre cugini con uguale carica elettrica, spin e altri numeri quantici di interazione. Sono distinte giusto da un “cognome” di famiglia, appunto: “e”, “\mu” e “\tau“.

Elettrone, Muone e Tau: le tre particelle “cugine” del Modello Standard costituiscono la famiglia dei leptoni carichi.

Dopo la rottura di simmetria elettrodebole (per la quale rimando al mio articolo), elettrone muone e tau acquistano una massa per via dell’interazione con il campo di Higgs.
Come funziona? L’interazione si scrive in un modo molto simile a questo (le “interazioni” del Modello Standard sono la scorciatoia per dire che due campi appaiono moltiplicati tra loro nelle equazioni del modello, o moltiplicati per un mediatore comune ad entrambi):

Maggiore è la y (chiamata costante di Yukawa), maggiore è la massa acquistata dalla particella per via del campo di Higgs.
Le masse delle particelle elementari del Modello Standard. L’altezza dei parallelepipedi rappresenta la loro massa.

Il tau interagisce molto con l’Higgs, quindi la sua massa è molto più elevata di quella di muone ed elettrone. L’elettrone è quello che prende meno massa. Quanta meno? Tanta. Circa 0.3 millesimi di quella del tau, e 5 millesimi di quella del muone.

La storia non finisce qui: la particella elementare più massiva (il quark top) ha una massa che è quasi 100 volte quella del tau. Perché tutto questo “classismo” da parte del campo di Higgs? Perché sembra comunicare di più con alcune particelle e molto meno con altre?

La faccenda diventa quasi tragicomica nel caso dei neutrini (il famoso amico “Ni” della tua esperienza post-Big Bang). Si stima che la massa di un neutrino sia a sua volta quasi dieci miliardesimi di quella dell’elettrone. Questo aspetto ha suscitato uno scalpore tale da suggerire che il meccanismo di generazione della massa dei neutrini sia leggermente diverso da quello delle particelle “standard”. In particolare, il neutrino acquista massa grazie a processi sempre mediati dall’Higgs, ma che ricevono contributi da particelle non ancora osservate, che dovevano esistere da qualche parte nei primi istanti dopo il Big Bang.

Come possiamo accettare una tale differenza di trattamento? Come è possibile non restare intrigati dal carattere discriminatorio del campo di Higgs? Perché anche tra particelle praticamente del tutto simili come elettrone, muone e tau alle alte energie, c’è tutta questa discriminazione?

Se ti interessa la Fisica, iscriviti alla newsletter mensile! Ho pensato di scrivere una guida-concettuale di orientamento per aiutarti a capire da dove studiare.

Questa è una parte dei compiti della fisica teorica di questo secolo. Non penserai mica che dopo la scoperta del bosone di Higgs nel 2012 siano finiti i suoi misteri? Assolutamente no, anzi si sono moltiplicati. Il bosone di Higgs (simbolo del trionfo intellettuale della fisica teorica del secolo scorso, e del trionfo sperimentale e tecnologico del secolo corrente) è un punto di partenza, non un punto di arrivo.

Il problema della gerarchia delle masse dei leptoni carichi e dei quark rimane ad oggi un mistero per il quale sono state presentate diverse soluzioni teoriche che dovranno superare i test sperimentali del prossimo secolo.
Chi vivrà, vedrà.


PS. ho scritto un libro di testo che rappresenta proprio ciò che avrei desiderato leggere all’inizio dei miei studi di Fisica teorica, per renderla accessibile agli amatori e insegnare le tecniche matematiche necessarie a una sua comprensione universitaria. Si chiama “L’apprendista teorico” , dai un’occhiata per vedere di cosa si tratta. Il libro è acquistabile su Amazon.

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Matteo Parriciatu
Matteo Parriciatu

Dopo aver conseguito la laurea in Fisica nel 2020, studia Fisica Teorica all’Università di Pisa specializzandosi in Simmetrie di Sapore dei Neutrini, teorie oltre il Modello Standard e interessandosi di Relatività Generale.
È autore del libro “L’apprendista teorico” (2021).

“Smarriti nella matematica”? Gli ultimi tristi anni di Albert Einstein

Gli ultimi anni della vita di Einstein furono decisamente poco memorabili (scientificamente parlando). Il più grande fisico del XX secolo fu un po’ vittima dei suoi enormi successi giovanili, i quali lo condussero verso un isolamento intellettuale sempre più marcato.

Einstein sognava di unificare gravità ed elettromagnetismo in un unica, elegante “teoria del tutto”. Ovviamente nella sua epoca non si conoscevano ancora le forze nucleari debole e forte.

Uno dei motivi di questo isolamento era che Einstein rigettava la formulazione convenzionale della meccanica quantistica, che secondo lui era una teoria incompleta, esteticamente “sgraziata” e complicata.
Purtroppo il 99% della ricerca in fisica fondamentale dagli anni 20′ in poi si basava invece proprio sulla meccanica quantistica, quindi Einstein aveva ben pochi alleati su questo fronte.

Un altro motivo era dovuto a una sua ossessione: aveva il sogno di unificare due forze fondamentali, gravità ed elettromagnetismo. Queste due forze erano descritte da quelle che allora erano due teorie classiche di campo molto mature (classiche nel senso che non erano “quantizzate”. La quantizzazione dell’elettromagnetismo fu accuratamente ignorata da Einstein…)

Questa sua ossessione si fondava sul credere che la Natura avesse in serbo una teoria “elegante”, scritta con una matematica “bellissima” che lui era intenzionato a scoprire.


Effettivamente le teorie classiche di gravità ed elettromagnetismo erano due teorie, per certi versi, abbastanza simili (almeno nei temi).

Infatti la Relatività Generale di Einstein e l’Elettrodinamica classica possono essere entrambe costruite richiedendo che le loro equazioni rimangano invariate dopo che si eseguono certi tipi di trasformazioni sui loro campi fondamentali.

La ridondanza elettromagnetica

Il potenziale elettromagnetico quadri-dimensionale con cui viene formulata l’elettrodinamica (che chiamiamo A_\mu) presenta al suo interno un eccesso di informazioni. Che significa? Significa che per formulare l’elettromagnetismo è sufficiente un numero inferiore di parametri teorici rispetto a quelli forniti dalla formulazione 4-dimensionale della teoria (che con successo concilia l’elettromagnetismo di Maxwell con la relatività speciale).

Da un certo potenziale elettromagnetico sono ottenibili, tramite una specifica trasformazione, una serie di altri potenziali elettromagnetici che tuttavia lasciano invariate le leggi di Maxwell scritte con il potenziale originale. Le conclusioni fisiche sono le stesse.

Questo eccesso di informazioni si traduce nella seguente affermazione: il potenziale quadri-dimensionale può essere “traslato” nello spazio-tempo di una certa quantità, e la conseguenza è che l’elettromagnetismo rimane invariato.

Le equazioni non cambiano, la Fisica è la stessa.


Il motivo di ciò fu spiegato dalla teoria quantistica dei campi: quello che succede è che il fotone (la particella mediatrice dell’interazione elettromagnetica) ha massa nulla, e questo fa tutta la differenza del mondo in relatività speciale, perché può quindi muoversi alla velocità della luce (non è un grande sorpresa per te che la luce si muova alla velocità della luce).

I parametri che partecipano alla Fisica dell’elettromagnetismo si chiamano “stati di polarizzazione” (avrai sentito parlare degli occhiali polarizzati, ecco quel “polarizzato” si riferisce alla volontà di sfruttare le polarizzazioni della luce a proprio piacimento). La polarizzazione è per convenzione la direzione di oscillazione della campo elettrico di un’onda elettromagnetica (chiamata comunemente “luce”).

Dal punto di vista teorico, gli stati di polarizzazione possono essere studiati mettendoci nel sistema di riferimento in cui la particella mediatrice è ferma. Questi stati di polarizzazione hanno a che fare con la seguente domanda: che succede se ruoto il campo della particella nel suo sistema di riposo?
Il modo in cui il campo risponde alle rotazioni ci dà un’indicazione sui suoi stati di polarizzazione.

La quantità di moto di un oggetto fermo è nulla (per definizione di oggetto fermo), quindi se ruotiamo i nostri assi cartesiani la quantità di moto rimane la stessa (cioè nulla). Che furbata, eh? Beh questa libertà di ruotare le tre dimensioni si traduce in tre possibili stati di polarizzazione della particella.

Una rotazione attorno ad un asse è specificata da due componenti su un piano. In figura stiamo ruotando attorno all’asse z. Immagina che l’asse z sia la direzione di propagazione del fotone.

Il problema con il fotone è che avendo massa nulla si muove alla velocità della luce e quindi per via della relatività speciale non c’è modo di mettersi in un sistema di riferimento in cui il fotone è fermo: per ogni osservatore la velocità della luce è la stessa! Non riusciremo mai ad andare abbastanza veloci da vedere un fotone fermo! Il valore della velocità della luce non dipende in alcun modo dalla velocità di chi la misura.

Il meglio che possiamo fare è puntare il nostro asse cartesiano nella direzione di propagazione del fotone e studiare le rotazioni dei suoi stati attorno a questo asse. Le rotazioni attorno a un asse avvengono in un piano, il quale, essendo bidimensionale, è rappresentato da due parametri invece che tre. Quindi il fotone è specificato da solo due possibili stati di polarizzazione: solo due stati su tre partecipano alla Fisica dell’elettromagnetismo.

Che ce ne facciamo del terzo parametro che non utilizziamo? Ecco cosa intendevo con “eccesso di informazioni”. In soldoni, quella libertà viene tradotta dicendo che se aggiungiamo (o sottraiamo) al potenziale elettromagnetico una certa quantità arbitraria (la derivata di una funzione che chiamiamo \Lambda), le leggi della Fisica non cambiano. A scopo illustrativo questa è la trasformazione di cui parlo:

Il potenziale viene trasformato sottraendolo alla derivata di una funzione \Lambda. In gergo si parla di “trasformazioni di gauge”.

Dalla richiesta che la fisica non cambi se al potenziale elettromagnetico A_\mu aggiungiamo quella funzione arbitraria \partial_\mu \Lambda, discende la struttura matematica (con tanto di conseguenze fisiche) dell’elettromagnetismo.

Questo concetto è molto elegante: dalla richiesta che ci sia una certa ridondanza nella descrizione dei campi della teoria, discendono le equazioni che descrivono la realtà fisica.

So che risulta astratto da capire, ma tra tutte le forme possibili che possono assumere le leggi della fisica, richiedere che rimangano invariate dopo una trasformazione dei “blocchetti” di cui sono composte vincola parecchio il numero di forme possibili in cui possono presentarsi, assieme alle conseguenze fisiche che predicono. È in questo senso che diciamo “da questa richiesta derivano le leggi della Fisica” .

Questa eleganza stregò (e continua a stregare) i fisici teorici dell’epoca. Einstein fu tra i più colpiti.
Lo colpì soprattutto il fatto che la sua teoria della Relatività Generale (la migliore teoria che abbiamo ancora oggi sulla gravità classica) si basava su un principio molto simile.

Le leggi della gravità di Einstein discendono dalla richiesta che le leggi stesse rimangano invariate se si esegue una trasformazione di coordinate. In sostanza, la Fisica non deve dipendere da che tipo di “unità di misura” stai usando, o non deve dipendere dal fatto che il tuo laboratorio risulti ruotato in una certa direzione rispetto al centro della galassia (per esempio).

A grandi distanze dalla sorgente del campo gravitazionale, che chiamiamo h_{\mu\nu}, la trasformazione di coordinate del campo (la quale viene indicata con il simbolo \partial_\mu \epsilon_\nu) ha la seguente forma:

Magari non sarai familiare con la notazione degli indici spazio-temporali \mu,\nu , ma il punto della faccenda è notare la somiglianza (chiudendo un occhio) con la trasformazione del potenziale elettromagnetico:

Elettrodinamica (sopra) e gravità (sotto) a confronto. Entrambe queste trasformazioni hanno la proprietà di lasciare invariate le leggi della Fisica.

Secondo Einstein, questa somiglianza era una chiara indicazione che doveva esistere una teoria più fondamentale in grado di racchiudere gravità ed elettromagnetismo in un unico, elegantissimo linguaggio matematico.

Risulta interessante il fatto che non fu lui ad arrivare per primo ad un possibile tentativo di unificazione. La teoria di Kaluza-Klein nacque praticamente subito dopo la Relatività Generale, ed Einstein ne rimase estasiato.

Il primo tentativo di unificazione

La Kaluza-Klein si basava sul postulato che allo spaziotempo (già 4-dimensionale) dovesse essere aggiunta un’ulteriore dimensione, portando il totale a cinque. Questa dimensione sarebbe tuttavia troppo piccola per potere avere riscontri sperimentali, e la sua utlilità consiste unicamente nel fatto che in questo modo è possibile unificare gravità ed elettromagnetismo in un’unica elegante equazione di partenza.

La quinta dimensione nella teoria di Kaluza-Klein.

Tutti noi per disegnare un punto su un foglio ruotiamo leggermente la punta della penna per tracciare dei piccoli cerchi concentrici attorno a un punto fisso. Secondo la teoria Kaluza-Klein la quinta dimensione si nasconde nel bordo di ogni cerchio che circonda ciascun punto dello spaziotempo. Questi cerchi hanno un raggio R piccolissimo, molto più piccolo di qualsiasi scala subnucleare, questo è il motivo per cui non si osservano effetti fisici di tutto ciò.

Sfortunatamente la teoria della quinta dimensione ha serie difficoltà teorico-fenomenologiche: ad esempio ignora completamente l’esistenza delle altre interazioni fondamentali come la forza debole, della quale oggi sappiamo che a una certa scala di energia si unisce alla forza elettromagnetica per formare l’interazione elettrodebole.
Chiaramente Kaluza e Klein, avendo formulato la teoria nei primi anni ’20 , conoscevano solo la gravità e l’elettromagnetismo, per cui a detta loro (e anche di Einstein) la teoria era molto promettente.

Furono proprio le scoperte delle altre due forze fondamentali (quelle nucleari debole e forte) a far cadere nel dimenticatoio la Kaluza-Klein per qualche decennio. La teoria quantistica dei campi produceva risultati a un ritmo elevatissimo, spazzando via come un’onda tutte le teorie classiche di campo.

Einstein, che si assicurava di non utilizzare le teorie quantistiche di campo nei suoi lavori, lavorò alla Kaluza-Klein fino agli inizi degli anni ’40. Il suo obbiettivo era di ottenere, dalle soluzioni delle equazioni di campo della teoria a cinque dimensioni, dei campi che descrivevano delle particelle cariche in grado di interagire elettromagneticamente e gravitazionalmente.


Il suo obbiettivo era anche quello di derivare in qualche modo anche la meccanica quantistica a partire dalla sua teoria classica (non quantizzata). Tutto questo era sempre in linea con il suo intuito che la teoria quantistica non fosse completa, e che dovesse derivare da qualcosa di classico e molto più profondo.

Una volta introdotta l’ipotesi ondulatoria di De Broglie, il fisico Klein (uno degli ideatori della Kaluza-Klein) era stato in grado di spiegare anche la discretizzazione della carica elettrica delle particelle, proprio grazie alla quinta dimensione. Einstein evitò con cura di utilizzare l’ipotesi di De Broglie, e non menzionò mai il risultato di Klein. Insomma, se non si era capito, Einstein non apprezzava la teoria quantistica.

In ogni caso, Einstein concluse che la teoria di Kaluza-Klein non era in grado di spiegare un fatto empirico importantissimo: la gravità è estremamente più debole dell’elettromagnetismo. Questo spinse Einstein ad abbandonare per sempre la teoria dopo il 1941.

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Continuò quindi a lavorare, assieme a pochissimi altri, a teorie matematiche molto astratte e con pochi risvolti empirici. L’obbiettivo era sempre quello di unificare elettromagnetismo e gravità.

Non che fosse in torto nel perseguire questa sua ricerca, dato che l’obbiettivo delle teorie di grande unificazione che studiamo oggi è proprio quello di conciliare gravità e teorie quantistiche di campo (quindi non solo gravità ed elettromagnetismo, ma gravità e le altre tre interazioni fondamentali. Per una breve esposizione delle quattro interazioni, rimando al mio articolo).

Tuttavia fu proprio il suo ostentato rifiuto delle teorie quantistiche di campo a isolarlo sempre di più dal panorama scientifico internazionale. Anche se avesse fatto in tempo ad assistere alla sua nascita, Einstein non avrebbe mai approvato il nostro Modello Standard: in tale modello lavoriamo con teorie quantistiche basate solo sulla relatività speciale, ignorando completamente la gravità e lasciandola da parte in un settore chiamato “Relatività Generale”.
Invece secondo lui la gravità doveva avere un ruolo di primaria importanza negli sforzi dei fisici teorici:

Cosa sarebbe la Fisica senza la gravitazione?

Albert Einstein

Lavorò alla grande unificazione fino all’ultimo dei suoi giorni, facendo fede sulla sua convinzione (appartenente a un pensiero illuminista oggi superato) che una singola mente umana è in grado di scoprire ogni mistero dell’universo.

Sono comunque sicuro che a lui piacesse parecchio ciò che faceva, e non poteva esserci una fine più lieta per il più grande fisico del secolo scorso: morire “smarrito nella matematica”.


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Matteo Parriciatu
Matteo Parriciatu

Dopo aver conseguito la laurea in Fisica nel 2020, studia Fisica Teorica all’Università di Pisa specializzandosi in simmetrie di sapore dei Neutrini, teorie oltre il Modello Standard e interessandosi di Relatività Generale.
È autore del libro “L’apprendista teorico” (2021).

Sì ma, alla fine, cosa sono ‘sti numeri quantici?

Giusto per ricordare che i gatti sono riusciti a conquistarsi pure la meccanica quantistica, nell’immaginario popolare.

Ciò che frullava nella mia testa quando ho sentito la parola “numeri quantici” per la prima volta, durante una lezione di chimica in terza liceo, era qualcosa tipo:

“Tutto interessante e sembra anche molto logico. Giusto una cosa però: ma alla fine cosa sono 'sti numeri quantici? Proprio terra-terra, in meno parole possibili!"

Dopo aver studiato meccanica quantistica alla triennale credevo di essere praticamente pronto per dare una risposta terra-terra, a una persona non addetta ai lavori come il me stesso della terza liceo, ma poi mi sono accorto che non è tutto così “rapido”.

Non c’è NIENTE di intuitivo nel concetto di “numero quantico”.


Quando mi è stata posta la stessa domanda qualche tempo fa, nel bel mezzo dei miei studi alla magistrale, ho sputato fuori questa risposta un po’ frettolosa:

“Sono dei numeri che usiamo per catalogare delle soluzioni particolarmente semplici per risolvere problemi molto complessi. Sono utili anche perché nei processi "si conservano“, un po' come l'energia di un sistema, e semplificano quindi un po' di calcoli e previsioni."

Non è che fossi tanto convinto di questa risposta, e ancora meno lo era la persona di fronte a me. Mi sono accorto che probabilmente non sapevo dare una risposta più rapida senza coinvolgere dei semestri di algebra lineare, spazi di funzioni e fenomenologia delle interazioni fondamentali.
Se a te questa risposta soddisfa: nessun problema, è comprensibile. Rende comunque l’idea da un punto di vista pragmatico.

Se invece senti ci sia un gap nella divulgazione di questi concetti e provi curiosità, allora questo articolo vuole provare a rimediare.
Per raggiungere più persone possibili sarò molto conciso con ragionamenti “a grandi linee”, con varie licenze tecniche necessarie per un’esposizione di taglio divulgativo. Inoltre, per ragioni logistiche (e per non affaticare il lettore), l’articolo è suddiviso in due parti, questa è la prima parte!


Una tazza di caffè e possiamo iniziare!

Gli operatori della meccanica quantistica

Alla fine tutto l’ambaradan nasce dal fatto che la meccanica quantistica, a differenza della fisica classica, si basa su degli oggetti chiamati operatori. Come suggerisce il nome, questi oggetti operano sugli stati della teoria: prendono in input uno stato e ne restituiscono un altro come output, generalmente diverso dal primo:

Tutte le quantità che in meccanica classica erano dei semplici numeri reali (posizione, quantità di moto, energia, e così via) diventano, in meccanica quantistica, degli operatori: operatore posizione, operatore quantità di moto , operatore dell’energia (altrimenti detto “hamiltoniano”) etc.


Perché sono così necessari gli operatori? (qualsiasi cosa significhi per te in questo momento la parola “operatore”).
In breve, serviva un formalismo matematico capace di spiegare un fatto sperimentale: lo stato di un sistema poteva essere completamente determinato dalla posizione di una particella, ma al contempo la misura della quantità di moto della stessa particella non restituiva un valore ben preciso. È il principio di indeterminazione di Heisenberg.
Un modo per esprimere questo fatto dal punto di vista matematico era quello di trasformare posizione e quantità di moto in degli operatori lineari e scrivere che:

\hbar è la costante di Planck divisa per 2\pi.

Questa relazione racchiude, in un formalismo compatto (e criptico per i non addetti) la chiave per il principio di Heisenberg su posizione e quantità di moto. La compattezza del formalismo e la facilità del calcolo sono due condizioni che spinsero i fisici ad adottare l’approccio operatoriale nella meccanica quantistica, ed è il motivo per cui la matematica di questa teoria è ritenuta essere “più complicata” di quella della fisica classica.

L’operatore più importante

Ciò che nella fisica classica rappresentava un modo alternativo di risolvere i problemi, nella meccanica quantistica diventa l’unico modo matematicamente conveniente di descrivere l’evoluzione di un sistema. Si tratta dell’energia, la quale nel formalismo quantistico diventa l’operatore hamiltoniano.

Nella fisica classica l’energia di un sistema era un semplice numero indicato con la lettera “E”. In meccanica quantistica diventa un operatore chiamato “Hamiltoniano“.


L’energia di un sistema è definita come la somma tra energia cinetica (p^2/2m) ed energia potenziale V. Coloro che prima erano semplici numeri ora diventano due operatori che, come dice il nome, “operano” sugli stati di una particella, comandandone l’evoluzione dinamica.

Ecco come si procede di solito: immagina una particella immersa in un certo spazio e sensibile a certe interazioni fisiche (elettromagnetiche ad esempio, come un elettrone in un campo magnetico, o in prossimità del nucleo di un atomo).

La seguente frase “questa particella si muoverà in questo spazio con una certa velocità e occuperà maggiormente alcune posizioni invece di altre, sulla base delle interazioni che percepisce” viene tradotta quantisticamente nella seguente:

Lo stato di una particella evolve da un valore iniziale a un valore finale grazie all’azione dell’operatore Hamiltoniano, il quale rappresenta le interazioni e il contenuto cinetico che caratterizzano il moto della particella.

Come forse avrai sentito da qualche parte, lo stato di una particella è indicato da una funzione a più valori, nel tempo e nello spazio: \Psi(\vec{x},t). Il fatto che questo stato venga trasformato nel tempo per via delle interazioni è riassunto dalla seguente scrittura molto compatta:

L’esponenziale di un operatore è lo sviluppo in potenze dell’operatore stesso, secondo la regola degli sviluppi di Taylor. Non preoccuparti di questo dettaglio matematico, l’ho messo solo per completezza.

L’operatore hamiltoniano agisce sullo stato iniziale della particella, e per ogni tempo t successivo restituisce un certo stato finale.

Questa è la ricetta prescritta dalla celebre equazione di Schrödinger, la quale governa la dinamica degli stati quantistici di un sistema. Quella che ti ho mostrato è proprio la soluzione dell’equazione: Schrödinger scrisse che, una volta noto l’operatore hamiltoniano, la dinamica del sistema è nota..

Più facile a dirsi che a farsi: è difficile trovare il corretto operatore che riesca a riprodurre gli stati in cui evolvono i sistemi quantistici negli esperimenti. Trovare l’hamiltoniano giusto equivale a trovare la teoria giusta per descrivere il sistema, ed è esattamente il mestiere del fisico.

Se un fisico ha fatto bene il suo mestiere, otterrà una predizione sull’evoluzione temporale dello stato del sistema, e potrà fare previsioni probabilistiche su quale sarà lo stato in cui verrà misurata la particella a un dato istante di tempo dell’esperimento.

Gli autostati di un operatore

A differenza di uno stato normale, l’autostato di un operatore mantiene la sua direzione dopo la trasformazione, e al massimo si allunga o si accorcia.

Possiamo architettare un esperimento con lo scopo di misurare una certa proprietà della particella quantistica di cui abbiamo parlato prima. L’atto della “misurazione” consiste inevitabilmente in una “riorganizzazione” delle informazioni quantistiche dello stato della particella e anche dello stato del rivelatore che stiamo utilizzando per misurare quella proprietà.

Per via di uno dei postulati della meccanica quantistica (i quali fanno sì che la teoria riproduca quanto si osserva negli esperimenti) a ogni osservabile (sono chiamate così le uniche quantità misurabili negli esperimenti) è associato un operatore, e gli stati possibili in cui la particella può essere rivelata nell’esperimento vanno ricercati in alcuni stati molto speciali che hanno la particolarità di rimanere “quasi inalterati” sotto l’azione dell’operatore.

Per spiegarlo in termini semplici, immagina che lo stato sia una freccia nello spazio: l’operatore in generale può far compiere alla freccia una certa rotazione (il che corrisponde al trasformare lo stato in un altro stato diverso dal primo). Tuttavia alcune frecce speciali vengono trasformate dall’operatore in modo che al massimo si allungano o si accorciano, ma senza ruotare:: la direzione rimane la stessa. Questi stati speciali sono chiamati autostati.

In generale ogni operatore ha il suo set di autostati “personale”.

In sostanza gli autostati di un operatore ci semplificano la vita perché trasformano in maniera molto semplice: significa meno calcoli da fare!

Un esempio preso in prestito dalla geometria: in alcuni casi gli operatori della meccanica quantistica e le matrici sono praticamente la stessa cosa (se non sai come funziona una matrice, vai a questo articolo). Una matrice come quella di rotazione attorno all’asse z sul piano x-y ha il compito di ruotare un vettore di un certo angolo. Siccome la rotazione si svolge attorno all’asse z, la componente z del vettore rimane inalterata. Il vettore di componenti (0,0,1) viene quindi mandato in se stesso, cioè è un autovettore di questa particolare matrice di rotazione.

Il vettore (0,0,1) viene trasformato in se stesso dalla rotazione attorno all’asse z.

La scrittura che ci semplifica tanto la vita, e che ricerchiamo continuamente in meccanica quantistica, è

La costante \lambda è chiamata, in gergo, “autovalore” dell’autostato. A ogni autostato viene associato il suo “autovalore”, il suo numerino personale da utilizzare come etichetta. Possono esserci anche più autostati aventi lo stesso autovalore, ma non vedrai due autovalori diversi associati allo stesso autostato.

Questa scrittura è un vero sospiro di sollievo: l’esistenza di stati che rimangono praticamente invariati sotto l’azione degli operatori rappresenta una semplificazione incredibile per i calcoli della teoria. Invece di chiederci come trasforma qualsiasi stato dell’universo sotto l’operatore (una pretesa diabolicamente assurda), ci interessiamo solo a quegli stati che invece “cambiano molto poco”.

Il motivo di ciò va ricercato in uno dei postulati fondamentali della meccanica quantistica, già accennato sopra:

Le quantità che misuriamo sperimentalmente corrispondono agli autostati della particolare osservabile a cui siamo interessati. Lo so che suona strano e inutilmente astratto, ma è grazie a questo postulato che vengono riprodotti i risultati sperimentali.

La cattiva notizia: non tutti gli stati della teoria sono autostati dell’operatore che ci interessa.


La buona notizia: gli autostati dell’operatore che ci interessa possono essere usati come blocchetti elementari per costruire gli stati più generici della particella.

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Questo è il principio di sovrapposizione degli stati: ogni stato può essere costruito sovrapponendo tra loro tanti altri stati.

In generale conviene, anzi è proprio mandatorio, utilizzare come blocchetti elementari gli autostati dell’operatore che ci interessa. Ti conviene pensare agli autostati proprio come a dei “Lego” con cui costruire uno stato più generico possibile (la struttura fatta coi Lego è lo stato generico).

Questi autostati andranno a comporre lo stato della particella, ciascuno con un proprio peso statistico, come specificato dalle regole della meccanica quantistica (la quantistica è praticamente una teoria della probabilità, camuffata)

La tipica struttura di uno stato generico, sviluppato come somma di autostati di un certo operatore di nostro interesse. I numeri a_i sono i pesi statistici, cioè il loro modulo al quadrato, ad esempio |a_2|^2, rappresenta la probabilità che la particella, inizialmente nello stato generico “\ket{\Psi}“, venga misurata in un ‘autostato \ket{p_2}.

Il risultato della misurazione (misurazione dell’osservabile, associata a sua volta a un certo operatore della teoria) è il famigerato, e ancora dinamicamente poco compreso, “collasso della funzione d’onda”, il quale seleziona uno degli autostati dell’operatore associato all’osservabile coinvolta:

La particella viene rivelata in UNO solo degli autostati possibili dell’operatore associato all’osservabile.
Prima aveva una probabilità ben precisa di trovarsi in ciascuno degli autostati possibili, mentre DOPO la misura la probabilità di ritrovarla nello stesso autostato sarà il 100%.

ed è proprio questo a cui ci si riferisce quando si parla di “collasso della \Psi“.

Il numero che si misura nell’esperimento coincide con la costante \lambda, cioè l’autovalore dell’autostato in cui è stata rivelata la particella.

Un esempio rapido di quanto detto: un’osservabile di una particella può essere il suo spin (che sperimentalmente si misura grazie all’effetto di un campo magnetico sulla traiettoria della particella). A questo effetto osservabile è associato un operatore di spin.
Se ad esempio sperimentalmente si osserva che alcune particelle possono avere solo due tipi di deflessioni in un campo magnetico allora all’operatore di spin della teoria verranno associati due autostati.

Un tipico esperimento in cui è possibile misurare lo spin di una particella: Stern-Gerlach.

Prima di misurare la deflessione tramite l’accensione del campo magnetico, dal punto di vista della nostra interpretazione la particella si trova in una sovrapposizione di autostati di spin, e con la misurazione (l’accensione del campo magnetico) viene “selezionato un autostato” con una certa probabilità calcolabile quantisticamente.

Tutto questo discorso è importante per capire il seguito, e cioè capire perché ci interessiamo a specifici numeri quantici associati ad operatori accuratamente selezionati della teoria.

I numeri quantici non sono altro che gli autovalori di specifici operatori della teoria, accuratamente selezionati affinché soddisfino delle proprietà che ci permettono di semplificare il modo in cui possiamo fare previsioni verificabili con l’esperimento.

In ogni caso, non basta essere un autovalore di un’osservabile per essere un buon numero quantico!

Un buon numero quantico ci semplifica la vita negli esperimenti, e nella parte II di questa serie vedremo perché!
(Per chi si incuriosice: ha a che fare con il teorema di una famosa matematica tedesca…)


PS. ho scritto un libro di testo che rappresenta proprio ciò che avrei desiderato leggere all’inizio dei miei studi di Fisica teorica, per renderla accessibile agli amatori e insegnare le tecniche matematiche necessarie a una sua comprensione universitaria. Si chiama “L’apprendista teorico” , dai un’occhiata per vedere di cosa si tratta. Il libro è acquistabile su Amazon.

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Matteo Parriciatu
Matteo Parriciatu

Dopo aver conseguito la laurea in Fisica nel 2020, studia Fisica Teorica all’Università di Pisa specializzandosi in simmetrie di sapore dei neutrini, teorie oltre il Modello Standard e interessandosi di Relatività Generale.
È autore del libro “L’apprendista teorico” (2021).

Quando Heisenberg propose che Protone e Neutrone fossero due stati della stessa particella

Nel 1932 James Chadwick scoprì una nuova particella, era elettricamente neutra e aveva circa la stessa massa del protone. Essendo la prima particella neutra scoperta, venne battezzata “neutrone” per ovvi motivi.

Werner Heisenberg (1901-1976), premio Nobel per la Fisica 1932.

Meno ovvia era invece la natura intrinseca di questa particella, specialmente in un epoca dicotomica come quella, anni in cui protone ed elettrone erano lo yin e lo yang della fisica particellare. Tutto doveva essere composto di pochissimi costituenti elementari: il protone e l’elettrone rappresentavano l’unità di carica positiva e negativa per antonomasia.

Quindi ogni altra particella di qualsiasi carica doveva essere una composizione di protoni ed elettroni. Ah, se solo i fisici di quegli anni avessero potuto immaginare il gigantesco zoo di particelle che sarebbe apparso solo 20 anni dopo!

Sempre nel 1932 il fisico teorico Werner Heisenberg (lo stesso del famoso principio di indeterminazione) fu uno dei primi a lavorare su una interpretazione teorica del neutrone. Il suo obbiettivo era una teoria delle interazioni nucleari (materia su cui si sapeva ancora pochissimo e le idee erano molto confuse). Si cercava di rispondere a domande come: cosa compone i nuclei? Da cosa sono tenuti assieme? Come si possono modificare o trasformare?

Addirittura prima del 1932 si credeva che i nuclei fossero composti da protoni ed elettroni (i secondi avevano lo scopo di neutralizzare parte della carica del nucleo), cosa che non poteva essere più distante dalla realtà.

Fu Heisenberg a introdurre un po’ di ordine: sfruttò subito la scoperta del neutrone per inserirlo all’interno dei nuclei. In questo modo non servivano gli elettroni dentro il nucleo: invece di mettere il doppio dei protoni era sufficiente che ce ne fosse solo la metà che corrisponde alla carica elettrica nucleare, la restante parte della massa che serviva a raggiungere l’accordo con gli esperimenti era garantita dalla presenza di alcuni neutroni.

Si spiega più semplicemente guardando questo esempio:

Lo stesso nucleo descritto prima e dopo la scoperta del neutrone.
Prima del 1932, al fine di spiegare la massa misurata sperimentalmente era necessario introdurre il doppio dei protoni. Ma per compensare la carica elettrica in eccesso si doveva postulare la presenza di elettroni nel nucleo.

In ogni caso Heisenberg aveva anche l’obbiettivo di provare a interpretare la natura del neutrone utilizzando lo “yin e lo yang”. D’altronde questa particella aveva lo stesso spin e circa la stessa massa del protone, saranno mica così diversi?
Immaginò quindi che il neutrone potesse essere composto da un protone e da una specie di “elettrone con spin nullo”. In questo modo carica positiva più carica negativa fa zero, e lo spin (che è 1/2 per il protone) sommato con lo spin zero di quella specie di elettrone ipotetico, faceva correttamente 1/2.

Questa teoria fu abbandonata quasi subito, ma l’elettrone e il suo spin rimasero comunque la principale fonte di ispirazione per il vero guizzo creativo di Heisenberg.

Anzitutto il fisico si soffermò su un aspetto peculiare:

Le masse di protone e neutrone sono quasi uguali: differiscono solo dello 0.14%.

In particolare, Heisenberg notò che se in un esperimento la strumentazione di laboratorio non fosse abbastanza sensibile da distinguere questa differenza in massa, e se fossimo in grado di “spegnere” ogni tipo di interazione elettromagnetica, non saremmo nemmeno in grado di distinguere un protone da un neutrone!

Anzi, Heisenberg fece un passo ancora più lungo: la piccolissima differenza in massa tra protone e neutrone può essere ricondotta all’elettromagnetismo: il protone, essendo carico elettricamente, riceve dei contributi elettromagnetici che abbassano leggermente la sua massa rispetto a quella del neutrone (così si pensava all’epoca).

Come anticipato, Heisenberg prese ispirazione dal problema dello spin di un elettrone.
Già dagli anni ’20 si sapeva che lo spin di un elettrone era una quantità speciale che poteva assumere solo due valori distinti, per convenzione +1/2 e -1/2.

Una rappresentazione grafica dei due possibili valori di spin dell’elettrone.

Lo spin era un numero quantico aggiuntivo che serviva a distinguere i possibili stati occupabili dagli elettroni negli orbitali atomici, e aveva a che fare con il comportamento degli elettroni in un campo magnetico.

In particolare si osservava che sotto l’azione di un campo magnetico gli atomi di un gas sviluppavano dei livelli energetici (sovrapposti a quelli già presenti) che prima non c’erano, segno che gli elettroni avevano interagito, tramite il loro spin, con questo campo magnetico: in base ai due possibili valori dello spin degli elettroni si ottenevano due nuovi livelli energetici molto vicini tra loro (vedi Effetto Zeeman).

In sostanza è come se una certa variabile nascosta (lo spin dell’elettrone) fosse venuta allo scoperto solo durante l’interazione elettromagnetica con il campo esterno.
Un fisico, per spiegare la separazione dei livelli energetici, avrebbe dovuto anzi postulare l’esistenza di questo nuovo numero quantico, e assegnargli precisamente due valori possibili.

Detto ciò, ad Heisenberg bastò tenere a mente la celebre equazione per l’energia a riposo di una particella, dovuta ad Einstein (E=mc^2 ) per fare un collegamento molto interessante: la piccola differenza in massa (\Delta m) tra protone e neutrone si traduce in una certa differenza in energia:

    \[\Delta E=\Delta mc^2\]

A suo dire, questa differenza in energia era dovuta all’interazione elettromagnetica, allo stesso modo in cui la differenza in energia di due livelli atomici nell’effetto Zeeman era dovuta all’interazione con il campo magnetico.

Nel caso dell’effetto Zeeman, il tutto era spiegabile con l’introduzione di un nuovo numero quantico, lo spin.
Prima dell’accensione del campo magnetico, il livello energetico è lo stesso, dopo l’accensione, il livello si separa in due livelli.

Protone e neutrone potevano essere pensati come lo stesso livello energetico, la cui separazione è indotta (secondo Heisenberg) dalle interazioni elettromagnetiche!

L’analogia è evidenziata in questa figura:

Analogia tra effetto Zeeman e la teoria di Heisenberg su protone e neutrone.

Doveva allora esserci un nuovo numero quantico interno in grado di distinguere protone e neutrone durante i normali esperimenti, proprio come lo spin.

I fisici dell’epoca chiamarono isospin questo nuovo numero quantico, proprio per via dell’analogia con lo spin. In questo modo protone e neutrone non erano altro che due stati diversi della stessa particella, la quale fu battezzata nucleone. Per convenzione, al neutrone venne assegnato isospin -1/2 e al protone +1/2.

Heisenberg sfruttò l’isospin per costruire una delle prime teorie sull’interazione nucleare. Il fisico tedesco sapeva bene che la forza nucleare doveva essere ben diversa da quella elettromagnetica fino ad allora conosciuta. Doveva essere una forza attrattiva, certo, se no il nucleo come fa a stare assieme? Però il tipo di attrazione non poteva essere simile a quello elettromagnetico.
Ciò era evidenziato da fatti sperimentali: proprio in quegli anni venivano condotti degli studi sulle energie di legame dei nuclei, e si scoprì che queste non crescevano come sarebbero cresciute se l’interazione nei nuclei fosse stata elettromagnetica.

La differenza tra il comportamento nucleare e quello elettromagnetico.

Inoltre, i dati sperimentali suggerivano che la carica elettrica del protone non influiva quasi per niente sui livelli energetici del nucleo. Quindi secondo Heisenberg i nucleoni contenuti all’interno dei nuclei dovevano interagire in maniera molto speciale, non tramite forze di tipo puramente coulombiano, ma tramite quelle che chiamò forze di scambio.

Queste forze di scambio potevano essere parametrizzate tramite degli operatori di isospin, del tutto simili agli operatori di spin della meccanica quantistica, i quali governavano le interazioni spin-obita e spin-spin tra i vari costituenti dell’atomo.

In questo formalismo lo stato quantistico di protone o neutrone poteva essere indicato con un vettore a due componenti:

Ma in realtà i nomi “protone” e “neutrone” divengono dei segnaposto per parlare di due stati della stessa particella: stato “isospin in alto” e stato “isospin in basso” (nota come ciò si traduce nella posizione del numero 1 nella componente alta e bassa del vettore).

Nella teoria delle forze di scambio nucleare non è possibile distinguere tra protone e neutrone, cioè la teoria, globalmente, “non distingue” tra la carica elettrica del protone e quella del neutrone. Vengono visti come due facce della stessa medaglia, e sono interscambiabili senza che cambi nulla.

In questo senso si parla di simmetria di isospin delle forze nucleari

Per capire meglio come funziona questa teoria occorre fare un ripasso di algebra lineare in due dimensioni.

Un vettore 2D può essere rappresentato sul piano cartesiano (x,y) come una freccia uscente dall’origine:

La rappresentazione cartesiana del vettore (1,1). Le sue componenti sono v1=1 sull’asse x, e v2=1 sull’asse y.

Ad esempio per costruire un vettore di componenti (1,1), cioè v_1=1 sull’asse x, e v_2=1 sull’asse y, parto dall’origine e mi sposto di 1 sull’asse x, poi mi sposto di 1 sull’asse y. Il punto in cui arrivo è la testa del vettore. Collegando la testa con la coda (cioè l’origine) ottengo una linea diagonale che chiamo “vettore”.
Un vettore può essere trasformato da una matrice usando la seguente ricetta di composizione:

Il risultato della trasformazione di un vettore è un nuovo vettore le cui componenti possono essere ottenute dalla ricetta contenuta nella matrice.

Il vettore trasformato ha le sue componenti che nascono mischiando le componenti del vettore di partenza, secondo una particolare ricetta descritta dalla matrice-operatore.
Anche il non fare niente è una trasformazione: prende il nome di matrice identità, la sua azione mi fa ottenere di nuovo il vettore di partenza. Puoi verificare anche tu con la ricetta data sopra che il seguente calcolo lascia invariato il vettore di partenza:

La matrice identità lascia il vettore invariato.
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Infatti in questo caso l’operatore è tale che a_1=1, \,\,a_2=0\,\, a_3=0,\,\,a_4=1, e sostituendo nella ricetta di sopra otteniamo proprio che il vettore rimane invariato.

Per passare da uno stato all’altro del nucleone, cioè da protone a neutrone, si utilizzano gli operatori di salita e di discesa chiamati \tau_+ e \tau_{-}, le quali sono matrici 2\times 2 che agiscono sui vettori proprio come abbiamo visto sopra.

Puoi fare il conto anche tu e verificare che:

Trasformazione di un protone in un neutrone
Trasformazione di un neutrone in un protone

In generale lo stato di un nucleone è parametrizzato dalla sovrapposizione degli stati di protone e neutrone:

Lo stato più generico di un nucleone. \alpha e \beta sono parametri costanti.

Nella teoria di Heisenberg l’interazione tra due nucleoni deve tenere conto dei loro possibili stati di isospin. In particolare in un processo generico deve conservarsi l’isospin totale dei due nucleoni. La richiesta di questa conservazione permetteva di fare alcune previsioni su alcuni nuclei leggeri per mezzo di calcoli piuttosto semplici.

Alla fine la simmetria di isospin serviva a questo, era una semplificazione per i calcoli: tra tutte le possibili interazioni tra i nucleoni sono permesse solo quelle che conservano l’isospin totale, mentre vanno scartate tutte le altre.

Una simmetria imperfetta

La teoria dell’isospin di Heisenberg fu un buon colpo di genio, ma si rivelò piuttosto insoddisfacente a lungo andare. La verità è che a livello subnucleare protone e neutrone hanno una massa ben distinta! Ciò non è dovuto solo all’interazione elettromagnetica, ma anche alla composizione in quark di protone e neutrone (inutile dire che all’epoca di Heisenberg non si conoscevano i quark).

Se avessero masse uguali allora la simmetria di isospin sarebbe perfetta, quindi l’isospin sarebbe un numero quantico al pari dello spin degli elettroni. Questa differenza nella massa fa sì che la simmetria sia imperfetta, cioè consente di fare previsioni corrette solo entro un certo grado di approssimazione.

Nonostante ciò, l’idea delle simmetrie interne (come l’isospin) cambiò per sempre il modo di fare fisica delle particelle. Le simmetrie imperfette furono utilizzate per raggruppare alcuni gruppi di particelle che sbucavano fuori dagli esperimenti sui raggi cosmici e dagli acceleratori degli anni ’50 e ’60. In questo contesto le particelle di massa molto simile venivano catalogate come stati di una stessa particella con numeri quantici diversi (se ti incuriosisce: la via dell’ottetto).

Le simmetrie imperfette servirono ad ispirare Gell-Mann e altri fisici nella costruzione di una simmetria perfetta, che è quella della cromodinamica quantistica e che riguarda i quark. Ma di questo parleremo magari in un altro articolo…


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Matteo Parriciatu
Matteo Parriciatu

Dopo aver conseguito la laurea in Fisica nel 2020, studia Fisica Teorica all’Università di Pisa specializzandosi in simmetrie di sapore dei neutrini, teorie oltre il Modello Standard e interessandosi di Relatività Generale.
È autore del libro “L’apprendista teorico” (2021).

Come Fermi scoprì la statistica degli elettroni assieme a Dirac

Per capire l’entità del contributo di Enrico Fermi in ciò che servì ad ispirare una delle scoperte più importanti dell’umanità (la teoria dei semiconduttori), è necessario fare qualche passo indietro e considerare il contesto storico-scientifico dell’epoca.

Negli anni ’20 del secolo scorso si sapeva molto poco sulle strutture fondamentali della materia. Le teorie dell’atomo erano giovanissime e l’unico metodo di indagine consisteva nell’osservare l’assorbimento luminoso di alcuni gas della tavola periodica.

Ludwig Boltzmann (1844-1906), uno dei padri fondatori della fisica statistica.

Proprio sui gas si sapeva dire un po’ di più, essendo una collezione di atomi che potevano essere trattati (in certe condizioni di densità e temperatura) come un grosso insieme di biglie microscopiche su cui, tramite la fisica statistica di Maxwell, Boltzmann e Gibbs, si potevano fare previsioni termodinamiche verificabili sperimentalmente.

Una particolarità interessante della teoria statistica di Maxwell e Boltzmann era il contenuto minimale di ipotesi sulla natura fisica di queste “biglie microscopiche”. Stiamo parlando di una teoria formulata nella seconda metà del secolo XIX, un periodo in cui non era ancora riconosciuta l’esistenza dell’atomo!

Trattandosi tuttavia di atomi, nemmeno la teoria di Maxwell e Boltzmann uscì indenne dalla rivoluzione della teoria dei quanti, iniziata con Planck nel 1900.

La teoria dei quanti funzionò sia da completamento che da antidoto per la vecchia fisica statistica. Da antidoto perché aiutò ad indagare meglio alcuni problemi matematici della teoria di Maxwell e Boltzmann, i quali conducevano a calcoli errati nella trattazione di particelle tra loro indistinguibili, e davano dei risultati impossibili per alcune quantità come l’entropia dei gas a basse temperature.

Un problema statistico dell’entropia

Queste difficoltà erano dovute al fatto che la fisica statistica si basa essenzialmente sul “contare, per tutte le particelle, tutte le possibili configurazioni microscopiche che conducono alla stessa situazione fisica del gas“, come illustrato in figura:

Lo schema concettuale che sta alla base della teoria statistica dei gas.

Pressione, volume, temperatura (P,V,T), sono tutte quantità macroscopiche misurabili sperimentalmente. In fisica statistica ci immaginiamo di conoscere le posizioni e velocità di tutte le particelle del gas in ciascuna configurazione possibile ammessa dalle condizioni ambientali (cosa non possibile da un punto di vista computazionale, ma che facciamo finta di poter fare comunque).


Siccome non sappiamo in quale configurazione microscopica precisa si trovi il gas in ciascun istante di tempo (non è misurabile sperimentalmente), immaginiamo di avere N copie del nostro gas e di fare delle estrazioni per contare quante volte esce una certa configurazione piuttosto che un’altra. La distribuzione di queste estrazioni definisce alcune quantità macroscopiche (P_i,V_i,T_i) associate alla specifica configurazione microscopica i estratta un numero N_i di volte. Le quantità macroscopiche (P,V,T) che misuriamo sperimentalmente possono quindi essere pensate come la media di tutte le (P_i,V_i,T_i) pesate con la probabilità di estrazione N_i/N.

La misura sperimentale di (P,V,T) ci dà quindi informazioni sulla distribuzione delle configurazioni microscopiche del nostro gas.


Immaginando il gas in equilibrio termico a una certa energia interna, il numero di configurazioni del gas corrispondenti a tale energia possono essere contate, dal punto di vista teorico, sommando tutte le possibili accoppiate di posizione-velocità (x,y,z),(v_x,v_y,v_z) nelle tre dimensioni spaziali, e ciò deve essere fatto per tutte le particelle del gas.

Siccome il numero di possibili accoppiate è virtualmente infinito, i padri fondatori della fisica statistica immaginarono di dividere lo spazio dei possibili valori di posizione e velocità in cellette elementari di dimensione finita che chiamiamo \tau. In questo modo due stati dinamici specificati da (x_1,y_1,z_1),(v_{x1},v_{y1},v_{z1}) e (x_2,y_2,z_2),(v_{x2},v_{y2},v_{z2}) che caschino nella stessa celletta di questo spazio sono considerati essere lo stesso stato dinamico. È come se ammettessimo, in un certo senso, di non sapere distinguere tra (x_1,y_1,z_1),(v_{x1},v_{y1},v_{z1}) e (x_2,y_2,z_2),(v_{x2},v_{y2},v_{z2}) nel caso appartengano alla stessa cella, è un’approssimazione.

La suddivisione in cellette dello spazio di posizioni e velocità per le particelle. Secondo questa suddivisione due set di posizioni e velocità che appartengono alla stessa celletta non sono distinguibili (qui non distinguiamo il rosa dal celeste), mentre sono distinguibili da quella in verde, dato che appartiene a un’altra celletta.

Dal punto di vista statistico, l’entropia del gas è pensabile come una misura di quanti stati dinamici microscopici sono associabili a un certo stato termodinamico macroscopico, una misura della nostra “ignoranza” sull’effettiva configurazione microscopica del gas.

Il problema era che la dimensione \tau della celletta elementare era del tutto arbitraria, e ciò influiva pesantemente sul conteggio delle configurazioni. Essendo il numero delle configurazioni direttamente collegato alla definizione statistica di entropia, una scelta di \tau troppo piccola conduceva a valori infiniti per l’entropia del gas. Questa indeterminazione sulla scelta di \tau impediva inoltre di calcolare, statisticamente, il valore della costante dell’entropia alla temperatura dello zero assoluto.

Il problema della costante dell’entropia stava molto a cuore ai fisici dell’epoca. Nella termodinamica ottocentesca ci si interessava solo alle differenze di entropia, e quindi era di scarso interesse pratico domandarsi quale fosse il valore assoluto dell’entropia a una determinata temperatura come T=0\,\text{K}, e in ogni caso questa costante spariva quando si faceva la differenza \Delta S=S(B)-S(A) tra due stati termodinamici B e A.
Tuttavia con l’arrivo del teorema di Nernst e quindi del terzo principio della termodinamica (il quale postula che l’entropia allo zero assoluto sia esattamente zero) si rivelò essenziale determinare il valore di questa costante.

Un altro problema fastidioso era quello che riguardava il conteggio di particelle indistinguibili: quando si contavano tutte le configurazioni possibili di tutte le particelle del gas si finiva per contare più volte la stessa configurazione per via del fatto che non è possibile distinguere una particella dall’altra. Per via di ciò si arrivava a dei paradossi che riguardavano l’entropia di mescolamento dei gas.
Di questo problema si interessò Gibbs, il quale propose di dividere i conteggi per il fattore combinatorico N! dove N è il numero di particelle e con “!” si intende il fattoriale N!=N(N-1)(N-2)....
Tuttavia anche questa soluzione non risolveva tutti i problemi…

La teoria dei quanti sistemò i problemi dell’entropia. Si dimostrò che la dimensione \tau delle cellette elementari doveva essere pari alla costante di Planck h: la natura discreta della teoria quantistica si sposava bene con l’ipotesi delle cellette elementari della fisica statistica.

Il punto è che gli effetti quantistici delle particelle non sono più trascurabili a basse temperature. In fisica statistica esiste una quantità chiamata lunghezza d’onda termica di De Broglie, la quale ha la seguente espressione per un gas perfetto monoatomico:

La lunghezza termica delle particelle di un gas, dove h è la costante di Planck, m la massa delle particelle, k_B la costante di Boltzmann che converte da dimensioni di energia a dimensioni di temperatura tramite E=k_BT, e T la temperatura del gas.

Questa lunghezza d’onda deriva dalla formulazione ondulatoria di De Broglie per le particelle quantistiche.
Secondo De Broglie, a ogni particella avente quantità di moto p è associabile una lunghezza d’onda \lambda=h/p. Se come p si prende la quantità di moto termica delle particelle del gas si ottiene la \lambda_T riportata sopra.
A temperature normali questa lunghezza d’onda è molto più piccola della distanza media tra gli atomi di un gas. Vediamo però che al diminuire di T, la relazione di inversa proporzionalità \lambda_T\propto 1/\sqrt{T} aiuta a far crescere questa lunghezza d’onda. Per temperature sufficientemente basse la lunghezza d’onda \lambda_T diventa comparabile con le distanze inter-atomiche del gas.

Man mano che si abbassa la temperatura del sistema, aumenta la lunghezza d’onda di De Broglie e dominano le interferenze quantistiche tra le funzioni d’onda delle particelle.
Nel caso in figura sono mostrati dei bosoni.

Quindi, per via delle loro proprietà quantistiche, le particelle iniziano ad interferire tra loro come tante onde, e questo succede quando la loro lunghezza d’onda diventa almeno comparabile con la distanza tra una particella e l’altra, a temperature molto basse.

Siccome parliamo di funzioni d’onda che creano interferenze, l’indistinguibilità delle particelle gioca un ruolo centrale in questo processo quantistico, e ciò sta alla base di tutte le difficoltà teoriche della vecchia fisica statistica, la quale non teneva conto di queste proprietà quantistiche. Fino alla prima metà degli anni ’20, questa sottigliezza quantistica non era ancora stata compresa in profondità.

Statistica quantistica: la strada di Fermi

Enrico Fermi (1901-1954). Premio Nobel per la Fisica nel 1938.

Ancora fresco di laurea, Fermi divenne particolarmente ossessionato dal problema della costante dell’entropia, pubblicando diversi articoli tra il 1924 e il 1926.

Aveva intuito che il problema risiedesse nella natura quantistica delle particelle, in particolare dal punto di vista della loro indistinguibilità, ma mancava ancora qualche pezzo del puzzle.

Il pezzo mancante fu messo a disposizione da Pauli con la formulazione del principio di esclusione: non possiamo avere due elettroni con tutti i numeri quantici uguali tra loro. Gli elettroni sono particelle indistinguibili, quindi Fermi si ispirò al loro comportamento per provare a quantizzare un gas di particelle a temperature sufficientemente basse.

Possiamo immaginarci un Fermi che lavora assiduamente all’alba (il suo momento preferito per studiare e lavorare su nuovi articoli) in qualche fredda mattina di Firenze, nell’inverno del 1925-26, sforzandosi di sfruttare il principio di Pauli per ottenere la costante corretta dell’entropia allo zero assoluto.

La prima pagina dell’articolo di Fermi, presentato all’accademia dei Lincei nel febbraio del 1926.

Nel suo articolo “Sulla quantizzazione del gas perfetto monoatomico” uscito nel febbraio del 1926, Fermi ipotizzò che un gas ideale si comportasse proprio come gli elettroni del principio di Pauli e cambiò completamente il modo di contare le configurazioni possibili in fisica statistica: in ciascuno stato dinamico possono esserci zero o al massimo una sola particella, mai due nello stesso stato.
Immaginò poi che il gas potesse essere caratterizzato da determinati livelli energetici discreti, proprio come si faceva nella quantizzazione dell’atomo di idrogeno. Questa spaziatura tra i livelli energetici era tanto più rilevante per la fisica del problema quanto più era bassa la temperatura del gas, essenzialmente per il motivo enunciato sopra. Ad alte temperature gli effetti quantistici devono essere trascurabili e si ritorna alla termodinamica dell’ottocento.

La conseguenza di questo nuovo modo di contare era che ciascuno stato i era occupato da un numero medio di particelle in funzione dell’energia E_i dello stato, secondo la seguente espressione:

Il numero di nepero e (o Eulero), l’energia E_i dello stato, la temperatura T, la costante di Boltzmann k_B. Il parametro \mu è noto come “potenziale chimico” e allo zero assoluto corrisponde all’energia di Fermi: E_F.

Usando questa informazione, Fermi calcolò l’espressione della costante dell’entropia, la quale coincideva con il valore sperimentale dedotto da Sackur e Tetrode nel 1912. La sua teoria era un successo!

Tuttavia, come confermato anche da alcuni studiosi (Belloni, Perez et al), Fermi non si interessò delle radici quantistiche di questa nuova statistica, cioè non provò a collegare il principio di Pauli con la natura ondulatoria della materia. Inoltre non esisteva, al tempo, un gas capace di comportarsi come gli elettroni dell’articolo di Fermi. La soluzione di Fermi voleva andare nella direzione della statistica quantistica, ma con un approccio molto cauto sulle ipotesi alla base. Fermi utilizzò la sua intuizione per dare una nuova soluzione a dei problemi annosi di fisica statistica (già risolti recentemente da Bose e Einstein con la loro statistica) e dedusse una statistica completamente nuova.

Tuttavia, al contrario di quanto si dice solitamente in giro, Fermi non applicò direttamente questa nuova statistica al problema degli elettroni nei metalli (cosa che fu fatta da altri e che condusse alla teoria dei semiconduttori).

La statistica di Fermi-Dirac

La distribuzione trovata da Fermi è dipendente dalla temperatura. Abbiamo già anticipato che gli effetti quantistici diventano preponderanti a temperature vicine allo zero assoluto. In questo caso il principio di Pauli emerge direttamente dalla forma analitica della distribuzione, riportata in figura:

La formula di Fermi al variare della temperatura.

Man mano che la temperatura del gas di elettroni si avvicina a T=0\,\text{K}, la distribuzione di Fermi si avvicina sempre di più alla “funzione gradino”

La funzione gradino, cioè il limite a basse temperature della formula di Fermi.

Allo zero assoluto, gli elettroni occupano i livelli energetici riempiendoli dal più basso fino a un’energia chiamata “energia di Fermi”, indicata con E_F.
Puoi notare come a T=0 il numero medio di occupazione dello stato a energia E_i sia esattamente 1: non può esserci più di un elettrone per stato, è il principio di esclusione di Pauli in tutta la sua gloria. Nota anche che non ci sono elettroni che occupano stati a energia maggiore di quella di Fermi.

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Questo comportamento è essenzialmente verificato anche per temperature più alte di T=0, basta solo che sia T\ll T_F dove T_F è detta “temperatura di Fermi”, ed è pari a T_F=E_F/k_B. Nelle situazioni di interesse fisico (come nei metalli), la condizione T\ll T_F è praticamente sempre soddisfatta, essendo T_F di solito dell’ordine di alcune centinaia di migliaia di gradi kelvin.

I gas di elettroni sono fortemente influenzati dal principio di Pauli: è un po’ come se ci fosse una forza “repulsiva” tra gli elettroni, la quale gli impedisce di occupare lo stesso stato energetico. Questa è anche un’interpretazione euristica del fatto che la pressione di un gas di Fermi sia più elevata di un gas classico: è difficile comprimere un gas di elettroni perché non vogliono mai “occupare lo stesso punto spaziale”.

Come mai questa statistica è chiamata “Fermi-Dirac” e non solo “Fermi”?
È noto che Dirac pubblicò la stessa formula alla fine dell’estate del 1926, mentre Fermi l’aveva presentata nella primavera dello stesso anno. Dirac, su sollecito scritto da parte del fisico italiano, ammise di aver letto il lavoro di Fermi, ma sostenne di averlo completamente scordato.

In difesa di Dirac va detto che il suo lavoro (“On the Theory of Quantum Mechanics“) è molto più generale di quello presentato da Fermi, il quale si era invece proposto di risolvere un problema particolare (quello dell’entropia) che c’entrava poco con i postulati della meccanica quantistica.

Dirac giustificò in maniera elegante il principio di esclusione di Pauli notando che la meccanica quantistica era il luogo naturale per trattare i sistemi di particelle indistinguibili, grazie al formalismo delle funzioni d’onda.

La chiave del ragionamento di Dirac si trova proprio nel fatto che le particelle elementari possono essere considerate indistinguibili. La conseguenza quanto-meccanicistica è che se consideriamo due particelle non interagenti tra loro, e che possono occupare gli stati A e B, la funzione d’onda che le descrive collettivamente è data dal prodotto delle due funzioni d’onda

    \[\psi(x_1;x_2)=\psi_A(x_1)\psi_B(x_2)\]

in cui x_1 e x_2 sono le posizioni delle due particelle. Se scambiamo le due particelle, e cioè le portiamo dallo stato A allo stato B e viceversa, otteniamo la funzione d’onda modificata

    \[\psi'(x_1;x_2)=\psi_B(x_1)\psi_A(x_2)\]

Ma se assumiamo che le particelle siano indistinguibili, la densità di probabilità deve restare la stessa (ricordiamo che è data dal modulo al quadrato della funzione d’onda):

    \[|\psi'(x_1;x_2)|^2=|\psi(x_1;x_2)|^2\]

Quindi al massimo possiamo avere che \psi' è diversa da \psi per un fattore \eta

    \[\psi'(x_1;x_2)=\eta \psi(x_1;x_2)\]

in cui \eta è un numero tale che |\eta|^2=1 in modo da soddisfare |\psi'(x_1;x_2)|^2=|\psi(x_1;x_2)|^2 (verifica pure!).

Se ri-scambiamo le due particelle, torniamo punto e a capo, e cioè deve essere \psi''(x_1;x_2)=\psi(x_1;x_2)

    \[\psi''(x_1;x_2)=\eta \psi'(x_1;x_2)=\eta^2\psi(x_1;x_2)=\psi(x_1;x_2)\]

ovvero \eta^2=1, la quale ha soluzione \eta=\pm 1.
Se \eta=-1 stiamo parlando di particelle con funzioni d’onda antisimmetriche (cioè lo scambio delle particelle produce un segno meno moltiplicativo nella funzione d’onda totale). Una conseguenza è che se parliamo dello stesso stato A=B allora lo scambio delle particelle produce la seguente relazione

    \[\psi_A(x_1)\psi_A(x_2)=-\psi_A(x_1)\psi_A(x_2)\]

la quale implica identicamente \psi_A(x_1)\psi_A(x_2)=0, cioè non esiste uno stato quantistico in cui queste particelle hanno gli stessi numeri quantici. Questa è la giustificazione quanto-meccanicistica del principio di Pauli, e condusse Dirac a ricavare la stessa formula di Fermi per la statistica degli elettroni.

La lettera in cui Fermi richiamò l’attenzione di Dirac sul suo articolo del febbraio precedente.


Fermi si limitò all’applicazione del principio di esclusione su un problema specifico, senza provare a darne un’interpretazione quanto-meccanicistica.

In ogni caso, Dirac riconobbe comunque l’importanza del lavoro di Fermi, e propose di chiamare la nuova statistica “Fermi-Dirac”, mettendo il nome di Fermi al primo posto.

Oggi le particelle (come gli elettroni) che obbediscono alla statistica di Fermi-Dirac sono note come “fermioni”, sempre in onore di Fermi. I fermioni sono tutte quelle particelle caratterizzate da uno spin semi-intero. Per un teorema rigorosamente dimostrabile in teoria quantistica dei campi, tutte le particelle a spin semi-intero obbediscono alla statistica di Fermi-Dirac, mentre quelle a spin intero (note come “bosoni“) obbediscono alla statistica di Bose-Einstein (sono le particelle con \eta=1 dopo uno scambio).

Alle basse temperature i bosoni possono occupare tutti lo stesso stato a energia più bassa, mentre i fermioni sono forzati ad occupare stati a energia crescente fino all’energia di Fermi (nella figura sono presenti al massimo due fermioni per via del numero quantico di spin, il quale assume due valori possibili se lo spin è 1/2).

Alle alte temperature (dove gli effetti quantistici sono meno preponderanti) sia fermioni che bosoni tornano ad obbedire alla statistica di Maxwell-Boltzmann e Gibbs.


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Matteo Parriciatu
Matteo Parriciatu

Dopo aver conseguito la laurea in Fisica nel 2020, studia Fisica Teorica all’Università di Pisa specializzandosi in simmetrie di sapore dei neutrini, teorie oltre il Modello Standard e interessandosi di Relatività Generale.
È autore del libro “L’apprendista teorico” (2021).

Come la gravità ci impedisce di misurare distanze più piccole della lunghezza di Planck

Uno dei punti fondamentali per la conquista dell’unificazione tra gravità e meccanica quantistica riguarda la comprensione dello spaziotempo a una scala subatomica di lunghezza.

Lo spaziotempo è essenzialmente un concetto classico: possiamo immaginarcelo come una struttura invisibile che può essere descritta utilizzando i numeri reali (cioè quelli della quotidianità: 2.3, 0.01, \pi, e^{-\pi/2}, -3/4, 2.9999...).

Come immaginiamo la griglia dello spaziotempo curvata dalla massa.

I numeri reali costituiscono un insieme non numerabile, in parole povere non solo abbiamo a disposizione un’infinità di numeri da -\infty a +\infty, ma anche che tra due numeri come 0 e 1 è compresa un’altra infinità di numeri. Inoltre è anche un insieme continuo, cioè dato un certo numero x, è sempre possibile trovare un altro numero y sufficientemente “vicino” al primo in modo che la distanza x-y tra i due si avvicini a zero fino alla cifra decimale che si desidera.
Nei numeri interi, invece, la distanza tra due numeri può solo coincidere con lo zero nel caso in cui i due numeri siano uguali, altrimenti esiste una distanza minima che è quella che riguarda due numeri consecutivi come 4 e 5.

Ecco, classicamente si pensa che lo spaziotempo possa essere descritto con un insieme di numeri reali piuttosto che di numeri naturali. Non è definita una distanza minima se non quella uguale a zero.

Cosa succede quando tiriamo in ballo la meccanica quantistica?

Ispirato dal seguente brillante articolo di Calmet, Graesser e Hsu pubblicato nella Physical Review Letters, ho deciso di volgarizzare un ragionamento che ho trovato molto intrigante, dato che su questi temi si discute sempre pochino e male.

Immaginiamo di avere un certo detector per rivelare la distanza tra due punti x(t) e x(0) nella griglia dello spaziotempo, uno al tempo t=0 e l’altro al tempo t.
Supponiamo per semplicità che il detector, di grandezza L e massa M, misuri questi due punti spostandosi con una velocità v=p/M dove p è la sua quantità di moto. Avremo cioè

Il discorso che sto per fare ora si basa su un’approssimazione euristica al fine di scongiurare l’introduzione di operatori quantistici, dato che aggiungerebbero poco o niente alla sostanza del discorso principale.

Una volta misurate le posizioni x(t) e x(0) con una certa incertezza \Delta x(t) e \Delta x(0), possiamo anche stimare l’incertezza sulla quantità di moto \Delta p usando le formule sulla propagazione delle incertezze:

Considerando ad esempio il punto x(t), varrà il principio di indeterminazione di Heisenberg:

A questo punto sostituiamo dentro il principio di Heisenberg l’espressione di \Delta p=(M/t)[\Delta x(t)+\Delta x(0)] trovata con la propagazione delle incertezze. Trascurando termini quadratici del tipo (\Delta x(t))^2 essendo più piccoli di un ordine di grandezza, si arriva a una relazione interessante:

Le incertezze sulla posizione iniziale e finale sono legate da un principio di indeterminazione, il cui valore aumenta all’aumentare del tempo. Di sicuro questa è una relazione interessante.
Ancora più interessante è chiedersi quale sia l’incertezza sulla distanza tra x(t) e x(0), cioè s=x(t)-x(0). Anche ora, per via della propagazione degli errori, si ha che

    \[\Delta s=\Delta x(t)+\Delta x(0)\]

Se \Delta x(t) diminuisce allora \Delta x(0) aumenta al fine di mantenere vera la \Delta x(0)\Delta x(t)\ge \frac{\hbar t}{2M}, quindi \Delta s è limitato dal valore più grande tra \Delta x(0) e \Delta x(t).

Nel caso in cui \Delta x(t)\approx \Delta x(0) cioè misuriamo i punti x(t) e x(0) con incertezze circa uguali, il principio di indeterminazione fornisce:

Quindi da un punto di vista quantistico possiamo misurare una lunghezza spaziale con una precisione

Dove ricordiamo, t è il tempo che abbiamo lasciato correre tra una misura e l’altra, e M è la massa del nostro detector (che abbiamo fatto interagire con lo spazio attorno a sé lasciandolo muovere liberamente).
Controllando questi due parametri possiamo rendere \Delta s piccolo a piacere. Possiamo costruire un detector molto massivo e fare tante misure consecutive separate da intervalli di tempo t molto piccoli.
Rendendo piccolo il rapporto t/M possiamo rendere \Delta s piccolo a piacere.

Tutto ciò andrebbe bene in un mondo in cui non esiste la gravità. Questo è il messaggio da portare a casa! Se non ci fosse di mezzo la gravità, come puoi vedere, nulla impedirebbe di rendere \Delta s piccolo a piacere (anche se non può mai essere nullo, per via del principio di Heisenberg).

L’intervento della gravità

Ho mentito, non possiamo rendere t piccolo a piacere! Se L è la dimensione del nostro detector, dobbiamo considerare dei tempi t tali che t>L/c cioè maggiori del tempo impiegato dalla luce a percorrere il nostro detector (altrimenti solo una frazione del detector può essere considerato “detector”).

Inoltre non possiamo rendere M grande a piacere: se rendiamo M troppo grande rispetto alle dimensioni L del detector, questi potrebbe collassare in un buco nero, e ciò impedirebbe di leggere qualsiasi informazione sulle misure del nostro esperimento. Il parametro di lunghezza fondamentale di un buco nero è dato dall’orizzonte degli eventi

    \[r_s\sim \frac{GM}{c^2}\]

dove G è la costante di gravitazione di Newton e c la velocità della luce.

Affinché il detector non sia un buco nero da cui non escono informazioni, desideriamo che sia L>r_s. Mettendo tutto assieme avremo quindi

La quantità risultante è identificata come lunghezza di Planck \ell_p, definita come:

La lunghezza di Planck, costante fondamentale della Fisica.
Se ti interessa la Fisica, iscriviti alla newsletter mensile! Ho pensato di scrivere una guida-concettuale di orientamento per aiutarti a capire da dove studiare.

Non c’è nessun parametro che possiamo controllare nella formula della lunghezza di Planck: è composta da costanti fondamentali della Fisica come G, \hbar, c (costante di gravitazione di Newton, costante di Planck e velocità della luce). Quindi \Delta s\ge \ell_p è un limite inferiore che non possiamo sormontare in alcun modo ingegnoso: la gravità impedisce di misurare distanze più piccole della lunghezza di Planck.

Se vuoi sapere da dove spunta fuori la lunghezza di Planck da un punto di vista storico, ho scritto un articolo a riguardo.

Quanto è piccola una lunghezza di Planck nelle nostre unità di misura quotidiane? \ell_p\sim 10^{-33}\,\text{cm}, ovvero 10^{-25} volte il raggio tipico di un atomo. Per enfatizzare, il numero 10^{-25} corrisponde a 24 cifre dopo lo zero, cioè qualcosa del tipo 0.\underbrace{000.....0}_{24}1. Giusto per intenderci.

Il punto fondamentale è che se non ci fosse la gravità, non esisterebbe una lunghezza minima misurabile e potremmo rendere piccola a piacere l’incertezza quantistica della misura!

Ad avere l’ultima parola sulle dimensioni spaziali subatomiche non è quindi la quantistica, ma la gravità!
Questo risultato è molto significativo per la Fisica! Perché?

Quando si effettuano esperimenti di Fisica delle interazioni fondamentali (come le collisioni tra particelle) si esplorano scale di energia sempre più alte (che equivale a dire: si esplorano regioni di spazio sempre più piccole). La presenza di una scala di lunghezza sotto la quale non si può andare implica anche l’esistenza di una scala di energia sopra la quale non si può andare (perché la gravità diventerebbe rilevante e si inizierebbe a parlare di collasso in buco nero, avendo accumulato tanta energia in una regione di dimensioni molto ridotte). Un altro pezzo del puzzle per la lunga scalata che ci porterà verso la gravità quantistica?


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Matteo Parriciatu
Matteo Parriciatu

Dopo aver conseguito la laurea in Fisica nel 2020, studia Fisica Teorica all’Università di Pisa specializzandosi in simmetrie di sapore dei neutrini, teorie oltre il Modello Standard e interessandosi di Relatività Generale.
È autore del libro “L’apprendista teorico” (2021).

Il trucco per stimare la temperatura di Hawking: la gravità quantistica dietro le unità naturali

Stephen Hawking, 1942-2018.

Quello che propongo è un esercizio concettuale che ci porterà a stimare in maniera molto euristica (e non rigorosa) la temperatura di evaporazione dei buchi neri, altrimenti nota come “temperatura di Hawking”, dal suo scopritore Stephen Hawking. Su ispirazione da una lettura del fisico Anthony Zee, ritengo ci sia tanta fisica teorica dietro questo semplice giochino concettuale, quindi ci tengo a condividerlo con gli appassionati.

Alle fine, tutto inizia con Planck.
Max Planck è uno scienziato rinomato non solo per l’ipotesi sulla quantizzazione della radiazione, ma anche per essere stato il primo a proporre le “unità naturali” nella Fisica. Intendo proprio delle unità di misura molto speciali, dette “naturali” per un motivo ben preciso.

Perché mai avremmo bisogno di utilizzare delle “unità naturali", e poi che significa “naturale"? Naturale rispetto a cosa?

Se ci pensiamo un attimo, la storia dell’umanità è cosparsa di convenzioni sulle unità di misura:
cos’è un litro? Un piede? Una spanna? Un centimetro? Un gallone? Un secondo?

Chiaramente ogni unità di misura ha la sua definizione riconosciuta internazionalmente, ma tutte hanno in comune un unico fatto: sono antropocentriche per costruzione (d’altronde non poteva essere altrimenti, no?).
Questo porrebbe non pochi problemi dal punto di vista della comunicazione scientifica interstellare!

Per fare un esempio, a un abitante di un pianeta della galassia di Andromeda non può fregare di meno che per misurare quella che chiamiamo “temperatura” ci riferiamo alla graduazione di alcuni tubi contenenti mercurio, riferendoci alla convenzione proposta in un laboratorio nel 700′.

La fisica moderna ci ha insegnato invece che alcune quantità fondamentali, come tempo, lunghezza e massa, devono necessariamente essere espresse in modo che qualsiasi civiltà della nostra galassia (e oltre) possa concordare sul loro valore. Pensa quanto sarebbe difficile descrivere l’unità di misura del “piede del Re” a un abitante di un altro pianeta! Sfortunatamente tutte le unità di misura quotidiane sono affette da questa arbitrarietà.

Ad esempio utilizziamo un’unità temporale che essenzialmente deriva da quanto velocemente il nostro pianeta compie una rivoluzione attorno al proprio asse, e scandiamo il passaggio dei tempi lunghi riferendoci a quante volte il nostro pianeta compie un giro completo intorno alla sua stella. In una galassia popolata da 100 miliardi di pianeti, la misura del tempo riferita al numero di rivoluzioni di UNO solo tra questi appare tutto tranne che efficiente.

Tutto quello che chiediamo è di poter misurare tempi, lunghezze e masse usando qualcosa su cui ogni essere vivente può concordare (supponendo che la Fisica sia la stessa in tutta la galassia).

È possibile misurare tempo, lunghezza e massa senza riferirsi ad unità di misura inventate dall’uomo?

Tempo, lunghezza e massa. Ci bastano queste tre cose per poter fare previsioni fisiche sul mondo che ci circonda, e fortunatamente le costanti fondamentali della Fisica vengono in nostro soccorso.

L’indizio di Newton: lunghezza e massa sono correlate

Se nella teoria di Newton compariamo l’energia cinetica di un corpo gravitante con la sua energia potenziale gravitazionale

Comparando l’energia cinetica di un corpo di massa ”m” con l’energia potenziale nel campo gravitazionale di una massa “M“.

ed esprimiamo la sua velocità come una frazione di quella della luce, cioè v=\beta c con 0<\beta<1, vediamo che è possibile, tramite le costanti fondamentali c e G (velocità della luce e costante di gravitazione universale) esprimere una lunghezza in funzione di una massa

Semplificando m e risolvendo per r, otteniamo una relazione tra lunghezza e massa che dipende solamente da costanti fondamentali.

Il rapporto G/c^2 è una costante fondamentale della Natura, su cui potenzialmente tutti gli osservatori dell’universo possono concordare (magari nel loro linguaggio o nella loro matematica, ma sarebbe comunque possibile capirsi in qualche modo). Stiamo dicendo implicitamente che basta conoscere la teoria della gravità (costante G) e la velocità della luce (costante c) per poter convertire da lunghezza a massa!

Ok, magari questa relazione non significa nulla se la decontestualizziamo dal problema fisico (eguagliare energia cinetica con energia potenziale serve per risolvere un problema specifico), ma qui stiamo cercando delle relazioni che ci consentano di esprimere delle quantità in funzione di alcune costanti fondamentali.

“Aspetta un attimo, ma anche le costanti fondamentali sono riferite alle unità di misura antropocentriche. La velocità della luce si misura in m/s ad esempio. Non è un discorso circolare?"

Semplicemente diremo che nelle unità fondamentali la velocità della luce ha un valore unitario, e che ogni altra velocità ha un valore che è una frazione di quel valore unitario, cioè v=\beta con 0<\beta<1 e c=1.

”Ma non ha senso, in questo modo come facciamo a distinguere una velocità da una massa? Come faccio a dire che il numero “1" si riferisce a uno spazio percorso nel tempo invece che a un chilogrammo?

Giusta osservazione, ecco perché dovremmo provare ad esprimere tempi, lunghezze e masse in maniera indipendente tra loro, in funzione di poche costanti fondamentali. Siccome abbiamo tre quantità, ci servono tre costanti fondamentali, ma finora ne abbiamo raccolto solo due.

Nella teoria di Newton abbiamo a disposizione solo la costante G, e con Einstein abbiamo guadagnato la costante c. Il prossimo passo fu compiuto da Max Planck quando introdusse \hbar nella definizione di quanto di energia

Se \omega è ad esempio la frequenza di un fotone, la conversione tra frequenza ed energia è garantita dalla costante di Planck \hbar.

Il contributo quantistico

A meno che tu non abbia vissuto dentro una caverna negli ultimi anni, se ti interessa la Fisica avrai sicuramente sentito parlare del principio di Heisenberg, che relaziona una quantità spaziale (\Delta x) con la quantità di moto (\Delta p) (per un approfondimento sul significato matematico del principio, ho scritto un articolo). Il mediatore di questa relazione è la costante di Planck, \hbar

Se proviamo a far incontrare gravità e meccanica quantistica risulta naturale considerare la lunghezza gravitazionale travata in precedenza, e cioè la combinazione GM/c^2. Se al posto della quantità di moto poniamo poi Mv=M\beta c con al solito 0<\beta<1 possiamo ricavare, con un po’ di sorpresa, una massa in funzione di sole costanti fondamentali:

Ignorando il fattore arbitrario \beta e calcolando la radice quadrata, incappiamo in una massa espressa solamente in funzione delle tre costanti fondamentali, la cosiddetta “massa di Planck”:

La massa di Planck.

A questa massa contribuiscono le tre costanti delle tre teorie fondamentali della Natura:

  • G, la costante di gravitazione per la teoria della gravità di Newton.
  • c, la costante della velocità della luce, per la teoria della relatività di Einstein.
  • \hbar, la costante dei quanti di energia, per la teoria quantistica di Planck e Heisenberg.

Tre costanti, tre teorie fondamentali, e in regalo abbiamo una massa espressa in maniera universale.

Se come quantità di moto usiamo questa massa, cioè p=M_p(\beta c), la lunghezza quantistica associata è, sempre per il principio di Heisenberg

Sostituendo il valore trovato per M_p=\sqrt{\hbar c/G} e trascurando la costante \beta irrilevante, troviamo quella che è definita lunghezza di Planck

La lunghezza di Planck

che è anche pensabile come la distanza percorsa dalla luce in un tempo di Planck definito così

Il tempo di Planck

Grazie alle tre teorie fondamentali: gravità, relatività e quantistica, siamo riusciti a trovare tre costanti fondamentali per esprimere le tre quantità più importanti della Fisica in maniera indipendente

Le tre costanti fondamentali da cui discendono massa, lunghezza e tempo.

Cosa ci abbiamo guadagnato? Ora possiamo esprimere qualsiasi altra massa, lunghezza o tempo in unità di queste che abbiamo trovato! Cioè diremo che

Le costanti \apha_m,\alpha_\ell,\alpha_t sono adimensionali, cioè sono dei numeri puri.

in cui \alpha_m, \alpha_\ell,\alpha,t sono ora le letture di “quanta massa, quanta lunghezza o quanto tempo c’è” nelle unità M_p,\ell_p,t_p.

Ovviamente in queste unità la massa di Planck ha \alpha_m=1, il tempo di Planck ha \alpha_t=1 e la lunghezza di Planck ha \alpha_\ell=1 (per definizione). È come dire “quanti chili ci sono in un chilo?” ovviamente uno, è la definizione.

Un ritorno alle unità primordiali

Volendo potremmo esprimere queste nuove unità utilizzando quelle a cui siamo abituati quotidianamente, come il chilogrammo, il secondo e il metro, giusto per avere un’idea delle scale in gioco.

Siccome la parola “quantistica” ci fa venire in mente quantità molto piccole, non ti sorprenderà sapere che tempo di Planck e lunghezza di Planck sono spaventosamente piccole nelle nostre unità

Ma anche questo non dovrebbe scandalizzarci. Chi ci dice che le nostre unità di misura quotidiane siano significative? Quanto piccolo è troppo piccolo, e quanto grande è troppo grande? Dipende dalle unità che si sta usando. Nelle unità naturali fondamentali t_p=1, \ell_p=1, nulla di insolito, non sono piccole.
Nelle unità primordiali a cui siamo abituati invece si ha:

  • t_p\sim 10^{-44}\,\text{s}, ovvero un numero così piccolo che non vale nemmeno la pena specificare quanto.
  • \ell_p\sim 10^{-33}\,\text{cm}, ovvero 10^{-25} volte il raggio tipico di un atomo. Per enfatizzare, il numero 10^{-25} corrisponde a 24 cifre dopo lo zero, cioè qualcosa del tipo 0.\underbrace{000.....0}_{24}1. Giusto per intenderci.

La massa di Planck corrisponde invece a M_p\sim 10^{-5}\,\text{grammi}.
Dal punto di vista “quotidiano” M_p può sembrare molto piccola, ma in realtà corrisponde a 10^{19} volte la massa del protone, un valore spropositatamente elevato per la fisica delle particelle. Nelle nostre unità, M_p appare così grande perché dipende dalla costante G al denominatore, cioè M_p\propto 1/\sqrt{G}, con G che è un numero molto piccolo nella teoria della gravità.

Ma passiamo ora alla questione di interesse: le unità naturali ci permettono di calcolare con estrema velocità una quantità che è il risultato di una primordiale teoria di gravità quantistica: la temperatura di Hawking per l’evaporazione dei buchi neri.

L’evaporazione dei buchi neri

In termini rozzissimi “l’evaporazione” di un buco nero si basa su due aspetti fondamentali:

  • Il “vuoto“, dal punto di vista quantistico, non è davvero un vuoto, ma una “brodaglia quantistica” caratterizzata da processi di creazione-distruzione di coppie particella-antiparticella. Queste particelle sono “virtuali“, nel senso che non sono osservabili fisicamente e rappresentano solo un conveniente costrutto matematico, una conseguenza delle nostre teorie. Il loro utilizzo conduce tuttavia a predizioni accurate sulle particelle osservabili.
  • L’orizzonte degli eventi di un buco nero è definito sul vuoto spaziotemporale attorno al buco nero, e racchiude una regione (il buco nero) dalla quale NULLA, nemmeno la luce, può sfuggire.

Che succede se si viene a creare una coppia virtuale di particella-antiparticella esattamente sull’orizzonte degli eventi? Una delle due particelle non potrà più uscire dalla regione spaziotemporale, mentre l’altra proseguirà in direzione opposta per la conservazione della quantità di moto.

Una coppia virtuale di particella-antiparticella si crea sull’orizzonte del buco nero.

Ci tengo a rimarcare: questa descrizione del processo è molto euristica e non del tutto precisa, ma rende bene l’idea. Non ne ho mai trovate di più semplici di questa.


Il punto importante da capire è che in un certo senso è come se il buco nero avesse emesso della radiazione sotto forma di particella! Un attimo prima non c’era nulla, e un attimo dopo è come se si fosse creata radiazione dal niente, anche se in realtà il partner della particella emessa è stato risucchiato nel buco nero.

La particella che procede verso l’universo circostante è stata promossa da “particella virtuale” a “particella reale”, e questa promozione ha un costo energetico ben preciso, garantito dall’energia gravitazionale del buco nero. Tutto questo processo è noto come “radiazione di Hawking”.

La radiazione di Hawking prevede che i buchi neri perdano energia gravitazionale sotto forma di radiazione di particelle.

In questo senso si dice che i buchi neri “evaporano”, cioè è come se iniziassero a perdere massa.

Stima della temperatura di Hawking

Nelle unità naturali definite prima si pone convenzionalmente \hbar=c=1 per semplificare le equazioni. Come conseguenza di ciò, l’energia ha le stesse dimensioni di una massa:

Energia e massa diventano la stessa cosa in unità naturali.

In questo modo il principio di Heisenberg \Delta x\Delta p\sim\hbar per lunghezza di Planck \ell_p e quantità di moto\Delta p\propto M_p c=M_p con c=1, si scrive con \hbar=1:

Il principio di Heisenberg in unità naturali ci dice che le lunghezze hanno come unità l’inverso di un’energia.
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quindi impariamo che la lunghezza equivale all’inverso di una massa, cioè all’inverso di un’energia per quanto appena detto.

Da un punto di vista microscopico possiamo associare una certa temperatura alla radiazione di Hawking. Questo perché la temperatura è una misura dell’energia cinetica di un sistema. In un certo senso la temperatura è la manifestazione macroscopica di un processo microscopico, rappresentato dal moto caotico delle particelle. Noi vediamo solo “la temperatura” dal punto di vista sperimentale, quindi per via di questa limitazione abbiamo creato una costante ad hoc per convertire l’energia microscopica in scale graduate di colonnine di mercurio con cui misuravamo le temperature qualche secolo fa.

La conversione tra energia microscopica e la sua manifestazione “misurabile”, cioè la temperatura, avviene grazie alla costante di Boltzmann k_b.

Siccome non vogliamo usare unità antropocentriche come le colonnine di mercurio, porremo k_b=1 per semplicità. Quindi l’energia è proprio la temperatura: E=T.

Parlando del buco nero possiamo allora dire che siccome l’energia equivale all’inverso di una lunghezza, e che al contempo l’energia equivale a una temperatura, si ha che

Come lunghezza caratteristica del buco nero possiamo prendere proprio la lunghezza gravitazionale definita all’inizio di questo articolo, cioè GM/c^2, che in unità c=1 supponendo che il buco nero abbia una massa M diventa:

Di conseguenza possiamo fornire una stima (molto rozza, ma efficace) della temperatura di Hawking del buco nero di massa M

La temperatura di Hawking della radiazione.

Nonostante la nostra stima sia estremamente rozza, il risultato è comunque corretto: la temperatura del buco nero è tanto più alta quanto più è piccolo (cioè meno massivo). Inoltre, come la massa del buco nero diminuisce per via dell’evaporazione, la sua temperatura crescerà sempre di più ed evaporerà ancora più velocemente. Questo è quello che ci dice la formula per la temperatura di Hawking.

Ciò ha del paradossale: hai mai visto un corpo che più perde energia, più si riscalda ed emette in fretta? Questo è solo uno dei tanti problemi che derivano dall’infelice connubio tra relatività generale e meccanica quantistica, e questi problemi dovranno essere risolti da una pretendente teoria di gravità quantistica.

Abbiamo mai rivelato una radiazione di Hawking proveniente da un buco nero? Non ancora, specialmente perché per buchi neri di massa comune (abbastanza elevata) la temperatura di Hawking, andando come T_H\sim 1/M, è molto molto piccola, più piccola di quella del punto più freddo dell’universo, vicino allo zero assoluto in gradi Kelvin. La speranza è rivolta verso i buchi neri primordiali in quanto dovrebbero essere in fase di evaporazione finale, un momento in cui la loro massa tende a M\to0, e quindi dovremmo essere in grado di rivelare un incremento anomalo nella temperatura dell’emissione.


PS. ho scritto un libro di testo che rappresenta proprio ciò che avrei desiderato leggere all’inizio dei miei studi di Fisica teorica, per renderla accessibile agli amatori e insegnare le tecniche matematiche necessarie a una sua comprensione universitaria. Si chiama “L’apprendista teorico” , dai un’occhiata per vedere di cosa si tratta. Il libro è acquistabile su Amazon.

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Matteo Parriciatu
Matteo Parriciatu

Dopo aver conseguito la laurea in Fisica nel 2020, studia Fisica Teorica all’Università di Pisa specializzandosi in simmetrie di sapore dei neutrini, teorie oltre il Modello Standard e interessandosi di Relatività Generale.
È autore del libro “L’apprendista teorico” (2021).

Perché secondo Rovelli la Relatività suggerisce di abbandonare il concetto di spaziotempo

Durante il secolo scorso, la Relatività Generale si è presentata con il più grande colpo di scena che la Fisica abbia mai visto:

L’interpretazione ortodossa della relatività generale: esiste uno spaziotempo che viene curvato dalle sorgenti di massa.
Le altre masse non possono fare altro che “seguire la curvatura” e quindi essere attratte.

Il campo gravitazionale non esiste, la gravità è il risultato della curvatura dello spaziotempo.

Chiunque si sia mai interessato di relatività generale si è quindi abituato a visualizzare questa affermazione con la splendida rappresentazione dello spaziotempo “curvato”.

Lo spaziotempo è per noi una “griglia immaginaria” che esiste fin dal Big Bang, una qualche costruzione geometrica su cui si collocano tutti gli eventi della nostra realtà.
Questi eventi possono essere descritti con le coordinate che vogliamo, e queste coordinate vanno a strutturare il palcoscenico matematico a cui diamo il nome “spaziotempo” dal punto di vista dei calcoli. Ma in ogni caso stiamo sempre assumendo che questa griglia invisibile e sottostante esista sempre, e in genere diamo anche a lei il nome di spaziotempo.


Di sicuro è una rappresentazione che ci consente di fare i conti in maniera molto comoda, ma ciò ha un determinato prezzo da pagare.

Questa rappresentazione assume in qualche modo che lo spaziotempo esista indipendentemente dalla materia e da ogni altra sorgente di energia, e questo è proprio ciò che sancisce il divorzio completo con la visione “quantistica” delle interazioni, come illustrato nel seguente schema:

Ciò pone non pochi problemi dal punto di vista della gravità quantistica, la quale si ritrova a dover mediare tra due visioni nettamente diverse! Nonostante ciò, entrambe le teorie funzionano in maniera impeccabile nei loro rispettivi campi di applicazione. In particolare anche la relatività generale ha ricevuto l’ennesima schiacciante conferma di validità secondo i dati recenti sull’osservazione del buco nero al centro della nostra galassia (EHT).

Eppure, nonostante sia data per scontata, questa interpretazione dello spaziotempo in relatività generale è tutt’altro che definitiva.

Di recente mi è capitato di studiare dei paragrafi del testo specialistico “Quantum Gravity” di Carlo Rovelli, incappando in un’osservazione che ritengo di altissimo valore concettuale e che aiuta a risolvere un importante paradosso delle equazioni di Einstein.

In realtà questa argomentazione non è dovuta solo a Rovelli, ma risale fino agli albori della relatività generale. È il cosidetto “hole argument” di Einstein, il quale giunse alle importanti conclusioni illustrate anche da Rovelli.

Un paradosso molto arguto

Immaginati una regione nello spaziotempo senza sorgenti di gravità, cioè senza massa o altre forme di energia come quella elettromagnetica. Magari questa regione di spaziotempo la prendiamo piccola a piacere per non complicarci le idee.

Con il simbolo delle tre ondine increspate, intendiamo uno spaziotempo curvo in quel punto.

Considera ora due punti A e B in questa regione vuota, e supponi di essere in grado di misurare la curvatura dello spaziotempo in entrambi i punti. Per intenderci, definiamo lo spaziotempo con il simbolo g_{\mu\nu}.

Per via di una particolarissima disposizione delle sorgenti esterne alla regione che stiamo considerando, supponi che lo spaziotempo sia curvo nel punto A e piatto nel punto B.

Ora usufruiremo del nome “Relatività Generale”, che non è stato assegnato a caso! Questo nome testimonia il postulato fondamentale su cui è basata tutta la teoria: la Fisica non può dipendere dalle coordinate di chi la osserva. Quando passiamo da un sistema di coordinate ad un altro stiamo eseguendo una trasformazione che chiamiamo \phi. Quando lasciamo agire \phi su una quantità “e“, otteniamo il suo trasformato \bar{e}=\phi\,e indicato con \bar{e}. Le quantità importanti della relatività generale non cambiano sotto la trasformazione \phi.

Se io calcolo una soluzione delle equazioni di Einstein che mi restituisce il valore della curvatura dello spaziotempo, il quale dipende da g_{\mu\nu}(x) in ogni suo punto x, allora un cambiamento di coordinate ottenuto con la trasformazione \phi genererà un’altra soluzione delle stesse equazioni, che ha la stessa validità della soluzione precedente.

Il punto è che \bar{g}_{\mu\nu} risolve le stesse equazioni di Einstein con le stesse sorgenti, non è cambiato nulla rispetto a prima. Cambia solo il linguaggio in cui abbiamo espresso g_{\mu\nu} (cioè le coordinate particolari che utilizziamo).

Supponiamo di trasformare le nostre coordinate in modo da mandare il punto A nel punto B e lasciare invariati tutti gli altri punti al di fuori del buco. Anche la soluzione delle equazioni di Einstein trasformerà come \bar{g}=\phi\,g. In sostanza, abbiamo fatto la seguente cosa:

Una trasformazione che lascia invariato tutto lo spazio tranne i punti all’interno della regione vuota. Dopo la trasformazione lo spaziotempo presenta una curvatura nel punto B , mentre la curvatura è nulla nel punto A.

Nelle nuove coordinate lo spaziotempo nel punto A è quindi piatto, mentre ora è curvo nel punto B.

Ripeto, \bar{g}_{\mu\nu} è una soluzione altrettanto valida, e la trasformazione che abbiamo fatto è consentita dalle leggi della Relatività Generale.

Ma allora lo spaziotempo nel punto A è piatto oppure curvo? Ci troviamo di fronte a un paradosso, come se le equazioni di Einstein fossero completamente inutili perché non sono in grado di descrivere lo spaziotempo univocamente.

Questo aspetto turbò gravemente Einstein in persona, tanto da fargli dubitare più volte che il principio di relatività generale avesse senso fisico.

In realtà, come fa notare Rovelli, la soluzione del paradosso sta nel ripensare la nozione di “punto dello spaziotempo”, o in generale: smetterla di attribuire tanta importanza a una griglia immaginaria come lo spaziotempo.

In realtà stavamo risolvendo un problema sbagliato.

La domanda fondamentale “com’è lo spaziotempo nel punto A? Ha in realtà meno significato di quello che pensavamo. Il problema era mal posto, o meglio, non aveva senso considerarlo un problema.

In Relatività Generale assumiamo l’esistenza di questa griglia invisibile chiamata “spaziotempo”, dandole un significato intrinseco che è maggiore di quello che realmente ha.
Nonostante accettiamo senza problemi il fatto che possiamo usare qualsiasi tipo di coordinate vogliamo per elencare i punti di questa griglia, qualcosa nella nostra intuizione ci porta a credere che la griglia abbia davvero un significato fisico.

Una rappresentazione bidimensionale della griglia spaziotemporale che ci immaginiamo nella nostra testa.

Il concetto di griglia ha però, come molti altri concetti, solo una natura strumentale. Spesso ci permette di capire ciò che stiamo facendo, ma non dovremmo dargli un significato ontologicamente maggiore di quello strumentale, o almeno questo è il suggerimento di Einstein e Rovelli.

Hai visto come il domandarci quale fosse la curvatura dello spaziotempo in uno specifico punto ci ha portato al paradosso che le equazioni di Einstein descrivono due cose diverse con due soluzioni che dicono in realtà la stessa cosa? Stavamo risolvendo un problema sbagliato, questo è l’errore a cui siamo condotti se non seguiamo il suggerimento.

Considera invece questa situazione: supponiamo che nel punto A si incrocino anche le traiettorie spaziotemporali di due particelle (cioè le loro geodetiche):

Le geodetiche delle particelle sono indicate con la linea tratteggiata blu.

Le coordinate con cui descriviamo il punto A adesso racchiudono non solo l’informazione sulla curvatura dello spazio tempo g_{\mu\nu}, ma anche l’informazione “si sono incrociate le geodetiche delle due particelle!“.
Anche le geodetiche dipendono dalle coordinate che utilizziamo, quindi se ora eseguiamo la stessa trasformazione di coordinate di prima, cioè mappiamo un punto nell’altro, dobbiamo spostare anche il punto di incontro delle geodetiche!

Come vedi ora sia la curvatura dello spaziotempo sia il punto di incontro delle geodetiche sono stati trasportati dal punto A al punto B. Supponiamo di voler rispondere, grazie alle equazioni di Einstein, alla seguente domanda:

“Com’è la curvatura dello spaziotempo nel punto in cui si incontrano le geodetiche delle due particelle?”

Questa domanda, a differenza di prima, è tutta un’altra questione: è ben posta ed ha una soluzione univoca data dalla soluzione delle equazioni di Einstein. Come puoi vedere, sia prima che dopo la trasformazione di coordinate esiste una curvatura nel punto di incontro delle due geodetiche. Lo spaziotempo è curvo nel punto in cui le due geodetiche si incontrano. Questa informazione non dipende da quali coordinate stiamo utilizzando. Quindi è questa la vera domanda da porsi in una situazione simile.

La Relatività Generale ci suggerisce che la griglia immaginaria ha molto meno significato fisico di quello che credevamo: ha poco senso fisico chiedersi quale sia il valore della curvatura dello spaziotempo in un suo specifico punto senza introdurre campi di materia o interazioni tra particelle che possano interagire in quel punto.

Se ti interessa la Fisica, iscriviti alla newsletter mensile! Ho pensato di scrivere una guida-concettuale di orientamento per aiutarti a capire da dove studiare.

Uno spaziotempo senza materia e particelle non ha significato fisico, la realtà non è composta da spaziotempo e campi, ma da campi su campi, secondo Rovelli. Possiamo fare affermazioni fisicamente sensate solo nel momento in cui iniziamo a relazionare campi di materia con altri campi di materia (come l’incrocio delle due geodetiche visto nell’esempio).

Questo punto di vista capovolge ancora una volta il significato che attribuiamo alla Relatività Generale: non è che la gravità non esiste ed è solo lo spaziotempo a farci sembrare che ci sia, sono le interazioni con le particelle che danno un significato fisico allo spaziotempo. Lo spaziotempo emerge grazie alle particelle, e non il contrario. Per la gravità quantistica questa interpretazione è nettamente più favorevole in quanto il mediatore smette di essere indipendente dalla materia che interagisce (vedi lo schema fatto all’inizio).

Gli oggetti non sono immersi nello spazio. Gli oggetti costituiscono lo spazio. Come un matrimonio: non è che marito e moglie “percepiscono il matrimonio”, loro sono il matrimonio, lo costituiscono. […] Allo spazio non rimane nulla se togli tutte le cose che lo abitano. Lo spazio è costituito dalle cose.

Carlo Rovelli

Si nasconde forse qui il segreto per iniziare a conciliare gravità e meccanica quantistica?

Secondo me questo paradosso meriterebbe di essere illustrato maggiormente nei libri di testo introduttivi di Relatività Generale, perché nasconde il cuore concettuale della materia. Per questo motivo ho pensato di portare in superficie l’osservazione di Rovelli, uno dei pochi autori moderni che ha scelto di parlarne a un secolo di distanza.


PS. ho scritto un libro di testo che rappresenta proprio ciò che avrei desiderato leggere all’inizio dei miei studi di Fisica teorica, per renderla accessibile agli amatori e insegnare le tecniche matematiche necessarie a una sua comprensione universitaria. Si chiama “L’apprendista teorico” , dai un’occhiata per vedere di cosa si tratta. Il libro è acquistabile su Amazon.

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Matteo Parriciatu
Matteo Parriciatu

Dopo aver conseguito la laurea in Fisica nel 2020, studia Fisica Teorica all’Università di Pisa specializzandosi in simmetrie di sapore dei neutrini, teorie oltre il Modello Standard e interessandosi di Relatività Generale.
È autore del libro “L’apprendista teorico” (2021).

Come ho imparato ad amare i numeri immaginari

Ho molta difficoltà nel visualizzare cosa sarebbe la Fisica teorica, o la Scienza in generale, senza i numeri immaginari. Non fraintendermi, il mondo esisterebbe lo stesso e la Terra continuerebbe a girare attorno al Sole. Dico solo che senza l’ausilio dei numeri immaginari faremmo molta più fatica nella costruzione di tantissime teorie della Fisica.
Ma il vantaggio non è solo teorico, questi speciali numeri sono così utili che anche gli ingegneri non saprebbero proprio farne a meno, dalla fluidodinamica fino alla teoria dei segnali elettrici.

Cosa c’è di immaginario nei numeri immaginari?

Alla fine ha poco senso definire un numero “immaginario” o reale, in quanto la matematica è di fatto un’invenzione umana e possiamo decidere a piacere cosa sia “reale” o meno.

Invece mi piace pensare che l’aggettivo “immaginario” si riferisca piuttosto a una qualità particolare di chi li ha pensati per la prima volta. Chi ha scoperto questi numeri era una persona ricca di immaginazione, disposta a fare quel passo in più e a sfidare lo status quo. Una persona che ha saputo sfruttare il potere del pensare in grande, del “e se fosse..?“. Alla fine questa è la storia di un “bighellonare produttivo”.

Il bighellonare produttivo

I matematici del XVI secolo erano maggiormente indaffarati con la fondazione dell’algebra e della geometria analitica. Nel frattempo si divertivano a risolvere alcuni “cruciverba“ come: “trova le radici dell’equazione polinomiale x2+3x-4=0 usando gli assiomi dell’algebra”. Era importante specificare “usando gli assiomi dell’algebra” perché, come ogni gioco, anche la matematica ha le sue regole. Ad esempio sarebbe facile, in una partita di calcio, prendere la palla con le mani e lanciarla verso la porta per fare gol, ma a quel punto staremmo parlando proprio di un altro sport. La matematica è tale proprio per via delle sue regole.

Le regole del gioco della matematica di allora prevedevano che fosse proibito affermare che il quadrato di un numero potesse essere un numero negativo: “meno per meno fa più, e più per più fa più“. Se così non fosse, romperemmo ogni logica del gioco. Queste regole impedivano che alcune equazioni polinomiali avessero una soluzione. Ad esempio x2-2x+2=0 non ammette soluzioni: non esiste un numero “x” che inserito in quella equazione dia zero come risultato. Graficamente stiamo parlando di una parabola che non tocca mai l’asse y=0

Un modo semplice di vedere perché l’equazione non ha soluzioni è con un cambio di variabile: