Il principio di indeterminazione di Heisenberg è considerato l’essenza della meccanica quantistica. Per questo motivo è uno degli argomenti più chiacchierati a livello divulgativo. Persino l’enunciato è celebre:
È impossibile misurare con precisione arbitraria la quantità di moto e al contempo la posizione di una particella
Enunciato del principio di Heisenberg
Anche la versione matematica dell’enunciato è piuttosto celebre: se indichiamo con “∆x” e “∆p” le incertezze sulla posizione e sulla quantità di moto, vale la disuguaglianza
ℏ è la costante di Planck divisa per 2π.
Negli anni ho notato alcune imprecisioni concettuali nelle analisi di questo principio, per cui ho deciso di rifletterci un po’ e dare il mio contributo. Ho trovato che il modo migliore per demistificarlo è il seguente:
Il principio di indeterminazione può essere compreso matematicamente una volta accettati i postulati della meccanica quantistica, tramite l’analisi di Fourier.
Lo scopo di questo articolo è quello di aiutarti ad apprezzare come la matematica della meccanica quantistica ci faccia comprendere meglio il principio di indeterminazione.
Non preoccuparti, non è una matematica di alto livello, useremo al massimo le funzioni trigonometriche (seni e coseni), e magari qualche integrale. È davvero tutto ciò che serve per apprezzare il discorso.
Teoria ed esperimento
Quando si costruisce una teoria fisica si cercano delle strutture concettuali che siano in grado di produrre dei risultati misurabili e in grado di giustificare i dati sperimentali. La meccanica quantistica è l’unica teoria in grado di spiegare accuratamente i risultati sperimentali dei fenomeni atomici, e ogni struttura concettuale della teoria ci aiuta a comprendere anche i risultati stessi, grazie alla matematica.
Ogni teoria presuppone dei postulati fondamentali (essenzialmente delle proposizioni che vengono assunte vere, senza necessità di dimostrazione). Ciò che ci servirà oggi è il postulato di De Broglie della meccanica quantistica. Infatti, una volta accettato questo postulato, la matematica parlerà da sola e ci aiuterà a capire il principio di Heisenberg.
“Scusa, ma non è un ragionamento circolare? Se devo accettare acriticamente un postulato, allora è possibile dimostrare tutto e il contrario di tutto. Io mi aspettavo che mi illustrassi il motivo metafisico per il quale non posso misurare contemporaneamente impulso e posizione di una particella!"
Il punto è che la Scienza funziona proprio così, dobbiamo accettare dei postulati se vogliamo fare delle previsioni verificabili. Se le previsioni sono verificate, allora la teoria può essere utilizzata anche come guida matematica alla comprensione dei risultati stessi. Funziona così da sempre. Senza la matematica saremmo scientificamente analfabeti.
Uno dei postulati fondamentali della meccanica quantistica è quello di De Broglie: “le particelle sono descritte da funzioni d’onda ψ(x,t) dipendenti da tempo e spazio“, il cui modulo al quadrato rappresenta la densità di probabilità di trovare la particella in un certo punto dello spazio.
La teoria delle onde
La parola fondamentale su cui devi concentrarti è “funzione d’onda“. L’utilizzo di questa parola ha delle conseguenze molto pesanti, perché le onde hanno un comportamento speciale.
Nei prossimi paragrafi ti aspetta una carrellata di nozioni matematiche, ma ti assicuro che sono tutte essenziali per apprezzare meglio il principio di Heisenberg. Dagli una chance, ripaga bene!
Le onde sono perturbazioni nello spazio e nel tempo che possono essere più o meno regolari nella loro forma. Le “onde semplici” sono caratterizzate da una certa ampiezza e una frequenza di oscillazione costanti nel tempo, e ci piace chiamarle onde sinusoidali. Non tutte le onde sono semplici! Le sinusoidi sono matematicamente semplici da descrivere (probabilmente hai già incontrato seni e coseni da qualche parte), ma il mondo reale ha ben poco a che fare con le onde semplici. Purtroppo, la maggior parte dei segnali oscillanti nel tempo sono molto complessi:
Quindi non abbiamo speranza di descrivere matematicamente delle funzioni d’onda molto complesse? Fortunatamente entra in gioco uno dei risultati che a me piace definire come una delle pietre miliari nella storia della Scienza:
Qualsiasi segnale nel tempo può essere costruito sovrapponendo delle onde sinusoidali
È un po’ come se le onde sinusoidali fossero gli atomi elementari della teoria dei segnali: così come i corpi complessi sono composti da più atomi, i segnali complessi sono composti da onde sinusoidali.
In una notazione abbastanza simbolica e approssimativa, l’idea è la seguente: per ottenere il segnale desiderato basta sommare tante onde sinusoidali, pesate ciascuna con un certo coefficiente detto “di Fourier” (il quale dipenderà dal particolare segnale):
Cosa significa “sovrapporre onde sinusoidali”?
Qui entra in gioco la cara vecchia trigonometria. Un “atomo di segnale”, cioè un’onda sinusoidale, ha la seguente struttura:
La magia si manifesta quando sommiamo due onde sinusoidali di ampiezze e frequenze diverse. Consideriamo ad esempio la somma delle seguenti onde:
Il risultato è il seguente: l’onda risultante dalla somma non è più un’onda semplice!
La spiegazione è puramente geometrica, ed è riassunta nelle formule di prostaferesi che si imparano a scuola. Infatti in generale:
Lo so, non è molto carina da vedere, infatti non preoccuparti di leggerla tutta, è solo una giustificazione del perché la somma di due sinusoidi non è sempre una sinusoide: quei prodotti di seni modificano l’ampiezza dell’onda risultante nel tempo!
Alla fine questo è un concetto che caratterizza la vita di tutti giorni: anche una nota di un violino è una sovrapposizione di armoniche (onde sinusoidali di diverse frequenze), delle quali sentiamo maggiormente la dominante.
L’analisi di Fourier
Quel segnale complicato che abbiamo ottenuto sopra potrebbe sembrare irrilevante per il nostro discorso: sapendo quali sono gli atomi di partenza, è piuttosto facile costruire il segnale più complicato.
Il divertimento inizia quando decidiamo di invertire il problema di prima:
Dato un segnale complicato, è possibile capire la sua composizione in onde sinusoidali?
Questa è la domanda a cui vuole rispondere l’analisi di Fourier.
L’analisi di Fourier ci dice che esiste un altro modo di osservare un segnale. Quello che abbiamo illustrato prima è l’analisi temporale: cioè osserviamo il profilo dell’onda in funzione del tempo.
Ma l’analisi nel tempo è solo uno dei due modi. Possiamo anche studiare il segnale risultante andando a cercare le frequenze principali che lo costituiscono: stiamo facendo una radiografia del segnale per capire di quali atomi elementari è composto!
La descrizione temporale e la descrizione in frequenza sono due modi diversi di osservare lo stesso segnale, e il passaggio da una descrizione all’altra è garantito da un’operazione chiamata trasformata di Fourier.
Come illustrato nella figura, la trasformata di Fourier prende in pasto una funzione nel tempo e restituisce una nuova funzione, stavolta nella frequenza:
L’espressione matematica è la seguente:
Se non hai mai visto un integrale non lasciarti intimorire: questi simboli sono solo un modo intimidatorio per esprimere che stiamo sommando infiniti prodotti tra sinusoidi e il segnale in input “h(t)”. Le sinusoidi sono nascoste nell’esponenziale tramite la relazione di Eulero
Se questa relazione ti crea disagio fai finta che non ci sia. L’ho tirata fuori solo per dimostrarti che sono coinvolti, come promesso, dei seni e dei coseni. Queste sinusoidi vanno a moltiplicare il segnale in input “h(t)” in ogni istante di tempo, e la somma infinita produce una distribuzione del segnale nella frequenza “f“.
Ovviamente se partiamo dalla distribuzione in frequenza, esiste anche un’anti-trasformata di Fourier che ci riporta alla funzione nel tempo. Il cerchio si chiude.
Un esempio
Per dimostrarti che la trasformata di Fourier fa quanto promesso, consideriamo la somma delle sinusoidi che ti ho proposto prima.
Il segnale risultante, come abbiamo visto graficamente, non è una sinusoide semplice:
Tiriamo fuori il problema inverso:
Supponiamo ora che qualcuno ci dia solo il segnale risultante come input e ci chieda di capire di quali “atomi sinusoidali” è composto. Questo è un lavoro per la trasformata di Fourier!
Il risultato è il seguente grafico nelle frequenze:
Cosa sono questi due picchi intimidatori? È il risultato di quell’integrale altrettanto intimidatorio. Osserva dove sono collocati i picchi: il primo picco è a “f=1” e il secondo picco a “f=3/2“. Quali erano le frequenze delle due sinusoidi iniziali? Esattamente “f1=1 Hz” e “f2=3/2 Hz”.
Questi due “picchi” ci stanno dicendo:
“Ehi, con la trasformata ho individuato due grosse frequenze costituenti, cioè il segnale che mi hai dato in pasto era costituito da due sinusoidi elementari di frequenze “f1=1 Hz” e “f2=3/2 Hz”.
Ovviamente noi sapevamo già che il segnale era composto da queste due sinusoidi, quindi il risultato non ci sorprende. Semmai ci rassicura su una cosa: la trasformata di Fourier funziona, ed è un ottimo modo per analizzare le componenti delle onde che usiamo nella Fisica.
Il cuore del principio di indeterminazione: gli spazi duali
Veniamo ora alla questione centrale. Voglio che noti una particolarità interessante della trasformata di Fourier. Supponiamo di dilatare la variabile temporale del segnale in input, cioè
Questa è un’operazione matematica che ho scelto di fare: voglio modificare temporalmente il segnale in ingresso tramite una certa costante “b”. Che succede al segnale in frequenza? Per saperlo dobbiamo fare la trasformata di Fourier e fare un cambio di variabile:
Che è successo? Tra il passaggio (1) e il passaggio (2) ho cambiato variabile per ricondurmi alla forma standard della trasformata di Fourier. Questo passaggio ha generato il termine 1/b moltiplicativo, e mi ha portato a definire una nuova frequenza “f’=f/b” nel passaggio (3). Nel passaggio (3) abbiamo tra le mani la definizione di trasformata di Fourier del segnale con il tempo dilatato. Rispetto alla funzione in frequenza di prima, ora si ha:
Quel “f/b” è davvero il succo del discorso, perché stiamo dividendo la variabile frequenza per un numero “b“. Se b>1, cioè se dilatiamo il tempo, otteniamo un restringimento delle frequenze. Viceversa, se b<1 cioè se contraiamo il tempo, otteniamo una dilatazione delle frequenze.
Il dominio temporale e il dominio delle frequenze si chiamano in gergo “spazi duali” , proprio perché hanno questo comportamento. Tempo e frequenza sono “variabili duali”.
A livello intuitivo potevamo aspettarcelo anche senza fare macello, basta ricordarsi che per definizione
cioè la frequenza è l’inverso del periodo di oscillazione, per cui se dilatiamo una delle due, l’altra si restringe.
Se restringiamo la durata del segnale, aumentiamo il suo contenuto in frequenza. Viceversa se estendiamo la durata del segnale, diminuiamo il suo contenuto in frequenza.
Possiamo spiegare questo comportamento intuitivamente:
- Per creare un segnale corto nel tempo sono necessarie tantissime onde elementari per cancellare l’ampiezza di oscillazione al di fuori dell’intervallo di durata del segnale. Maggiore è il numero di onde elementari di varie frequenze che costituiscono il segnale, maggiore sarà il contenuto in frequenza del grafico della trasformata.
Per fare un esempio concreto, consideriamo il segnale in figura, che è quanto di meno sinusoidale si possa chiedere: un gradino di segnale tra i tempi t=-T e t=+T e zero altrove
La sua trasformata di Fourier nel dominio delle frequenze è illustrata sotto.
Ho assemblato diversi casi di durata del segnale da T=0.1 s a T=5 s per evidenziare l’effetto della dilatazione della durata temporale sul dominio delle frequenze. Per un segnale molto corto vengono coinvolte tantissime frequenze (quindi il grafico della trasformata è praticamente quasi piatto, vedi il caso T = 0.1 s).
L’analisi di Fourier sugli spazi duali apre le porte a una miriade di teoremi che portano a dimostrare le cosiddette “relazioni di incertezza“. In particolare ogni coppia di variabili duali è caratterizzata da una relazione di incertezza. Nel caso di tempo e frequenza abbiamo:
Questa è esattamente la forma matematica assunta dal principio di Heisenberg! Il prossimo passo sarà quindi tradurre quanto abbiamo appena detto nel regime di posizione “x” e quantità di moto “p“.
Posizione e impulso: altre variabili duali
Una volta accettato il postulato che le particelle sono descritte da una funzione d’onda spaziale, non è difficile accettare che la quantità di moto di una particella abbia qualcosa a che fare con la frequenza. Ce lo disse De Broglie! Ad esempio anche la luce (che è un’onda elettromagnetica) trasporta una quantità di moto, e per De Broglie questa quantità è data da:
In generale a una particella non è assegnata una quantità di moto precisa, ma una distribuzione di quantità di moto, che vanno a comporre un certo “pacchetto d’onda”. Anche questa è una conseguenza del postulato fondamentale: la posizione della particella non è assegnata in ogni momento, ma è distribuita tramite la funzione d’onda della posizione. I picchi della funzione d’onda corrispondono ai punti dello spazio in cui è più probabile rivelare la particella:
Per rafforzare l’analogia con quanto discusso all’inizio ti basta realizzare che, come ogni onda, anche la funzione d’onda Ψ(x) è costituita da numerosi “atomi elementari” sinusoidali.
Siccome ora parliamo di particelle massive cambierà solo il linguaggio: ciò che prima era frequenza ora diventa quantità di moto, e ciò che prima era il tempo ora diventa lo spazio:
È proprio ora che tutto inizia a fare “clic”. Basta tenere a mente questi due passaggi fondamentali:
- 1) I picchi della funzione d’onda corrispondono ai punti dello spazio in cui è più probabile rivelare la particella.
- 2) Per ottenere un picco della funzione d’onda è necessario sommare tante sinusoidi di “frequenze” diverse (cioè tante quantità di moto “p” diverse), come illustrato nell’animazione seguente:
Questa animazione sta esattamente alla base del principio di indeterminazione: per ottenere la massima probabilità di trovare la particella in un punto (quindi rivelarla con precisione) è necessario che la sua quantità di moto diventi una sovrapposizione di numerosissime quantità di moto (che quindi si misurerà meno precisamente). È poco intuitivo? Le onde funzionano proprio così, non sono nate per soddisfare la nostra intuizione!
Analogamente a quanto discusso per i segnali nel tempo, la funzione d’onda della posizione può essere analizzata sia nel dominio dello spazio (dandoci informazioni sulla probabilità di trovare la particella nello spazio), sia nel dominio delle quantità di moto (dandoci informazioni su quale sia la probabilità di trovare la particella in un certo stato dinamico).
Il messaggio da portare a casa è questo:
La quantità di moto gioca lo stesso ruolo della frequenza, e la posizione gioca lo stesso ruolo del tempo: sono anche loro variabili duali.
La trasformata di Fourier della funzione d’onda Ψ(x) è una funzione dell’impulso ed è data da:
A parte l’integrale intimidatorio, la relazione che devi tenere a mente è la seguente:
Il principio di indeterminazione di Heisenberg è racchiuso nella definizione di trasformata di Fourier: se estendiamo la funzione d’onda nello spazio, stiamo restringendo la funzione d’onda nella quantità di moto: per descrivere una particella la cui funzione d’onda ha un’estensione infinita è sufficiente una sola quantità di moto, mentre per descrivere una particella la cui funzione d’onda ha un’estensione limitata, sono necessarie più sinusoidi diverse per cancellare i contributi nella regione in cui la funzione d’onda non esiste.
Se dilatiamo la variabile spaziale, l’effetto sulla trasformata nello spazio degli impulsi è:
Come ti accorgerai facendo avanti e indietro su questa pagina, il discorso è esattamente analogo al caso della frequenza-tempo. Anche qui i teoremi sull’analisi di Fourier determineranno quindi la famosa relazione:
Intuizione fisica
Il fatto che le variabili posizione e quantità di moto siano duali e rispettino un principio di indeterminazione è un limite invalicabile della natura. Non dipende dal fatto che la nostra strumentazione non è adeguatamente precisa.
Di certo è vero il fatto che se vogliamo seguire la traiettoria di una particella quantistica è necessario perturbare il suo moto (se voglio tracciare un elettrone devo ad esempio illuminarlo, ma nel fare ciò trasferisco quantità di moto sotto forma di radiazione luminosa, perturbando la misura), ma il motivo del principio di indeterminazione rimane insito nella natura degli oggetti quantistici, e il postulato sulla funzione d’onda di De Broglie ci aiuta a capirlo matematicamente.
PS. ho scritto un libro di testo che rappresenta proprio ciò che avrei desiderato leggere all’inizio dei miei studi di Fisica teorica, per renderla accessibile agli amatori e insegnare le tecniche matematiche necessarie a una sua comprensione universitaria. Si chiama “L’apprendista teorico” , dai un’occhiata per vedere di cosa si tratta. Il libro è acquistabile su Amazon.
