Un suo teorema cambiò per sempre la Fisica Teorica

Nascere in Baviera nel momento di maggior splendore del Secondo Reich comportava grossi vantaggi, ad esempio le opportunità accademiche: l’Impero Tedesco era il leader mondiale nelle scienze matematiche e fisiche.

Ciò era dovuto ai sostanziosi investimenti nella struttura scolastica e nelle università, il cui effetto collaterale fu quello di dare strumenti e voce a tante personalità geniali che altrimenti sarebbero rimaste inascoltate.

Immaginiamo ora di nascere in quelle circostanze, ma al contempo essere privati di tutte queste opportunità per via del proprio sesso.

Emmy Noether: 1882-1935

Il destino della giovane Emmy Noether sarebbe dovuto essere segnato già dalla sua nascita: il ceto borghese a cui apparteneva si aspettava precisamente che diventasse una maestra di inglese e francese.

Infatti alle ragazze non era concesso di puntare all’istruzione universitaria, dovevano fermarsi qualche passo prima.

Il padre di Noether era professore di matematica all’Università di Erlangen, mentre due dei suoi tre fratelli erano scienziati. La famiglia poteva quindi dare il necessario supporto a una carriera accademica, ed Emmy non aveva alcuna intenzione di essere lasciata indietro: voleva studiare matematica.

Per completare la sua formazione pre-universitaria decise di andare ad ascoltare le lezioni all’università di Erlangen, e per fare ciò doveva chiedere il permesso a ciascun professore individualmente.

Fu così che, con tutta la caparbietà del mondo, riuscì ad ottenere il diploma di ginnasio che le permise di frequentare l’università di Gottinga (senza iscrizione, dato che alle donne non era permesso).

Anche stavolta poteva solo ascoltare le lezioni, ma senza la possibilità di partecipare. Possiamo solo immaginare la spiacevole sensazione del sentirsi completamente trasparenti, inascoltati, ogni giorno della propria esistenza. I più fortunati tra noi vivono solo occasionalmente situazioni di questo tipo, ma per Noether dovevano far parte della sua identità.

Finalmente nel 1904 l’università di Erlangen permise l’iscrizione alle donne, e Noether ottenne il dottorato in matematica nel 1907. Le venne quindi concesso di fare ricerca all’istituto matematico di Erlangen, senza retribuzione.
Da allora Noether collaborò con le menti più proficue dell’epoca: Fischer, Minkowski, Klein, Hilbert (lavorò persino alla relatività generale di Einstein), ma a differenza loro Noether non vedeva un centesimo.

Non solo, doveva tenere le sue lezioni sotto il nome di Hilbert, in qualità di sua assistente, per far sì che fossero autorizzate e frequentate.

In questo astio sociale che andava a ledere la dignità personale di Noether, sarebbe stato molto comprensibile decidere di cambiare carriera.

L’articolo originale (in tedesco) di Emmy Noether, 1918.

Il fatto che lei non lo fece non dovrebbe far sentire in colpa chi invece avrebbe mollato: ognuno gioca la sua partita con le carte dategli dal destino. Noether dimostrò senza dubbio una tenacia fuori dal comune, forte della stima espressa da eminenti colleghi come Hilbert ed Einstein.

Sta di fatto che al momento giusto riuscì a far valere la sua genialità: nel 1918 dimostra un teorema che avrebbe cambiato per sempre il modo di fare Fisica Teorica.

Il teorema di Noether

L’enunciato del teorema testimonia la magnifica creatività ed eleganza di Noether, dato che può essere riassunto in sole 8 parole:

Per ogni simmetria c’è una legge di conservazione

Per comprenderne il significato facciamo un passo indietro.

La fisica studia il comportamento dei sistemi sotto particolari tipi di trasformazione.

Se a un fisico presenti un qualsiasi oggetto, la prima cosa che gli interessa è controllare come reagisce l’oggetto sotto una trasformazione.

Un esempio di oggetti che possiamo descrivere con una proprietà di forma geometrica.
A sinistra un oggetto simmetrico sotto una riflessione attorno al suo asse verticale, a destra un oggetto asimmetrico sotto la stessa trasformazione.

Questo atteggiamento è tipico della Scienza: si prende un oggetto e se ne verifica il comportamento sotto alcune trasformazioni, perché nei secoli si è capito che questo è il miglior modo per studiare il mondo che ci circonda.


Un esempio tipico di trasformazione è la rotazione spaziale: si tratta di ruotare gli oggetti attorno a qualsiasi asse passante per essi. Una volta effettuata la trasformazione ci si può chiedere quali proprietà dell’oggetto si vogliono indagare.


Ad esempio puoi prendere in mano il tuo telefono ed elencarne alcune proprietà:


La prima proprietà può essere quella ontologica: il telefono è un telefono perché è costruito in modo da funzionare come un telefono.

La seconda proprietà può essere funzionale: la facciata del telefono ha funzione di touchscreen, mentre il retro non ha questa funzione.

Una terza proprietà può essere la forma geometrica: un telefono è rettangolare.

Eseguiamo una trasformazione: ruotiamo il telefono di 180 gradi rispetto al suo asse verticale, cioè giriamolo in modo che ora il retro sia rivolto verso di noi.

Una volta ruotato il telefono possiamo chiederci: come sono cambiate le proprietà che avevamo elencato?

  • La prima proprietà non può variare: un telefono rimane tale indipendentemente da che angolo lo guardi.
  • La seconda proprietà varia, perché ora non puoi usare il touchscreen sul retro.
  • La terza proprietà non varia: un telefono rimane di forma rettangolare anche se ruotato.

Possiamo quindi classificare il telefono come un oggetto le cui proprietà variano in questo modo sotto una rotazione spaziale di 180 gradi attorno al suo asse verticale.
I fisici teorici lavorano così.

Se una certa proprietà rimane uguale a se stessa sotto una trasformazione, diremo che quella proprietà è una simmetria sotto quella trasformazione.

La simmetria è una “immunità” a una certa trasformazione.

La forma geometrica di una sfera è simmetrica sotto qualsiasi rotazione.

Facciamo un altro esempio. Consideriamo la sfera in figura, caratterizzata da un simbolo a forma di stella sulla sua superficie. Questa sfera può essere caratterizzata da due proprietà: la sua forma geometrica e la posizione della stellina. Potremmo classificare questo oggetto chiamandolo anche “sfera con una stellina in alto a sinistra”.

È intuitivo che sotto qualsiasi rotazione la sfera rimanga una sfera ai nostri occhi, ma la proprietà “stellina in alto a sinistra” cambia in base al tipo di rotazione. Ad esempio se riflettiamo la sfera attorno al suo diametro orizzontale, ora la proprietà cambierà in “sfera con stellina in basso a sinistra”.

La lezione da portare a casa è che non tutte le proprietà con cui possiamo descrivere un oggetto rimangono invariate sotto una trasformazione, e non c’è nulla di male in ciò.

Una simmetria va sempre riferita al tipo di trasformazione effettuato.


Possiamo dire che una sfera è simmetrica sotto rotazione, ma non possiamo dire che “sfera con stellina in alto a sinistra” rimane simmetrica sotto qualsiasi rotazione, ma magari solo per rotazioni di 360 gradi.

La conservazione nel teorema di Noether

Una classe speciale di trasformazioni in fisica sono le traslazioni. Possiamo considerare un certo sistema e segnare la sua posizione tramite degli assi cartesiani. In questo modo possiamo elencare alcune proprietà: ad esempio la massa dell’oggetto e la sua interazione con l’ambiente circostante, il suo moto ecc.

Per essere concreti consideriamo una particella in uno spazio completamente vuoto e identico in ogni suo punto.

Una particella in uno spazio completamente vuoto e identico in ogni suo punto.

Siccome lo spazio è vuoto ed identico in ogni suo punto, se spostiamo la particella in un altro punto le sue proprietà di moto non possono variare, altrimenti significherebbe che una qualche posizione spaziale è più speciale di altre, in contraddizione con l’ipotesi di spazio identico.


Non solo la proprietà di “particella” rimane invariata sotto la traslazione spaziale, ma anche le sue proprietà di moto.

La simmetria delle proprietà di moto viene chiamata quindi “conservazione” di una certa quantità, che in questo caso è la quantità di moto: una particella, come ci diceva Galileo, prosegue indisturbata nel suo moto rettilineo in assenza di forze, o rimane ferma se era già ferma.

Se invece ci fosse una forza, generata da una sorgente localizzata nello spazio, allora perderemmo l’equivalenza dei punti spaziali: non può esserci conservazione della quantità di moto, perché la quantità di moto varia in base alla forza applicata.

Non tutte le proprietà rimangono simmetriche sotto una certa trasformazione.

Supponiamo però che ora la sorgente di forza abbia una simmetria circolare, cioè che la forza sia la stessa lungo una circonferenza immaginaria centrata attorno alla sorgente.


In tal modo abbiamo ottenuto una simmetria sotto rotazioni attorno all’asse della sorgente. Per via di questa simmetria la traiettoria della massa è influenzata allo stesso modo indipendentemente da che angolo formi rispetto alla posizione della sorgente, ciò consente la conservazione di un’altra proprietà di moto: il momento angolare.

Abbiamo perso la conservazione della quantità di moto, ma abbiamo guadagnato la conservazione del momento angolare, che nasce da un’altra simmetria del sistema sorgente-particella.

Il pattern è chiaro: una certa simmetria spaziale di un sistema fisico genera la conservazione di una certa proprietà del suo moto, e questo è il contenuto del teorema di Noether: le leggi di conservazione nascono dalle simmetrie.


Come ci ha insegnato Einstein con la Relatività Generale, se consideriamo le traslazioni spaziali dobbiamo quindi considerare anche le traslazioni temporali e studiare le trasformazioni dei sistemi fisici sotto tali traslazioni.

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Il principio di conservazione dell’energia nasce proprio dalla simmetria sotto traslazioni temporali: se le interazioni di un sistema non variano nel tempo, deve conservarsi il suo contenuto energetico.

Energia e quantità di moto sono quindi due proprietà di un sistema che rimangono invariate sotto una traslazione temporale per la prima, e spaziale per la seconda.

Ciò aprì le porte alla fisica delle simmetrie, che ha permesso la classificazione di tanti tipi di interazione, con le relative particelle mediatrici. Infatti molti oggetti della fisica vengono classificati semplicemente in base a come trasformano: il modo che abbiamo di distinguere un processo di interazione da un altro è proprio osservarne il comportamento sotto trasformazioni. Nel tempo sono state studiate varie simmetrie:

  • La simmetria di inversione spaziale.
  • La simmetria di inversione temporale.
  • La simmetria sotto cambi di coordinate.
  • La simmetria sotto cambi di sistemi di riferimento inerziali.
  • ….

e da ciascuna (o da gruppi) di queste simmetrie è nata una teoria capace di spiegare i risultati sperimentali. Ad esempio la richiesta di simmetria di alcune quantità fisiche sotto un cambio di coordinate tra due sistemi in moto uniforme ha condotto alla relatività di Einstein. Oggi le nuove teorie della fisica delle particelle vengono costruite sui princìpi di simmetria.

Da tutto ciò si intuisce l’impatto colossale del teorema di Noether sulla Fisica Teorica: la matematica tedesca ha cambiato il nostro modo di pensare, rendendolo sorprendentemente elegante.


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Matteo Parriciatu

Dopo la laurea in Fisica (2020) e la magistrale in Fisica Teorica (2023) all’Università di Pisa, studia simmetrie di sapore dei leptoni e teorie oltre il Modello Standard.

È membro della Società Italiana di Fisica.

È autore del libro “L’apprendista teorico” (2021).

Come lo spin nasce dalla relatività

Lo spin è uno dei concetti più astratti da capire in un qualunque corso base di scienza dell’atomo. Spesso se ne dà una rappresentazione “intuitiva” o “semi-classica” come il risultato della rotazione della particella intorno al proprio asse, lasciando ai più curiosi tanti, troppi interrogativi.
Un secolo di teoria quantistica dei campi ci ha invece aiutato a comprendere che la “biglia rotante” è solo un’ approssimazione (seppur molto utile) di un concetto dietro al quale si cela praticamente tutta la struttura della nostra realtà: la relatività speciale.

La scoperta che le particelle hanno uno spin è uno dei trionfi della fisica sperimentale, ma come viene interpretato lo spin nella fisica teorica moderna?

Il principio di relatività e la simmetria di Lorentz

La fisica è fatta di fenomenologia, e tali fenomeni sono studiati dagli osservatori, che possiamo essere tutti noi. Possiamo prendere righello e compasso e tracciare la traiettoria di un corpo sulla nostra personalissima cartina di coordinate.
Un osservatore è detto inerziale se può concordare con tutti gli osservatori che si muovono con velocità costante rispetto a lui su un fatto molto semplice: un corpo esente da forze si muove di moto rettilineo uniforme.
Il punto però è che:

Non esiste un osservatore inerziale più speciale di altri

Se io uso la mia cartina di coordinate, e Pino (che si muove con velocità costante rispetto a me) usa la sua cartina di coordinate, dobbiamo concordare sulle leggi della fisica dei fenomeni che stiamo osservando, per cui deve esistere una trasformazione che colleghi le mie coordinate con le sue: una traduzione da una lingua all’altra che preservi la struttura delle leggi fisiche.

Questo è quello che ci disse Galileo con il suo principio di relatività

Due osservatori inerziali descrivono lo stesso fenomeno fisico usando le loro coordinate. La traduzione che lega i due set di coordinate si chiama “Trasformazione di Galileo” e lascia invariate in forma le leggi della fisica.

Dopodiché venne Einstein e si accorse che le trasformazioni di Galileo non lasciavano invariata la velocità della luce vista da osservatori inerziali, e siccome ciò era in conflitto con le leggi dell’elettromagnetismo, Einstein disse che la relatività di Galileo era solo un’approssimazione di un tipo di trasformazioni di coordinate molto speciale: le trasformazioni di Lorentz

Le trasformazioni di Lorentz lasciano invariata la velocità della luce vista da tutti gli osservatori inerziali dell’universo.

Esiste quindi una struttura matematica ben precisa che permette di tradurre un set di coordinate in un altro, e tale struttura matematica lascia invariate le leggi della fisica ed anche la velocità della luce: è la simmetria di Lorentz.


Le leggi di Newton non rispettano la simmetria di Lorentz, perché sono un’approssimazione che rispetta invece la simmetria di Galileo. La relatività di Einstein ci insegna quindi a teorizzare delle leggi che rispettino la simmetria di Lorentz.

La ricerca di leggi che rispettano la simmetria di Lorentz ci ha condotto a nuova fisica e risultati confermati sperimentalmente

Simmetrie e generatori: la teoria quantistica dei campi

Nella fisica ogni simmetria genera una quantità conservata, e tale quantità può essere interpretata, matematicamente, come il generatore della simmetria.

  • La simmetria per traslazioni implica la conservazione della quantità di moto. Matematicamente una traslazione nello spazio può essere generata dalla quantità di moto.
  • La simmetria per rotazioni implica la conservazione del momento angolare. Matematicamente una rotazione nello spazio può essere generata dal momento angolare.
  • La simmetria per traslazioni temporali implica la conservazione dell’energia. Matematicamente l’evoluzione temporale può essere generata dall’energia di un sistema.
  • …..

e così via.
La relatività di Einstein ha postulato che il mondo debba rispettare una simmetria molto speciale: la simmetria di Lorentz. In questo caso la quantità conservata è una sorta di combinazione tra momento angolare e quantità di moto, che diventano quindi i generatori matematici della simmetria.

Questi generatori soddisfano alcune regole di composizione matematica, e tale fatto permette di rappresentarli in alcuni spazi molti speciali di oggetti matematici. Tali oggetti possono poi essere usati per descrivere i campi delle particelle quantistiche.

Il punto è che gli oggetti che vivono negli spazi delle rappresentazioni dei generatori di simmetria, trasformano in un modo ben specifico sotto la simmetria di Lorentz: questo permette di classificarli.

Siccome i fisici classificano le cose in base a come si comportano sotto le simmetrie, questo fatto ha permesso di catalogare tutte le particelle rivelate sperimentalmente.

Lo spin

Le diverse rappresentazioni dei generatori della simmetria di Lorentz possono essere catalogati con degli speciali numeri interi o semi-interi

E sono questi numeri a decidere in che modo speciale deve trasformare l’oggetto delle rappresentazione
j-esima sotto la simmetria di Lorentz.

Il passo successivo è costruire, per ciascun oggetto che trasforma nel suo modo speciale, una teoria invariante di Lorentz: una teoria di campo i cui quanti di eccitazione sono proprio particelle che, sperimentalmente, interagiscono con il mondo proprio in base al numerino speciale j, altrimenti detto spin.

I campi costruiti con gli oggetti degli spazi j descrivono le particelle che conosciamo:

  • Le particelle con spin j=0: come il bosone di Higgs
  • Le particelle con spin j=1/2: come gli elettroni, i protoni ecc.
  • Le particelle con spin j=1: come il fotone.

Lo spin è quindi un modo per dire “come trasforma quella particella sotto simmetria di Lorentz”?

Le rappresentazioni j della simmetria continuano fino a infinito, nulla lo vieta. Tuttavia non abbiamo ancora osservato sperimentalmente particelle elementari con spin superiore a j=1.


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