Demistificando lo spaziotempo di Minkowski una volta per tutte

Sono trascorsi quasi 117 anni da quando l’umanità ha capito che la nostra realtà è meglio descritta utilizzando una struttura concettuale che lega indissolubilmente spazio e tempo: lo spaziotempo.
Siamo cioè passati da una concezione tridimensionale della nostra realtà a una concezione quadridimensionale.

Infatti, anche se non sappiamo ancora cosa siano oggettivamente spazio e tempo e quindi ne possiamo avere solo un’interpretazione che ci aiuta comunque a fare previsioni molto precise sulla realtà, sappiamo per certo che non sono due entità distinte: spazio e tempo sono malleabili, e dal punto di vista di osservatori diversi possono anche mischiarsi tra loro.

Ritengo che oggi questo argomento debba essere divulgato con la stessa semplicità e chiarezza con cui nelle scuole divulghiamo tanti altri fatti scientifici. Infatti dopo quasi 117 anni non possiamo più catalogare la Relatività Ristretta come “fisica moderna”, proprio allo stesso modo in cui Einstein nel 1905 non si riferiva alla meccanica lagrangiana del 1790 con il nome di “fisica moderna”.

Il modo migliore per spiegare la nostra comprensione dello spaziotempo è quello di fare un passo indietro e studiare come la pensavamo qualche secolo fa.

I quattro numeri della nostra realtà

Un oggetto tridimensionale della nostra realtà.

La nostra intuizione sensoriale ci suggerisce che viviamo in uno spazio tridimensionale, infatti gli oggetti hanno una lunghezza, larghezza e altezza. Per descrivere un oggetto a un’altra persona senza fargli vedere una sua fotografia possiamo misurarlo e poi dirle quanto è lungo, largo e alto: tre numeri, niente di più e niente di meno, perché tre sono le dimensioni che percepiamo dello spazio attorno a noi.

Allo stesso modo, quando vogliamo descrivere i fenomeni che accadono intorno a noi dobbiamo essere in grado di dire dove si sono verificati e in che istante di tempo. Per capirsi tutti al volo sul “dove”, sono state inventate le mappe e i sistemi di coordinate che scandiscono lo spazio intorno a noi con dei numeri ben precisi, mentre per essere tutti d’accordo sul “quando” è stato inventato l’orologio, che scandisce con altri numeri ben precisi lo scorrere di una misteriosa entità che chiamiamo “tempo”.

Un evento è per definizione l’unione tra le tre informazioni spaziali sul “dove” e la singola informazione temporale sul “quando”. Quando diciamo “alle 15:06 di ieri si è rotto il vaso nella veranda di nonna” stiamo assegnando all’evento “Rottura del vaso” le coordinate geografiche “veranda di nonna” e la coordinata temporale “ora locale 15:06″. In totale sono quattro numeri: tre spaziali e uno temporale.

In totale un evento è descritto da quattro numeri: per seguire i fenomeni che accadono intorno a noi non possiamo usare meno di quattro numeri o rischieremmo di non farci comprendere dagli altri.

Lo spazio e il tempo prima del XX secolo

In passato i fisici si fecero guidare dall’intuizione e immaginarono spazio e tempo come due entità separate. Questo perché nulla nell’esperienza di tutti i giorni ci farebbe intuire il contrario. Per quei fisici, l’immagine mentale del “tempo” è proprio la stessa che intuiamo dalla vita di tutti i giorni:

La freccia del tempo.

Il tempo è una retta infinita che si estende dall’infinito passato fino all’infinito futuro, ma che ha un’unica orientazione: scorre solo verso il futuro.

Per i fisici del passato esisteva un’unica freccia del tempo universale: ogni evento dell’universo accadeva in un preciso istante di tempo su cui potenzialmente tutti possono concordare.

Vediamo la conseguenza del ragionamento di quei fisici. Supponiamo che una persona si metta d’accordo con un astronauta prima della sua partenza e che sincronizzino i propri telefoni in modo da far partire una suoneria ogni 8 ore per il resto della loro vita. In questo modo quando l’astronauta si troverà su Marte e sentirà la suoneria del proprio telefono, saprà che in quel preciso istante di tempo il suo amico sulla Terra avrà sentito la stessa suoneria. I due amici potranno quindi definire un istante chiamato “presente”, cioè una nozione di “adesso”.
Se non vedi nulla di strano in questa conseguenza, è perfettamente comprensibile! Siamo abituati a concepire il tempo in questo modo, cioè come un’entità universale che scorre allo stesso modo per tutti, e i fisici del passato non erano comunque scemi nonostante pensassero ciò!

Il moto di una pallina in una sola dimensione può in principio essere studiato con righello e cronometro.

Spazio e tempo non sarebbero comunque granché utili se non li facessimo “cooperare” per provare a fare delle previsioni sul mondo che ci circonda.
Per studiare il moto di una pallina su un tavolo potremmo ad esempio utilizzare un righello per tracciare la sua posizione, e un cronometro per tenere traccia del tempo che passa. Così facendo, finiamo per collezionare un insieme di eventi come “pallina nel punto 2.5 cm all’istante 1.51 s” o “pallina nel punto 4.7 cm all’istante 2.05 s” che messi in successione tra loro costituiscono la traiettoria della pallina.

Usiamo una sola coordinata spaziale per semplicità: il moto si svolge su una sola dimensione spaziale..

Se sei familiare con il concetto di piano cartesiano, possiamo scegliere di rappresentare gli eventi raccolti su di esso, solo che al posto di “y” mettiamo il tempo “t” trascorso. A differenza di un piano geometrico bidimensionale, abbiamo ora davanti un piano spaziotemporale (in gergo “1+1 dimensionale“, cioè una dimensione spaziale, che è la “x”, e una dimensione temporale):

Un diagramma spazio-tempo per il moto di una pallina.

Se collezionassimo tantissimi eventi per il moto della pallina e collegassimo tutti i puntini blu con una linea continua, troveremmo quella che è nota essere la traiettoria della pallina.
Se la pallina fosse ferma in ogni istante di tempo, la sua traiettoria nello spazio-tempo sarebbe la seguente

Il grafico spazio-tempo di una pallina ferma nel punto x=2.5 cm.

Questo perché la coordinata “x“, per definizione di “fermo”, non deve cambiare nel tempo. Il tempo scorre in verticale, e la posizione rimane fissa sul punto x=2.5 cm.
Un pallina che si muove con velocità costante avrebbe invece il seguente grafico:

A parità di intervallo di tempo passato, la pallina percorre sempre porzioni uguali di spazio: la velocità è allora costante.

Potremmo anche non limitarci al moto dei corpi e usare i diagrammi spaziotempo per raccogliere tutti gli eventi della nostra realtà!

Ad esempio tutti gli eventi dello spazio che avvengono allo stesso istante di tempo si ottengono tracciando la retta parallela all’asse “x”. Questa retta è detta “linea di simultaneità

Tutti gli eventi spaziali che avvengono all’istante “t=2 s” fanno parte della linea di simultaneità in arancione.

Scorrendo con il dito lungo la retta arancione, il tempo non cambia, è sempre fisso a “t=2 s”, mentre lo spazio cambia. Stiamo esplorando tutti i punti dello spazio che esistono nel medesimo istante di tempo.

Allo stesso modo possiamo raccogliere tutti gli eventi che avvengono nello stesso punto dello spazio tracciando la retta parallela all’asse “t”, come fatto nel caso della pallina ferma.

Il punto importante da capire però è che lo spaziotempo esiste indipendentemente dal nostro diagramma cartesiano. Il diagramma con cui scegliamo di catalogare gli eventi si chiama “sistema di riferimento” ed è totalmente arbitrario. Decido io quando far iniziare il conteggio del cronometro e decido io dov’è il punto di partenza in cui mettere lo zero del righello. Nonostante ciò, il moto della pallina avviene comunque in uno spaziotempo “invisibile”, e le coordinate che uso per descriverlo non sono altro che una mia personale interpretazione con cui posso fare delle previsioni.

L’evento nello spaziotempo esiste anche se non c’è nessun sistema di riferimento che lo descrive. Lo spaziotempo esiste indipendentemente dai sistemi di riferimento.

Proprio per questo motivo, la Fisica prevede che le sue leggi si mantengano vere indipendentemente dalle coordinate di chi le sta utilizzando. Non avrebbe proprio senso se la realtà dipendesse dal tipo di righello o cronometro che uso!

Le trasformazioni di Galileo

Galileo Galilei, l’ideatore del principio di relatività.

In particolare, come studiato da Galileo, le conclusioni degli esperimenti di Fisica devono essere identiche a seconda che siano studiate su un treno che si muove a velocità costante o che stia fermo rispetto alla stazione. Muoversi a velocità esattamente costante è comunque una cosa rara, concorderai sicuramente che capita spesso di sentirsi “tirati” in una direzione o in un’altra in un viaggio in macchina, o in treno quando frena o fa una curva. In quei frangenti il moto non è a velocità costante, ma trascurandoli possiamo dire che il resto del viaggio si svolge in maniera che se oscurassi i finestrini e mascherassi il suono del motore, non saresti in grado di dire se si è fermi o in movimento. Questa è l’idea di Galileo: il principio di relatività.

Se mettiamo tre persone di tre nazionalità diverse davanti a una mela su un tavolo, ciascuna delle tre persone dirà nella propria lingua “la mela è sul tavolo”. Il fatto che la mela stia sul tavolo è un dato di fatto che non può dipendere dalla particolare lingua che si utilizza per descriverlo.
Siccome l’obbiettivo degli umani è comunicare tra loro, deve esistere una traduzione da un linguaggio all’altro che mantenga intatto il fatto oggettivo che la mela è sul tavolo.

Allo stesso modo, sistemi di riferimento in moto relativo l’uno con l’altro devono poter concordare sui fenomeni che osservano con le proprie coordinate. Deve quindi esistere una traduzione da un set di coordinate all’altro che mantenga intatto il fatto oggettivo di ciò che si manifesta nello spaziotempo.

Se il moto relativo è a velocità costante, la traduzione linguistica è particolarmente semplice e lascia inalterati tutti i risultati della Fisica: si chiama trasformazione di Galileo.

Dati due osservatori che utilizzano due piani cartesiani diversi con coordinate diverse:

Se “v” è la velocità relativa, possiamo ottenere le coordinate di uno in funzione delle coordinate dell’altro con una trasformazione di Galileo:

Una trasformazione di Galileo.

Ovviamente abbiamo assunto che i due osservatori abbiano sincronizzato i propri orologi in un certo istante di tempo precedente, ecco perché le loro coordinate temporali sono identiche: T=t.

Con questa traduzione possiamo descrivere con le coordinate dell’osservatore 2 tutti gli eventi descritti in precedenza con le coordinate dell’osservatore 1.

Una cosa concettualmente molto utile per ciò che faremo dopo è rappresentare i due sistemi di riferimento nello stesso grafico. Rispetto all’osservatore 1, gli assi dell’osservatore 2 si ottengono impostando le loro equazioni T=0 e X=0. Infatti l’asse T è anche noto come “la retta verticale tale che X=0“. Quindi possiamo ricavare l’asse T nelle coordinate (x,t) sostituendo “0” al posto di “X

Nel diagramma spazio-tempo di prima avremo quindi

Una trasformazione di Galileo da coordinate (x,t) a coordinate (X,T).

La cosa più importante da notare è che rispetto all’osservatore di coordinate (x,t), l’asse T del secondo osservatore è geometricamente inclinato: questa inclinazione rappresenta il fatto che il secondo osservatore si sta muovendo rispetto al primo con una certa velocità.

Ora studiamo un po’ come questi osservatori interpretano lo spaziotempo intorno a loro. Le linee di simultaneità sono sempre rette parallele agli assi x e X per definizione:

I punti dello spazio simultanei tra loro secondo l’osservatore (X,T) sono simultanei anche per l’osservatore (x,t). Per verificare, scorri una retta arancione con il dito e verifica che non ti stai spostando né sulla coordinata t, né sulla coordinata T.

Le trasformazioni di Galileo non toccano la simultaneità: il tempo, nella concezione galileiana e newtoniana della fisica classica, è assoluto.

Ovviamente invece il discorso cambia se consideriamo gli eventi che avvengono in un unico punto nello spazio dell’osservatore in movimento. Magari l’osservatore 2 è in auto e sta segnando sul taccuino la posizione di un suo compagno di viaggio che è fermo rispetto a lui in ogni istante di tempo. Tuttavia dal nostro punto di vista in cui osserviamo l’autostrada da un casello, quel compagno di viaggio non è fermo!


Come abbiamo fatto prima, per ottenere le rette degli eventi che avvengono nello stesso punto dello spazio tracciamo le parallele all’asse T, quindi si avrà:

Le rette degli eventi che per l’osservatore (X,T) avvengono tutti in uno specifico punto del suo sistema di riferimento.

Come puoi notare, le rette non sono verticali anche per l’osservatore fermo (x,t), proprio perché dal suo punto di vista tutti quegli eventi che sono fissi nel sistema di riferimento (X,T) si muovono alla stessa velocità di questo. Infatti le rette hanno la stessa inclinazione dell’asse T, che rappresenta, come detto, il moto dell’osservatore 2.

Il tuo occhio potrebbe ora notare un fatto interessante: dal grafico sembra che l’intervallo temporale ∆T tra i due eventi (indicato in rosso), sia maggiore dell’intervallo temporale ∆t, quando invece sappiamo che nelle trasformazioni di Galileo deve essere rigorosamente:

L’intervallo di tempo tra due eventi è un numero su cui tutti gli osservatori connessi da una trasformazione di Galileo devono sempre concordare.

Questo è un dettaglio acutissimo e che potenzialmente potrebbe generare molta confusione. Non se ne parla spesso.

La verità è che quell’asse “T” ruotato non ha la stessa scala di lettura dell’asse originale, proprio per via della rotazione! Una volta tenuto conto di questo fattore di scala, troviamo che anche se visivamente le lunghezze indicate in rosso sembrano diverse, a conti fatti risultano uguali, come ci aspettiamo.

Una dimensione spaziale in più

Ora che abbiamo macinato un po’ di percorso, aggiungiamo una dimensione spaziale in più per divertimento. Assieme alla “x” consideriamo anche la “y” per ottenere il classico, beneamato piano euclideo.
Lo spazio-tempo ha ora dimensione 2+1 (due spaziali e una temporale), e può essere visualizzato nel modo seguente:

La rappresentazione di uno spazio bidimensionale nel tempo, descritta come una sovrapposizione di copie.

Concentriamoci però solo sul piano spaziale senza considerare il tempo, o se preferisci, congeliamo un singolo istante di tempo. Il piano euclideo è proprio quello che ci ha svezzato e ci ha introdotto alla geometria piana, è quel posto magico in cui l’ipotenusa di un triangolo rettangolo è data dal teorema di Pitagora:

Tutti concordano sul teorema di Pitagora, è un fatto matematico che è indipendente dal proprio stato di moto! Se le trasformazioni di Galileo fanno quel che promettono di fare, non dovrebbero mai e poi mai alterare la lunghezza dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo! Ci aspettiamo che sia:

Le trasformazioni di Galileo lasciano invariata la geometria euclidea dello spazio.

Effettivamente è così, le trasformazioni di Galileo restituiscono il risultato corretto, lasciando intatto il teorema di Pitagora (non avrebbe proprio senso se dovesse dipendere dallo stato di moto!). Nel caso più semplice in cui il moto relativo è lungo l’asse x dell’osservatore 1 si ha:

Nota che il conto restituisce il risultato che ci aspettiamo solo se poniamo uguale a zero l’intervallo temporale “∆t” tra i due eventi spaziali che specificano i cateti del triangolo rettangolo! Questo passo è fondamentale, le lunghezze spaziali, nello spaziotempo, si calcolano per definizione a tempo fissato. Non avrebbe proprio senso dire “questo oggetto è lungo 3 cm tra gli istanti di tempo 1 e 10 secondi”: un osservatore è in grado di misurare una lunghezza spaziale nel proprio sistema di riferimento solo una volta che individua simultaneamente gli estremi dell’oggetto che vuole misurare.

Ora che abbiamo completato il riscaldamento con la relatività di Galileo, è il momento di passare al succo del discorso, ovvero il motivo per cui sei qui!

Ripensare il principio di relatività

Alla fine del XIX secolo ci si accorse che una serie di argomenti teorici e sperimentali rendevano incompatibili le leggi dell’elettromagnetismo con il principio di relatività, o meglio, con il principio di relatività mediato dalle trasformazioni di Galileo. Siccome l’elettromagnetismo era fondato su radici sperimentali solidissime, e si presumeva che il principio di relatività fosse un qualcosa di irrinunciabile per la Fisica, si spalancarono due possibilità:

  • 1) La teoria dell’elettromagnetismo è falsa e bisogna trovarne una migliore, che sia compatibile con Galileo. Il principio di relatività è irrinunciabile.
  • 2) La teoria dell’elettromagnetismo è vera. Il principio di relatività può essere abbandonato.

Fu quel giovanotto di Einstein a trovare il mix perfetto tra queste due soluzioni molto drastiche, la cosiddetta terza via:

  • 3): La teoria dell’elettromagnetismo è vera. Il principio di relatività è irrinunciabile. Le trasformazioni di Galileo però non sono le trasformazioni corrette per applicare il principio di relatività.

Einstein notò che le trasformazioni di coordinate che lasciavano invariate le leggi dell’elettromagnetismo non erano quelle di Galileo, ma le trasformazioni di Lorentz:

“c” è la velocità della luce: 300.000 km/s. È evidenziato il fattore gamma.

Queste bestiole non sono altro che le trasformazioni di Galileo con un po’ di accorgimenti in più: ad esempio compare a moltiplicare il “fattore gamma: γ” che contiene il rapporto tra la velocità relativa dei due osservatori e la velocità della luce al quadrato. La velocità della luce compare per due motivi, uno storico e uno concettuale:

  • 1): Queste trasformazioni furono trovate tra quelle possibili che lasciavano invariate le leggi elettromagnetiche tra osservatori in moto a velocità costante. Siccome la luce è un’onda elettromagnetica che si propaga nel vuoto con velocità “c”, questa compare direttamente nelle trasformazioni come fattore costante per far sì che l’equazione dell’onda rimanga appunto invariata, come vuole il principio di relatività.
  • 2): Studiando le conseguenze di queste trasformazioni si scoprì che facevano una predizione insolita: la velocità della luce è un vero e proprio limite di velocità: nessuno può raggiungerla e nessuno può superarla. È una conseguenza matematica di queste trasformazioni. (Si nota già dal fatto che il fattore gammaγ” esplode se poniamo la velocità relativa “v” uguale a “c”. Non si può dividere per zero!).
    Come tutti i limiti di velocità, deve essere uguale per ogni “automobilista”: la velocità della luce è una costante che ha lo stesso valore numerico per tutti gli osservatori che si muovono di moto relativo a velocità costante. Questo è anche un fatto rigorosamente verificato sperimentalmente.

Senza soffermarci troppo sulla matematica di queste trasformazioni, osserviamo che la prima differenza importante con quelle di Galileo è il fatto che la coordinata temporale dell’osservatore in moto relativo è ottenuta mischiando coordinate temporali e spaziali dell’osservatore iniziale!

A differenza di Galileo, non è semplicemente “T=t”, ma compare prepotentemente anche lo spazio con la coordinata “x”!


Questo fatto è assolutamente inedito, e dà i natali a una interpretazione completamente rivoluzionaria del concetto di spaziotempo!

Il tempo non è più assoluto e uguale per tutti, ma è una cosa personale per ogni osservatore dell’universo, così come sono personali le proprie coordinate spaziali. L’importante poi è riuscire a tradurre da una lingua all’altra per mettersi tutti d’accordo, ma a questo ci pensano proprio le trasformazioni di Lorentz.

Il problema dell’elettromagnetismo ci ha aiutato a capire che sono in realtà le trasformazioni di Lorentz quelle corrette da introdurre quando si parla di principio di relatività. Le trasformazioni di Lorentz si riducono a quelle di Galileo nel limite in cui la velocità relativa “v” è molto inferiore alla velocità della luce “c” (cosa che ci riguarda in particolar modo, dato che nulla nel nostro mondo viaggia a velocità prossime a 300.000 km/s, eccezion fatta per la luce e alcune particelle subatomiche).

Lo spaziotempo di Minkowski

Ricordi la questione del teorema di Pitagora discussa poco fa? Le trasformazioni di Galileo vanno molto d’accordo con la geometria euclidea dello spazio. Anche le trasformazioni di Lorentz ci vanno d’accordo, ma concentrarsi solo sulla parte spaziale è riduttivo. Si trovò che esiste una nuova quantità spaziotemporale che è lasciata invariata dalle trasformazioni di Lorentz! Tenendoci sempre in dimensioni 2+1, questa quantità è la seguente:

L’intervallo spaziotemporale lasciato invariato

Cioè se prendiamo due eventi separati da una distanza spaziale e da una distanza temporale, la quantità costruita in questo modo assume lo stesso valore per tutti gli osservatori che si muovono con velocità costante:

Questo fatto ci fa capire quanto fosse poco casuale che tempo e spazio si mischiassero nelle trasformazioni di Lorentz. Tempo e spazio si mischiano per un motivo ben preciso: fanno parte di un costrutto più grande dello spazio, lo spaziotempo! In questo spaziotempo la velocità della luce gioca un ruolo così importante da comparire addirittura nella “versione estesa del teorema di Pitagora spaziotemporale”.

L’insegnamento che ne possiamo trarre è il seguente: se lo moltiplichiamo per la velocità della luce, il tempo diventa a tutti gli effetti una nuova dimensione spaziale.

Viviamo quindi in una realtà a quattro dimensioni: tre dimensioni spaziali e una dimensione temporale. A differenza di come la pensavano qualche secolo fa, la dimensione temporale è in grado di mischiarsi con le informazioni spaziali tramite le trasformazioni di Lorentz.

Il teorema di Pitagora spaziotemporale è però particolarmente speciale, perché non possiamo ignorare che il termine temporale presenta un segno negativo!

Tempo e spazio non sono trattati allo stesso modo, c’è un segno meno di differenza!

Cambia proprio il concetto di geometria: la geometria dello spaziotempo non è più euclidea! Hai mai visto un teorema di Pitagora con una differenza al posto di una somma?
È la somma dei quadrati a rendere euclidea la geometria spaziale del teorema di Pitagora.

D’altra parte la geometria dello spaziotempo si dice essere “pseudo-euclidea“. Questo nome potrà essere figo da pronunciare, ma non dice nulla di troppo rilevante per i nostri scopi.

Una cosa ben più rilevante da esplorare invece è il diagramma spaziotempo (detto “di Minkoswki“).
Ricordi i diagrammi che abbiamo studiato nel caso di spazio-tempo classici? Quello spazio-tempo era particolarmente noioso in quanto tempo e spazio non erano in alcun modo connessi reciprocamente da trasformazioni di coordinate rilevanti per la Fisica. Ora si son mischiate un po’ le carte, quindi vediamo cosa bolle in pentola.

Consideriamo di nuovo due osservatori in moto relativo l’uno rispetto all’altro con velocità costante, ed esattamente come prima rappresentiamo i loro sistemi di riferimento in un unico grafico spaziotempo.

Per fare ciò dobbiamo trovare le equazioni degli assi T e X del secondo osservatore in funzione delle coordinate del primo! Con un procedimento identico a prima troviamo le seguenti rette:

Il risultato del mixing tra coordinate spaziali e temporali cambia completamente le regole del gioco: nel caso di Galileo avevamo che solo l’asse temporale dell’osservatore appariva ruotato nello spazio-tempo dell’osservatore fermo. Ora abbiamo una rotazione di entrambi gli assi!

Un diagramma di Minkowski.
Nota che gli assi temporali sono moltiplicati per la velocità della luce.
Come suggeritoci dal “teorema di Pitagora dello spaziotempo”, la dimensione temporale deve comparire moltiplicata per la velocità della luce.

Questo fatto ha delle implicazioni senza precedenti, perché se ora andiamo a chiederci, come fatto prima, quali siano le rette di simultaneità per l’osservatore in movimento, dovremo tracciare nuovamente la parallela all’asse X:

Eventi che giacciono sulle rette di simultaneità, come si vede, sono separati da un intervallo temporale ∆t non nullo per l’altro osservatore.

Il fatto che le rette di simultaneità non siano parallele all’asse “x” del primo osservatore implica che:

Eventi simultanei per un osservatore in moto possono non essere simultanei per un altro osservatore

La simultaneità di due eventi è relativa a chi osserva gli eventi! Se io osservo due eventi A e B accadere allo stesso istante di tempo sul mio orologio, un osservatore che si muove rispetto a me potrebbe veder succedere A prima o dopo B.

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Questo fatto dipende dalla velocità della luce: la velocità della luce è una costante per tutti gli osservatori, e siccome le informazioni sugli eventi possono arrivarci al massimo alla velocità della luce (noi “vediamo” il mondo intorno a noi proprio grazie alla luce) l’unico modo in cui il moto relativo dell’osservatore riesce a non influenzare questi due fatti è proprio mettendo mano alla coordinata temporale.
Concettualmente, è come se la coordinata temporale si fosse “sacrificata” per preservare la velocità della luce.

Ricordi quegli astronauti che sincronizzavano i loro telefoni, convinti di poter definire un unico istante comune di “simultaneità” anche se distanti? Nel contesto dello spaziotempo di Minkowski ha poco senso: non esiste una retta di simultaneità degli eventi comune a tutti gli osservatori!

Se pensi che ciò sia la cosa più strabiliante di tutta questa faccenda, ti consiglio di continuare a leggere la prossima!

Dilatazione temporale

Consideriamo un evento che avviene in una singola posizione spaziale per l’osservatore in moto, e che la durata da lui registrata sia ∆T. Indicando con dei pallini il momento iniziale e il momento finale dell’evento, questi giace sulla retta degli eventi che avvengono in quella posizione, che ricordiamo, si ottiene tracciando la parallela all’asse T.

La durata ∆T dell’evento è indicata dalla striscia rossa sull’asse T. Come si vede graficamente, la durata dell’evento è indicata in rosso anche dal punto di vista dell’osservatore fermo. Secondo le trasformazioni di Galileo avremmo dovuto avere “∆T=∆t“: cioè la durata temporale dell’evento deve essere una cosa su cui è possibile concordare indipendentemente dal proprio stato di moto.

La trasformazione di Lorentz per la coordinata temporale ha tutta l’aria di promettere un po’ meno. Anzi, promette discordia tra gli osservatori a seconda del loro stato di moto.

Quanto è durato lo stesso evento secondo l’osservatore fermo? Per scoprirlo facciamo ricorso al teorema di Pitagora pseudo-euclideo, ovvero l’unica quantità su cui i due osservatori possono concordare di certo.
Consideriamo un’unica dimensione spaziale e ipotizziamo che il moto relativo si svolga sull’asse “x” del primo osservatore.
Per l’osservatore in moto l’evento avviene in un unico punto dello spazio, cioè la sua posizione non cambia, quindi si ha ∆X=0.:

Qui stiamo indicando con ∆t e ∆x la durata e la variazione in posizione dell’evento dal punto di vista dell’osservatore fermo, il quale evidentemente vedrà l’evento muoversi alla stessa velocità dell’osservatore in moto. Non ci resta che eguagliare le due espressioni per l’invarianza di Lorentz citata prima:

Abbiamo l’obbiettivo di isolare ∆t per capire quanto dura l’evento dal punto di vista dell’osservatore fermo. A tale scopo raccogliamo

Siccome l’evento in questione si sposta alla stessa velocità dell’osservatore in moto, chiamiamo proprio “v” il rapporto tra spazio percorso e l’intervallo di durata, dove “v” è proprio la velocità relativa dell’osservatore in moto. A questo punto ricaviamo ∆t dividendo tutto per quella quantità e calcolando la radice quadrata di entrambi i membri

E questa è una delle formule più famose nella storia della Fisica: la dilatazione temporale. La durata di un evento dal punto di vista di un osservatore che vede l’evento muoversi rispetto a lui è sempre maggiore della durata calcolata nel sistema di riferimento solidale a dove l’evento è avvenuto. Perché maggiore? Proprio perché ∆T, qualunque esso sia, è diviso per una quantità che è sempre minore di 1, quindi questa divisione produce un numero più grande di ∆T.

È questa forse la conseguenza più difficile da accettare sullo spaziotempo della nostra realtà, nonostante sia stata verificata sperimentalmente innumerevoli volte nell’ultimo secolo. La durata temporale degli eventi dipende dallo stato di moto dell’osservatore. Lo spaziotempo di Minkowski non è solo un’utile rappresentazione di quello che succede quando usiamo le trasformazioni di Lorentz, ma anche un’ottima intuizione su quale sia la vera natura della nostra realtà.

Ok forse questo è stato più un capitolo di un libro piuttosto che un articolo del blog, ma volevo essere davvero sicuro che ogni pezzo del puzzle del ragionamento cascasse al posto giusto. In futuro parlerò ancora di spaziotempo, quindi userò questo articolo come utile referenza per chi ne avesse bisogno.


PS. ho scritto un libro di testo che rappresenta proprio ciò che avrei desiderato leggere all’inizio dei miei studi di Fisica teorica, per renderla accessibile agli amatori e insegnare le tecniche matematiche necessarie a una sua comprensione universitaria. Si chiama “L’apprendista teorico” , dai un’occhiata per vedere di cosa si tratta. Il libro è acquistabile su Amazon.

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Il Teorema “CPT”, o il motivo per cui un anti-universo sarebbe indistinguibile dal nostro

Ci sono pochi argomenti che fanno da musa ispiratrice sia per i fisici teorici che per i fisici sperimentali. Le simmetrie discrete rappresentano una guida importantissima con cui interpretiamo i risultati sperimentali e con cui strutturiamo la forma matematica delle teorie, perché hanno la capacità di predire “cosa è concesso e cosa è vietato”.

  • Vuoi osservare il decadimento di una particella e non sai quali proprietà aspettarti dai suoi prodotti di decadimento? Argomenti di simmetria scarteranno alcune tra le varie possibilità, permettendoti di focalizzare le tue misure su altre proprietà.
  • Vuoi scrivere una teoria che descrive l’interazione nucleare? Sappi che gli esperimenti non hanno mai osservato la violazione di una certa simmetria “A”, quindi assicurati che le tue equazioni abbiano la stessa simmetria!

Quando diciamo “il sistema ha una simmetria” dobbiamo prima specificare rispetto a quale trasformazione. Infatti una simmetria è sempre preceduta da una trasformazione, altrimenti dire “simmetria” perde ogni significato. (Per un’introduzione al concetto di simmetria rimando a un precedente articolo).

Non tutte le trasformazioni sono una simmetria di un certo sistema. Ciò non è un problema: in ogni caso abbiamo scoperto che è molto comodo catalogare gli oggetti in base al loro comportamento sotto determinate trasformazioni.
Ad esempio la freccia in figura possiamo chiamarla “generica freccia bianca con punta a destra”

Potremmo decidere arbitrariamente di studiare il comportamento di questa freccia sotto alcune trasformazioni interessanti: ad esempio la trasformazione “inversione speculare” trasforma la freccia in quest’altra:

L’oggetto ottenuto non è lo stesso di prima, ora la freccia ha la punta verso sinistra: diremo che “la riflessione speculare non è una sua simmetria della freccia”. Pazienza! Non tutto può essere simmetrico.
Abbiamo comunque imparato qualcosa di nuovo: possiamo dare un nuovo nome a questo sistema: tipo “freccia bianca che sotto riflessione va nel suo opposto“. Questo modo di chiamare un oggetto in base a come si comporta sotto una trasformazione è ciò che facciamo per catalogare le particelle e le interazioni fondamentali del Modello Standard.

Il Modello Standard è caratterizzato da tre simmetrie fondamentali: la simmetria di Lorentz (le leggi della Fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali, o in altri termini, sono simmetriche sotto una trasformazione di Lorentz), la simmetria di gauge (gli oggetti matematici della Fisica presentano più variabili di quelle fisicamente necessarie), e la simmetria CPT. Le prime due sono abbastanza astratte rispetto all’ultima, su cui ci concentriamo oggi.

La simmetria “CPT” evidenzia un fatto importantissimo della nostra realtà: le leggi della Fisica rimangono inalterate se applichiamo tutte e tre le seguenti trasformazioni:

  • Inversione spaziale “P”
  • Inversione di carica “C”
  • Inversione temporale “T”

Le trasformazioni P, C, T sono chiamate in gergo “simmetrie discrete”. Svisceriamole una ad una.

La simmetria P: inversione spaziale

L’inversione spaziale, altrimenti nota come “trasformazione di parità” consiste nell’invertire tutte e tre le direzioni spaziali: le coordinate cartesiane (x,y,z) vengono mandate in (-x,-y,-z).
Per visualizzare meglio questa trasformazione, considera una freccia in tre dimensioni, ad esempio dotata di un certo spessore, una punta e due facce rettangolari. Chiamiamo “A” e “B” le due facce di questa freccia.

Le due facce “A” e “B” della stessa freccia.

Visualizziamo la freccia in una certa posizione iniziale, ad esempio disponiamola con la faccia “A” rivolta verso di noi (quindi la faccia “B” è rivolta verso la pagina di questo articolo), e la punta è rivolta verso destra.
Per ottenere una trasformazione di parità eseguiamo due step: anzitutto ruotiamo di 180 gradi la freccia attorno alla direzione della sua punta ed infine invertiamo la punta. Infatti così facendo abbiamo mandato la faccia “A” nel suo opposto (cioè la faccia B), poi abbiamo invertito il basso con l’alto, ed infine abbiamo invertito la destra con la sinistra. Gli step sono illustrati in figura

Una trasformazione di parità della freccia. Dall’alto verso il basso: la freccia nella sua posizione iniziale, la freccia dopo una rotazione di 180 gradi attorno alla direzione della sua punta, e poi l’inversione della punta nell’ultimo step.

Nota bene, una trasformazione di parità è ben diversa da una trasformazione “speculare”. Non è come vedere la freccia davanti a uno specchio!

Una trasformazione speculare della freccia.

Spesso invece capita di sentire che l’inversione spaziale corrisponde a “vedere l’universo attraverso uno specchio”, come mai questa inesattezza?
Immagina per un attimo se la freccia avesse due facce uguali e non ci fosse modo di distinguere il basso dall’alto, in quel caso la riflessione speculare e la trasformazione di parità coincidono!

Questo perché la freccia iniziale era simmetrica sotto una rotazione di 180 gradi rispetto alla direzione della punta (quindi il primo step della trasformazione di parità la lascia invariata). Moltissimi sistemi fisici di interesse godono di una simmetria sotto rotazioni attorno a una certa direzione, per cui non è così scorretto dire che l’inversione spaziale “coincide” con l’osservare l’universo allo specchio.

"Però mi sfugge cosa c'entri con la Fisica tutto questo discorso sull'inversione dello spazio. Cosa gliene frega alle particelle se prendo gli assi cartesiani in un verso o nell'altro?" 

Magari non è immediato vederlo, ma la connessione è piuttosto profonda e ha a che fare con le interazioni fondamentali.

In particolare ha a che fare con il modo con cui scriviamo le teorie della Fisica.
Se le evidenze sperimentali suggeriscono ad esempio che un processo ha la stessa probabilità di avvenire in una direzione rispetto alla direzione opposta, allora sarà meglio che la teoria sia simmetrica sotto una trasformazione di parità dal punto di vista matematico! Lo schema di queste ragionamento è il seguente:

Per fare un esempio consideriamo la teoria di Dirac per un fermione di massa m. Nella teoria il termine di massa è scritto accoppiando i campi ψ del fermione nel seguente modo:

La trasformazione di parità dei campi fermionici si ottiene moltiplicandoli per una matrice detta “di Dirac”: γ0

Trasformazione di parità per i campi fermionici. La matrice di Dirac è caratterizzata dall’equazione (γ0)2 =1, cioè il suo quadrato è uguale all’identità.

A questo punto mostriamo che il termine di massa della teoria di Dirac è invariante sotto parità:

La trasformazione di parità dei campi fermionici lascia invariato il termine di massa grazie al fatto che 0)2 =1. La teoria di Dirac è costruita in modo da essere invariante sotto parità (ciò era suggerito dagli esperimenti).

In teoria nulla garantisce che le leggi della Natura siano invarianti sotto inversione spaziale, è una nostra assunzione ragionevole, confermata dalla maggior parte dei risultati sperimentali e per la maggior parte delle interazioni fondamentali.
Negli anni 50′, con grossa sorpresa, si scoprì che la nostra assunzione non corrispondeva alla realtà.

L’interazione debole e la violazione della parità

È arcinota l’importanza dei vettori nella Fisica. Siccome i vettori sono quantità riferite agli assi cartesiani, invertire gli assi con una trasformazione di parità invertirà anche i vettori.
Un vettore r verrà mandato nel suo opposto –r in seguito a una trasformazione di parità. Se però consideriamo il prodotto di due vettori, ad esempio come il momento angolare L=rxp , sotto una trasformazione di parità si ha

I segni meno si cancellano e il momento angolare rimane uguale a se stesso, non si inverte.

Un giroscopio davanti a uno specchio. L’asse di rotazione del giroscopio è perpendicolare alla superficie dello specchio: il verso di rotazione rimane inalterato nella riflessione.

Ciò si capisce intuitivamente se pensiamo a un sistema invariante sotto rotazioni e caratterizzato da un asse di rotazione, come un giroscopio. Per questo oggetto la trasformazione di parità equivale alla riflessione speculare (come precisato sopra). Se mettiamo un giroscopio rotante davanti allo specchio, il suo verso di rotazione non viene invertito: se gira in senso orario nel “nostro mondo”, continuerà a girare in verso orario anche nello specchio.

Fatta questa premessa, consideriamo uno degli esperimenti cruciali nella Fisica delle particelle: l’esperimento di Wu (1956).
Nell’esperimento di Wu si considerò un particolare decadimento nucleare del Cobalto-60, che provocava l’emissione di elettroni e antineutrini.
Tramite l’accensione di un campo magnetico, il team di Wu orientò gli spin dei nuclei di Cobalto in una direzione privilegiata, proprio come si farebbe con degli aghi magnetici. Per la conservazione del momento angolare, gli spin dell’elettrone e dell’antineutrino emessi dovevano avere lo stesso orientamento spaziale degli spin dei nuclei di Cobalto.
L’obbiettivo dell’esperimento era di seguire le traiettorie degli elettroni e vedere quale direzione prendessero rispetto allo spin del nucleo decaduto. Dopo un po’ di raccolta dati, si scoprì che gli elettroni avevano una direzione preferita di emissione: opposta allo spin nucleare. L’informazione raccolta sulla Fisica del problema era l’osservazione sperimentale: “la direzione preferita di emissione da parte degli elettroni è quella opposta allo spin del nucleo.”

Di primo acchito questa osservazione non sembra presentare nulla di problematico. Consideriamo però una trasformazione di parità: lo spin nucleare (essendo analogo a un momento angolare) viene mandato in se stesso come abbiamo visto, ma la direzione di moto degli elettroni viene invertita. Quindi in un mondo speculare (con asse di riflessione coincidente con quello dello spin) la conclusione dell’esperimento è che la direzione di emissione preferita da parte degli elettroni è quella concorde allo spin del nucleo.

Sotto una trasformazione di parità le conclusioni sperimentali sono diverse, in netta contrapposizione l’una con l’altra! Per la prima volta nella storia della Fisica una conclusione sperimentale è modificata da una trasformazione di parità, cioè la parità NON è una simmetria del sistema!

Perché la parità potesse essere una simmetria del sistema, ci saremmo aspettati tanti elettroni emessi nella direzione dello spin nucleare, quanti emessi nella direzione opposta. Ciò non è quello che si osserva, per cui siamo portati alla conclusione che la parità non è una simmetria fondamentale della natura, nonostante sia una simmetria delle forze nucleari e delle forze elettromagnetiche.

Interpretazione dell’esperimento di Wu

L’interpretazione dell’esperimento fu la seguente: esiste un’interazione fondamentale capace di far decadere un nucleo emettendo elettroni e antineutrini (oggi nota come interazione debole) che non è simmetrica rispetto a una trasformazione di parità. La parità NON è più una simmetria fondamentale della Natura.
L’universo visto allo specchio ha un comportamento diverso se si considerano i decadimenti deboli di alcuni nuclei. Questa distinzione fu abbastanza sconcertante e i fisici dell’epoca rimasero piuttosto sorpresi.

La simmetria C: inversione di carica

La trasformazione matematica di un elettrone in un positrone.

Una trasformazione di inversione di carica viene effettuata sulle funzioni d’onda che descrivono le particelle.
Le funzioni d’onda possono essere caratterizzate da numeri quantici come: carica elettrica, numero leptonico, numero barionico e numero leptonico di sapore.
L’inversione di carica, come suggerito dal nome, inverte tutti questi numeri quantici: non solo la carica elettrica, ma anche numero leptonico, numero barionico e sapore!


Ad esempio l’inversione di carica su un elettrone lo trasforma in un positrone (cioè una particella con stessa massa, ma carica elettrica opposta e numero leptonico opposto). Quindi effettivamente l’inversione di carica trasforma una particella nella sua anti-particella (per un resoconto su come siamo arrivati a teorizzare le antiparticelle rimando a un precedente articolo).

D’altra parte, una particella senza carica elettrica e senza altri numeri quantici (come il fotone) viene mandato in se stesso da questa trasformazione: il fotone è l’antiparticella di se stesso.

Per la maggior parte dei processi fisici, l’inversione di carica C è una simmetria: potremmo sostituire tutte le particelle del processo con le rispettive antiparticelle e il processo rimarrebbe lo stesso (stesse previsioni teoriche e stessi risultati sperimentali).
Ancora una volta fa eccezione l’interazione debole: per questa interazione entrambe le trasformazioni P e CP (combinazione di C e P) non sono una simmetria. Si pensa che questo fatto sia la risposta al quesito: perché il nostro universo è composto per la maggior parte da materia rispetto ad antimateria? In qualche momento dopo il big bang ci fu una maggior produzione di materia forse proprio grazie al fatto che l’interazione debole presenta questa asimmetria nel trattare particelle e antiparticelle.

La simmetria T: inversione temporale

L’ultima trasformazione discreta è l’inversione temporale: si inverte il tempo nelle equazioni della Fisica. L’inversione del tempo agisce su tutte quelle quantità in cui il tempo compare, ad esempio la quantità di moto (contenendo la velocità definita come il rapporto tra spazio e tempo) acquista un segno negativo sotto inversione temporale: p va in –p. Il momento angolare acquista un segno negativo anche lui, dato che L=rxp e r va in se stesso, ma p va in –p, quindi rx(-p)=-L.

Di nuovo, la maggior parte delle teorie fisiche rimane inalterata sotto inversione temporale, ad eccezione della solita guastafeste: l’interazione debole!

Ciò non sconforta ormai più di tanto, dato che le eventuali simmetrie sotto C,P e T separatamente non hanno motivo di esistere se non per la nostra soddisfazione personale.
Esiste un’unica simmetria che però deve essere rispettata affinché non crolli tutto il palazzo della Fisica Teorica, ed infatti esiste un Teorema che lo dimostra precisamente. Questa simmetria è la combinazione simultanea di C, P e T: la simmetria CPT.

Il Teorema CPT

Il Teorema CPT discende dall’unione tra meccanica quantistica e relatività ristretta, nel contesto della teoria quantistica dei campi. La sua dimostrazione dipende fortemente da tutto ciò che sappiamo essere verificato sperimentalmente sulla meccanica quantistica e sulla relatività ristretta. TUTTE le leggi della Natura sono invarianti se applichiamo successivamente: un’inversione di tutte le coordinate spaziali, un’inversione della carica di tutte le particelle (cioè la trasformazione di tutte le particelle in antiparticelle) e l’inversione temporale dei processi fisici.

Stiamo dicendo che non è possibile distinguere un esperimento di Fisica condotto in un anti-universo composto da anti-particelle, studiate con coordinate spaziali invertite e con i processi che avvengono al contrario nel tempo.

Se ti interessa la Fisica, iscriviti alla newsletter mensile! Ho pensato di scrivere una guida-concettuale di orientamento per aiutarti a capire da dove studiare.

Per capire il significato del teorema, dobbiamo ricollegarci all’interpretazione di Feynman-Stückelberg sulle antiparticelle, come discusso in un articolo precedente. Un’antiparticella può essere interpretata come una particella che si muove “indietro nel tempo”.

Siccome la trasformazione combinata “CP” trasforma tutte le particelle in anti-particelle e inverte le coordinate spaziali (in modo da farle muovere “all’indietro” rispetto alle coordinate originali), se applichiamo un’ulteriore trasformazione “T” di inversione temporale stiamo facendo muovere queste antiparticelle all’indietro nel tempo e in una direzione spaziale opposta alle coordinate originali. Tradotto: siamo ritornati punto e a capo, e cioè all’universo originale. Quindi, se operiamo un’ulteriore trasformazione di inversione temporale “T”, l’anti-universo ottenuto con la trasformazione “CP” può essere reso indistinguibile dall’universo iniziale.

La violazione di CP e T, ma non di CPT

Sottolineiamo: la simmetria sempre conservata è la combinazione simultanea CPT, ma ciascuna delle trasformazioni separate C, P o T può comunque non essere una simmetria delle teorie fisiche.

Abbiamo visto che l’interazione debole viola la simmetria P. Sappi che viola anche la simmetria CP, cioè la combinazione simultanea di C e P ( è stato verificato sperimentalmente). Questo fatto mise in grave allarme i fisici dell’epoca, perché la simmetria CPT era quindi in pericolo, e assieme a lei tutta la struttura matematica della teoria quantistica dei campi.

Grazie all’interpretazione di Feynman-Stückelberg sappiamo che, se CP è violata, allora l’unico modo per avere simmetria CPT è che anche T sia violata. Un po’ come dire: se voglio ottenere +1 dal prodotto di due numeri, dovranno essere entrambi negativi in modo che si cancelli il segno “-“, in questo modo (-1)(-1)=+1. Fisicamente corrisponde a dire:

Analogia tra la violazione delle simmetrie e la moltiplicazione tra numeri negativi.

I risultati sperimentali odierni sembrano confermare che la simmetria T sia violata, quindi la CPT dovrebbe essere salva, assieme a tutto il castello della Fisica Teorica.


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Matteo Parriciatu
Matteo Parriciatu

Dopo aver conseguito la laurea in Fisica nel 2020, studia Fisica Teorica all’Università di Pisa specializzandosi in simmetrie di sapore dei neutrini, teorie oltre il Modello Standard e interessandosi di Relatività Generale.
È autore del libro “L’apprendista teorico” (2021).

[Immagine di copertina: Kelly Sikkema]

Il neutrino: la particella che non dovremmo conoscere

Tutte le particelle note del nostro universo sono state da noi classificate con alcune proprietà che a nostro giudizio sono le più interessanti: la carica elettrica, la massa e lo spin.
Per studiare queste proprietà è di vitale importanza osservare il comportamento delle particelle nelle interazioni con il mondo, in particolare ci si concentra su:

  • Come interagiscono con un campo elettromagnetico: questo al fine di stimare la loro carica elettrica e la loro massa.
  • Come interagiscono con le altre particelle di un materiale noto: questo al fine di capire il particolare meccanismo di forza a cui la particella è sensibile.

Per il neutrone, elettrone, protone e tante altre particelle, questi metodi ci hanno permesso di avere delle stime molto accurate sulla loro carica elettrica, massa e spin.
Ad esempio neutrone e protone hanno quasi la stessa massa, ma il primo è neutro elettricamente: quindi il neutrone non è sensibile alla forza elettromagnetica, percepisce solo la forza forte e la forza debole (per una rapida infarinatura sulle interazioni fondamentali consulta un articolo recente cliccando qui). Il protone invece è sensibile a tutte le forze fondamentali della natura. L’elettrone non è sensibile alla forza forte, ma lo è alla forza elettromagnetica e debole. Il modo che abbiamo per scoprirlo è utilizzando i due metodi esposti sopra.

Il modo in cui studiamo le interazioni: un proiettile di particelle viene mandato contro un bersaglio. Dopo aver interagito con il bersaglio, le particelle vengono rivelate con un rivelatore. Grazie a calcoli teorici, si può capire che tipo di interazione hanno fatto le particelle nel materiale, ad esempio in base all’angolo di uscita.

Tra tutta la zoologia di particelle, il neutrino è senza dubbio la più seccante.

Immagina se dovessimo studiare le proprietà di una particella che risponde molto male ai nostri metodi di indagine. Una bella gatta da pelare! Una particella parecchio seccante è proprio il neutrino: il primo metodo è inefficace in quanto il neutrino è neutro, mentre il secondo metodo è frustrante in quanto il neutrino interagisce pochissimo con la materia che lo circonda:

In media, un neutrino interagisce una sola volta dopo aver percorso 100 miliardi di volte un diametro terrestre.

In sintesi: il neutrino si comporta come un fantasma in grado di attraversare i muri: non c’è peggior comportamento che una particella possa avere, se il fine è quello di studiare come interagisce!

“Siamo sicuri che questo neutrino esista? Come fanno i fisici a studiare una cosa che non si lascia studiare e poi affermare che esiste con certezza?"

Questo è l’aspetto più frustrante: non possiamo fare a meno del neutrino: per una giustificazione storica dell’esistenza del neutrino clicca su questo articolo. I neutrini sono stati scoperti sperimentalmente e vengono studiati con cura dagli anni ’50, questo perché sono state impiegate sorgenti che emettono grandi quantità di neutrini: in questo modo si contrasta la scarsa probabilità di interazione con l’enorme numero di proiettili. È la stessa filosofia di comprare un centinaio di “gratta e vinci” per aumentare le chances di pescarne almeno uno vincente.

I neutrini interagiscono così poco perché sono sensibili (per quanto ne sappiamo oggi) a un solo tipo di interazione che sfortunatamente è la più debole di tutte (alle energie tipiche degli sperimenti), non per niente si chiama “forza debole“.
Ora devi sapere che dal punto di vista della relatività speciale (leggi qui e qui) ogni particella di spin 1/2 può partecipare alle interazioni in due configurazioni possibili: con il proprio spin orientato come la quantità di moto, o con lo spin orientato in direzione opposta. Il primo modo si dice destrorso, il secondo modo si dice sinistrorso.
Non esiste nessun motivo teorico per cui la configurazione destrorsa debba essere favorita rispetto alla sinistrorsa, eppure per qualche mistero l’interazione debole accoppia le particelle solo nella loro configurazione sinistrorsa (questo fatto si chiama “violazione della simmetria di parità spaziale”).

Il mistero della massa

Siccome i neutrini interagiscono solo con l’interazione debole, essi hanno di fatto un’unica configurazione che possiamo studiare sperimentalmente: quella sinistrorsa. Questo fa sorgere un dubbio dato che, come spiegato brevemente qui, una particella massiva avente lo stesso spin del neutrino dovrebbe invece manifestarsi con entrambe le configurazioni, per questione di relatività.
Se i neutrini si manifestano solo con una delle due configurazioni, potrebbero non avere massa?

Questo sospetto andava a braccetto con i dati sperimentali sulla massa del neutrino: dagli esperimenti sul decadimento beta nucleare (spiegato brevemente qui) si osservava che la massa doveva essere piccolissima, almeno un milione di volte più piccola anche di quella dell’elettrone. Se poggio e buca fa pari, i neutrini dovevano allora avere massa esattamente uguale a zero!

Invece i neutrini si sono rivelati ancora una volta una spina nel fianco, perché nel 1998 furono osservate le oscillazioni dei neutrini.
Devi sapere infatti che di neutrini ne esistono ben tre specie (sono chiamati sapori leptonici): “e, μ, τ”. Siccome si pensava che i neutrini non avessero massa, questi sapori erano ben distinti l’uno dall’altro. Nelle oscillazioni accade proprio il contrario: un neutrino può cambiare sapore con una certa probabilità, e la grande notizia è che ciò può avvenire solo se la massa del neutrino è diversa da zero!

Un neutrino può cambiare sapore con una certa probabilità dovuta alla sovrapposizione quantistica degli stati.

D’accordo, i neutrini hanno massa, ma per via degli esperimenti sul decadimento beta nucleare sappiamo che questa massa deve essere piccolissima, e dunque molto difficile da misurare (in un mondo di particelle molto più massive è difficile misurare una massa piccola). Gli esperimenti sulle oscillazioni dei neutrini evidenziano che una massa c’è, ma non ci dicono quanto vale. A dire il vero ci dicono solo quanto vale la differenza tra i quadrati delle masse. Infatti la notizia interessante è che le masse dei tre neutrini non sono identiche, anche se la differenza dei quadrati è comunque un numero molto piccolo.

Cosa potremmo desiderare di più? Siamo di fronte a particelle neutre, che interagiscono in un solo modo e pure molto debolmente, di cui non sappiamo precisamente nemmeno la massa. Inoltre queste non sono particelle rare: si stima che in ogni centimetro cubo della nostra vita ci siano almeno 300 neutrini! Sono la seconda particella più abbondante nell’universo dopo il fotone!

Il vero motivo per cui i neutrini sono frustranti

Tutte queste difficoltà della Fisica dei neutrini non sarebbero così tragiche se questi fossero particelle noiose e poco importanti. Il problema è che è vero il contrario: i neutrini prendono parte ad alcuni dei processi più importanti della storia dell’universo, dalle teorie cosmologiche fino al meccanismo di funzionamento delle Stelle, e nel fare ciò mettono a nudo la nostra ignoranza residua sul Modello Standard attuale.

Perché la forza debole viola la simmetria di parità? Perché i neutrini sono così leggeri rispetto alle altre particelle elementari? Perché i neutrini sono le uniche particelle elementari neutre? I neutrini possono coincidere con la propria antiparticella? E se sì, i neutrini possono spiegare la iniziale asimmetria tra materia e antimateria negli istanti dopo il Big Bang?

È un po’ come se queste particelle celassero la chiave per aprire le porte a una nuova teoria oltre il Modello Standard, e per via di ciò, ci fosse “reso” molto difficile lavorare con loro. In un certo senso è quasi come se l’universo cercasse di ostacolare il nostro percorso, quasi come se non dovessimo proprio sapere dell’esistenza di queste particelle, le più eccitanti della Fisica moderna.


PS. ho scritto un libro di testo che rappresenta proprio ciò che avrei desiderato leggere all’inizio dei miei studi di Fisica teorica, per renderla accessibile agli amatori e insegnare le tecniche matematiche necessarie a una sua comprensione universitaria. Si chiama “L’apprendista teorico” , dai un’occhiata per vedere di cosa si tratta. Il libro è acquistabile su Amazon.

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L’anatomia dell’equazione di Dirac

Paul A. M. Dirac, 1902-1984

In un precedente articolo abbiamo parlato della genesi dell’equazione di Dirac. Ora però mettiamo le mani nella marmellata ed eseguiamo una vera e propria dissezione dell’equazione, in ogni suo elemento chiave.

Cosa contiene

Partiamo dal capire cosa c’è dentro. Abbiamo di fronte a noi cinque simboli diversi, ciascuno con un ruolo ben preciso. Procediamo da sinistra verso destra

  • La “i”, altrimenti nota come unità immaginaria.
    Cosa è?: È un numero, proprio come anche 2 è un numero, o 13.4. L’unica differenza è che “i” ha delle proprietà speciali, infatti è l’unico numero che moltiplicato algebricamente per se stesso è capace di dare come risultato un numero negativo, cioè i2 = −1.
    Perché è presente nell’equazione?: la meccanica quantistica prevede l’utilizzo delle unità immaginarie al fine di semplificare la scrittura delle equazioni più importanti. I fisici sono pigri e preferiscono usare la notazione più comoda e diretta possibile. I “numeri complessi“ garantiscono comodità logistica. Nulla di più, nulla di meno.
  • “La matrice γμ “, nota come matrice di Dirac.
    Cosa è?: È una matrice, cioè un oggetto matematico che ha il compito di trasformare altri oggetti formati da più componenti. La trasformazione ha l’effetto di mischiare queste componenti secondo una particolare ricetta contenuta nella struttura matematica della matrice. In questo caso l’oggetto da trasformare è la funzione d’onda ψ, che nella teoria di Dirac è formata da 4 componenti.
    Perché è presente nell’equazione?: come discusso nel precedente articolo sulla genesi, le γμ sono presenti al fine di garantire la covarianza dell’equazione sotto le trasformazioni relativistiche di Einstein. (Per saperne di più sul concetto di covarianza clicca qui).
  • “La derivata parziale ∂μ” , scritta in un formato criptico e riassuntivo.
    Cosa è?: è un operatore, cioè trasforma gli oggetti proprio come una matrice, ma in aggiunta ha anche il compito di calcolare la variazione dell’oggetto in una specifica direzione dello spazio-tempo. Le direzioni dello spaziotempo sono specificate dall’indice μ=0,1,2,3 in cui μ=0 è la direzione temporale, e μ=1,2,3 sono le tre direzioni cartesiane x,y,z a cui siamo abituati.
    Perché è presente nell’equazione?: In fisica studiamo i sistemi chiedendoci come variano sotto certi stimoli. Le variazioni sono calcolate con le derivate. Le equazioni chiave della fisica sono chiamate “equazioni differenziali” perché contengono le derivate delle soluzioni che vogliamo trovare, cioè hanno il compito di descrivere l’evoluzione di un sistema chiedendoci: “sai trovare quella funzione soluzione ψ che quando varia in un certo modo descritto dall’equazione differenziale ci dà questo risultato?”. La risposta a questa domanda, matematicamente, fornisce la soluzione che permette di fare previsioni teoriche da verificare sperimentalmente.
  • “La massa m”.
    Cosa è?: è la massa della particella descritta dalla soluzione ψ.
    Perché è presente nell’equazione?: come spiegato nella genesi dell’equazione, l’equazione di Dirac è stata ricavata modellando l’equazione di Schrödinger e adattandola al caso relativistico. In tal caso l’energia di una particella ferma è proporzionale alla sua massa, come evidenziato da E=mc2: questa massa deve quindi comparire esplicitamente nell’equazione differenziale relativistica (perché l’equazione di Schrödinger coinvolge proprio l’energia della particella).
  • “La funzione d’onda ψ“, altrimenti nota come spinore di Dirac.
    Cosa è?: dal punto di vista quantistico rappresenta quella quantità matematica il cui modulo al quadrato rappresenta la densità di probabilità di trovare la particella in un certo punto dello spazio. Dal punto di vista della teoria dei campi rappresenta il campo della particella di massa m, distribuito nello spaziotempo. Le eccitazioni di questo campo vengono interpretate come la particella stessa.
    Perché è presente nell’equazione?: per trovare l’espressione matematica del campo ψ, occorre capire come si comporta quando si calcola una sua variazione. Questo è il metodo delle equazioni differenziali, e l’equazione di Dirac è un’equazione differenziale. L’equazione ci chiede di trovare la più generica ψ che rispetta una certa proprietà. Questa proprietà è evidenziata da un altro modo di scrivere la stessa equazione (portando cioè il termine di massa a secondo membro):
Un altro modo di scrivere l’equazione di Dirac.

L’equazione ci sta parlando, ci chiede di risolvere un determinato problema:

Sai trovare quella funzione ψ tale che, una volta trasformata tramite gli operatori “γμμ” e moltiplicata per il numero “i”, produce come risultato la moltiplicazione di se stessa per una costante “m”?

La risposta a questa domanda fornisce la soluzione per il campo di una particella massiva, libera da forze.

Come si interpreta

Per capire il potere concettuale di questo modo di porre i problemi, cioè quello di ricavare delle informazioni su un certo oggetto ψ studiando prima come si comporta sotto trasformazioni generate da degli operatori, è molto utile sfruttare un’analogia con il concetto di vettori.
Un vettore 2D può essere rappresentato sul piano cartesiano (x,y) come una freccia uscente dall’origine:

La rappresentazione cartesiana del vettore (1,1). Le sue componenti sono v1=1 sull’asse x, e v2=1 sull’asse y.

Ad esempio per costruire un vettore di componenti (1,1), cioè v1=1 sull’asse x, e v2=1 sull’asse y, parto dall’origine e mi sposto di 1 sull’asse x, poi mi sposto di 1 sull’asse y. Il punto in cui arrivo è la testa del vettore. Collegando la testa con la coda (cioè l’origine) ottengo una linea diagonale che chiamo “vettore”.
Un vettore può essere trasformato da una matrice usando la seguente ricetta di composizione:

Il risultato della trasformazione di un vettore è un nuovo vettore le cui componenti possono essere ottenute dalla ricetta contenuta nella matrice.

Il vettore trasformato ha le sue componenti che nascono mischiando le componenti del vettore di partenza, secondo una particolare ricetta descritta dalla matrice-operatore.
Anche il non fare niente è una trasformazione: prende il nome di matrice identità, la sua azione mi fa ottenere di nuovo il vettore di partenza. Puoi verificare anche tu con la ricetta data sopra che il seguente calcolo lascia invariato il vettore di partenza:

La matrice identità lascia il vettore invariato.

Infatti in questo caso l’operatore è tale che a1=1, a2=0, a3=0, a4=1, e sostituendo nella ricetta di sopra otteniamo proprio che il vettore rimane invariato.
Una trasformazione meno banale può invece essere una riflessione, descritta da:

La riflessione del vettore produce un vettore con la componente y invertita di segno.

Puoi verificare il risultato pure tu usando la solita ricetta. Graficamente abbiamo invertito la componente verticale del vettore, come si vede sul piano cartesiano:

La riflessione di un vettore produce un vettore diverso, speculare rispetto al primo.

L’equazione di Dirac si presenta, come accennato, nella seguente veste:

La quale ricalca fortemente il modo in cui trasformiamo i vettori. In questo caso la ricetta prescritta dall’equazione è molto specifica: la trasformazione di ψ è tale da restituire come risultato la ψ stessa, moltiplicata per la massa m. Dal punto di vista matematico, questa richiesta può permetterci di trovare la ψ in maniera non ambigua.


NB: non a caso ψ soddisfa un’equazione con una struttura simile alle equazioni vettoriali con le matrici. Infatti ψ sono oggetti parenti dei vettori, chiamati spinori di Dirac. La differenza fondamentale con i vettori è legata al modo in cui trasformano sotto trasformazioni di Lorentz, come accennato in questo articolo.

Come si usa

Per dare un assaggio di come si affronti una situazione in cui si deve risolvere l’equazione di Dirac, scegliamo la situazione più semplice possibile: il caso di una particella libera e ferma rispetto a noi.
Prima permettimi di trasformare l’operatore “γμμ in una sua forma più agevole matematicamente:

In meccanica quantistica l’operatore μ può essere espresso in termini della quantità di moto “p” della particella. Per ora prendi questa affermazione come un “ipse dixit”, non è questo il luogo e il momento per giustificarla. L’equazione di Dirac può quindi essere scritta come

L’equazione di Dirac espressa con la quantità di moto.

In cui esplicitiamo una volta per tutte il fatto che con γμpμ intendiamo una somma che per pigrizia non avevamo voglia di esplicitare prima

La somma ha il segno negativo nelle componenti spaziali per via della struttura dello spaziotempo della relatività ristretta di Einstein.

Le quantità γ123 sono tutte matrici di Dirac che non ci interessano perché noi supponiamo che la particella sia ferma rispetto a noi, quindi le componenti spaziali della quantità di moto sono nulle, cioè px=py=pz=0. La “quantità di moto” di indice p0 è invece solo un modo lezioso di chiamare l’energia totale della particella. Nel caso di particella a riposo l’energia è, com’è arcinoto:

m è la massa della particella, c è la velocità della luce.

Da ora in poi porremo c=1 per pigrizia, dato che questa scelta non cambia di sicuro la fisica del problema. L’equazione di Dirac si traduce in

che ha la stessa identica forma delle equazioni con i vettori studiate sopra. Le quantità scritte hanno le seguenti espressioni esplicite

Lasciando agire γ0 su u(p) otteniamo

L’effetto di γ0 su u(p) è quello di capovolgere le sue componenti. Puoi verificare usando la regola di composizione matrice-vettore.

Eguagliando questo risultato con u(p) stesso, come ci dice di fare l’equazione di Dirac, scopriamo di dover risolvere il seguente sistema a due incognite

il quale ha la soluzione ovvia u1=u2: una particella di Dirac ferma rispetto a noi ha uguali componenti spinoriali. La soluzione può essere scritta sostituendo u1=u2 e invocando la struttura di onda piana (che è ovviamente soluzione, ed è evidenziata dall’esponenziale contenente quantità di moto e coordinate spaziali):

Da questa espressione si evince che in realtà lo spinore che abbiamo trovato è composto da altre due componenti aggiuntive. In realtà ti ho ingannato tutto il tempo per salvare la semplicità concettuale: uno spinore di Dirac è un oggetto a quattro dimensioni, non due. Tuttavia può essere visto come un oggetto di due componenti, le quali sono a loro volta composte da altre due componenti, per un totale di quattro. La matematica è molto simile e si presta bene a questo inganno.


Una volta ottenuta la soluzione per la particella ferma si può effettuare una trasformazione di Lorentz per osservarla in movimento e derivare così la soluzione più generica per una particella libera.

“Però io credevo che il mondo della Fisica fosse costellato da interazioni tra particelle. Che utilità hanno le soluzioni di particella “libera" senza interazioni?"

Giusta osservazione. Le soluzioni di particella libera in realtà sono ottime approssimazioni per trattare processi in cui le particelle arrivano a collidere e poi si allontanano: nei due stati iniziale e finale possiamo considerare le particelle come libere, ed usiamo la soluzione molto semplice dell’equazione di Dirac per descriverle. L’interazione viene trattata in maniera perturbativa considerando piccoli contributi delle interazioni, basandoci sempre sulla soluzione libera.


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La genesi dell’equazione di Dirac

L’equazione d’onda relativistica dell’elettrone rappresenta uno dei trionfi più importanti della scienza del XX secolo.

Nota come “equazione di Dirac”, dal nome del suo scopritore Paul Dirac, essa costituisce la base di tutta la Chimica e di quasi tutta la Fisica moderna.

Trovo molto interessante provare a riavvolgere il filo del pensiero di Dirac, immedesimandoci in lui quando in una fredda serata a Cambridge nel 1928 arrivò a scrivere la sua equazione dopo essere stato tanto tempo seduto a fissare il caminetto (o così dice la leggenda).

Innegabilmente l’equazione di Dirac vanta una certa eleganza estetica, ed è per questo motivo bersaglio di una sempre crescente mercatizzazione (non è raro trovarsela stampata sulle tazze o sulle magliette).
Trovo anche io difficile resistere al suo fascino e decido quindi di raffigurarla qui in bella vista, prima di iniziare l’articolo:

L’equazione di Dirac descrive una particella libera (relativistica) di spin 1/2.
Piccolo suggerimento: prima di procedere può essere utile dare un'occhiata a due articoli più introduttivi come questo e questo. Se non ne hai voglia ora, li citerò comunque nel prosieguo, inserendoli nei punti chiave in caso tu voglia approfondire.

Schrödinger: le particelle libere come onde piane

Nel 1926 Schrödinger aveva illustrato al mondo che le particelle quantistiche potevano essere descritte da funzioni d’onda la cui forma funzionale era fissata dalla soluzione dell’equazione

In questa equazione ψ è la funzione d’onda che vogliamo trovare, e H rappresenta l’interazione tra particella e il mondo circostante. Questa interazione, agendo su ψ nel membro di destra, produce una variazione nel tempo della ψ stessa, come evidenziato nel membro di sinistra col simbolo di variazione nel tempo ∂/∂t lasciato agire su ψ.
Per una particella libera (cioè senza interazioni con il mondo circostante, o con interazioni così deboli da poter essere trascurate rispetto all’energia cinetica della particella), l’equazione di Schrödinger ha una soluzione semplicissima: un’onda piana

Se non sei familiare con quella forma curiosa per l’energia cinetica ti basti sapere che partendo da 1/2 m v2, questa può essere riscritta in una forma più conveniente sostituendo la quantità di moto p=mv.

In che senso “più conveniente”? In meccanica quantistica si usano gli operatori, che sono oggetti matematici che trasformano le funzioni d’onda in un certo modo. Non tutte le quantità a cui siamo abituati classicamente sono dei buoni operatori. La quantità di moto è un operatore che sappiamo maneggiare bene nei calcoli, al contrario della velocità che è mal definita.

L’energia relativistica, un passo oltre Schrödinger

Nel 1905 Einstein rivoluzionò la meccanica newtoniana con la teoria della Relatività Ristretta. Una delle conseguenze fu la correzione all’energia totale di una particella libera. La forma newtoniana prevedeva, come abbiamo visto, E= p2/2m. In realtà questa non è altro che l’approssimazione della versione einsteiniana una volta che consideriamo velocità molto più basse di quelle della luce, in cui si ha:

In queste formule “m” è la massa della particella, “p” la quantità di moto e “c” la velocità della luce.
A basse velocità otteniamo di nuovo la formula newtoniana per l’energia.

Le energie di legame atomiche sono solitamente così piccole da far sì che le particelle si muovano a velocità molto più basse di quella della luce. L’equazione di Schrödinger era stata creata proprio per descrivere i processi atomici, quindi all’inizio nessuno si preoccupò che non fosse relativistica, c’erano problemi ben più importanti da risolvere.
Se invece si indaga sulla scala subatomica si scopre che bisogna tenere conto delle correzioni relativistiche, proprio perché stavolta aumenta l’energia in gioco.
La strategia più naturale per rendere relativistica l’equazione di Schrödinger è quella di sostituire la vecchia forma di H con la formulazione relativistica:

La forma relativistica dell’equazione di Schrödinger.

Il problema è che, come anticipato prima, in meccanica quantistica la quantità di moto è un operatore, ed è problematico definire la radice quadrata di un operatore. Come superiamo questo ostacolo?

La Klein-Gordon e i suoi problemi

L’approccio proposto da Klein e Gordon per eliminare la radice fu quello di calcolare la variazione temporale di entrambi i membri dell’equazione relativistica, applicando ∂/∂t a sinistra e a destra

In questo conto è fondamentale sapere che l’unità immaginaria “i” è definita in modo che i2=-1

A sinistra abbiamo quindi una doppia derivazione rispetto al tempo, mentre a destra (siccome H è costante nel tempo) otteniamo ψ/∂t, alla quale possiamo sostituire l’equazione di Schrödinger stessa. Con questo piccolo trucco otteniamo che la radice quadrata sparisce.
Ora per semplificare i conti che seguiranno scegliamo di lavorare con delle unità in cui ħ=c=1 e facciamo un cambio di variabili, l’equazione di sopra diventa l’equazione di Klein-Gordon:

L’equazione di Klein-Gordon scritta in una forma più simpatica all’occhio.

L’equazione di Klein-Gordon fu il primo tentativo di relativizzare l’equazione di Schrödinger. La soluzione di questa equazione è ancora un’onda piana per una particella di massa m, solo che a differenza di prima la forma dell’equazione è immediatamente covariante sotto trasformazioni di Lorentz, in quanto P2 e m2 sono degli scalari di Lorentz: in sostanza il principio di relatività è automaticamente soddisfatto (mentre non lo era nell’equazione di Schrödinger).

Dove sta la fregatura?

L’aver mandato via la radice quadrata ha sollevato un problema irritante: l’evoluzione temporale nell’equazione di Schrödinger era espressa da un termine di primo grado ψ/∂t, mentre ora nella Klein-Gordon è espressa da un termine di secondo grado (∂2ψ/∂t2), e ciò fa sì che la densità di probabilità possa ora assumere valori non solo positivi, ma anche negativi o nulli.

Infatti i moduli quadri delle funzioni d’onda (che per la regola di Born rappresentano le densità di probabilità) possono essere calcolati tramite una particolare “ricetta” che dipende in una maniera molto precisa dal tipo di equazione dinamica da cui si parte. Si dà il caso che la “ricetta” ereditata dall’equazione di Klein-Gordon sia difettosa rispetto a quella dell’equazione di Schrödinger.
Ciò fa perdere di significato fisico tutta la struttura matematica della nostra teoria, una bella gatta da pelare!

Non c'era via di uscita? È questo il prezzo da pagare per aver cercato di introdurre la relatività nella meccanica quantistica?

L’illuminazione di Dirac

Per dei motivi che oggi non sono più rilevanti, Dirac era fortemente preoccupato dal problema della densità di probabilità nella Klein-Gordon. Per questa ragione si ossessionò al punto da forzare la matematica stessa: voleva abbassare l’ordine delle derivate temporali dal secondo grado al primo grado a tutti i costi, pur mantenendo un’equazione relativisticamente permessa. Nella sua mente la forma prediletta doveva essere, per ragioni relativistiche e di “eleganza”

In cui γ0 è un termine per ora indeterminato. Questa equazione doveva comunque essere collegata alla Klein-Gordon in qualche modo, perché questa garantisce l’invarianza relativistica. L’illuminazione arrivò quando fu colto il seguente parallelismo con la differenza algebrica dei quadrati a2-b2

dove le γμ sono degli oggetti per ora ignoti, e la notazione va intesa nel modo seguente:

j=1,2,3 indica le tre direzioni cartesiane x,y,z. Quindi x1=x , x2=y , x3=z. γP è quindi solo un modo rapido di scrivere quella somma di termini, comprendenti tutte le direzioni spaziali cartesiane.

Affinché valga l’uguaglianza con la Klein-Gordon tramite la differenza dei quadrati le misteriose γμ devono soddisfare

in cui ημν è la metrica dello spazio-tempo della relatività ristretta. Infatti per avere uguaglianza deve essere

e questa condizione può essere soddisfatta solo se vale la relazione scritta sopra, che lega la metrica ημν con gli oggetti γμ.

La richiesta di un’equazione con derivata temporale al primo ordine ha quindi generato due possibili equazioni relativistiche:

le quali descrivono particelle aventi energia di segno “opposto” (per saperne di più sulla questione dell’antimateria e l’equazione di Dirac clicca qui).

L’uguaglianza del loro prodotto con la Klein-Gordon impone poi che gli oggetti γμ debbano essere delle matrici quattro-dimensionali con delle ben determinate regole di composizione legate alla metrica dello spaziotempo. Non solo, la forma matematica di queste equazioni impone che la funzione d’onda ψ trasformi in una maniera ben precisa sotto trasformazioni di Lorentz.

Fu la prima volta nella storia della Fisica in cui una richiesta di struttura visiva della matematica portò a scoprire un’intera classe di nuovi oggetti matematici.

Tornando alla notazione con le derivate scritte in una forma più elegante:

otteniamo la forma dell’equazione di Dirac che si stampa sulle magliette:

È cruciale il fatto che ora possiamo interpretarla proprio come una sorta di decomposizione della Klein-Gordon per far sì di ottenere solo derivate di primo grado nel tempo. Nonostante ciò, è in realtà è più proficuo (dal punto di vista teorico) interpretare questa equazione come l’equazione del moto di una teoria di campo costruita per le particelle che trasformano come una rappresentazione di spin 1/2 sotto trasformazioni di Lorentz (se vuoi saperne di più sul perché classifichiamo le particelle come rappresentazioni di spin clicca qui).


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Come una simmetria fa nascere la teoria dell’elettromagnetismo

Gran parte del lavoro della fisica degli ultimi 70 anni è stato quello di scovare nuove leggi della natura a partire da princìpi di simmetria. Un esempio di questo modo di lavorare può essere fornito andando a re-inventare la ruota, cioè analizzando l’emergere della teoria dell’elettromagnetismo (studiata e compresa da ormai un secolo e mezzo) da un principio di simmetria.

L’identikit di una simmetria

Se mi chiedessero di riassumere ciò che i fisici teorici intendono con la parola magica “simmetria” tramite l’esempio più semplice possibile, userei questo:

Stai osservando un sistema fisico e nel mentre che chiudi gli occhi eseguo una certa trasformazione del sistema in modo che quando li riapri per te non è cambiato nulla: allora quella trasformazione è una simmetria del sistema.

Esistono simmetrie più intuitive e meno astratte di altre, e quelle della meccanica quantistica sono decisamente poco intuitive. Per questo motivo la nostra strategia sarà quella di cercare delle analogie con le simmetrie geometriche, con cui abbiamo più confidenza.

Prima di poter apprezzare il discorso è però necessario passare un piccolo purgatorio di matematica dei numeri complessi, perché è li che si nasconde la simmetria che fa nascere l’elettromagnetismo.

La natura complessa della quantistica

La meccanica quantistica studia il moto delle particelle tramite le funzioni d’onda che “vivono” in uno speciale spazio matematico.
Si scoprì presto che, per riprodurre i risultati sperimentali a partire dalla teoria, tale spazio matematico doveva essere a valori complessi. Perché? Semplicemente è più facile fare i conti con i numeri complessi, ed alcune proprietà fisiche appaiono più evidenti.

In ogni punto dello spazio, il valore della funzione d’onda è rappresentato da un numero complesso: cioè una freccia sul piano di Gauss.

Se non hai molta dimestichezza col concetto di numero complesso, può aiutare un’analogia.
L’essenza matematica è molto simile a quella di un vettore sul piano cartesiano, dove con “vettore” devi sostituire “numero complesso” e con “piano cartesiano” devi sostituire “piano di Gauss”.

Le analogie non finiscono qui!

  • Proprio come un vettore, un numero complesso può allungarsi, accorciarsi, ribaltarsi, e in generale ruotare sul piano di Gauss.
  • La lunghezza di un vettore è un numero reale ed è chiamata in gergo ”modulo”.
  • La “lunghezza“ di un numero complesso è un numero reale ed è chiamata in gergo ”modulo”.

I numeri complessi godono però di alcune proprietà aggiuntive che tornano molto comode nei calcoli, per cui vanno in ogni caso ben distinti dai vettori.

Nota bene: ciò che calcoliamo dalle misure negli esperimenti sono i numeri reali, non i numeri complessi.
Per questo motivo la funzione d’onda di una particella è stata interpretata dai fisici come un numero complesso il cui modulo al quadrato restituisce un numero reale che è la densità di probabilità

La funzione d’onda di una particella è un numero complesso il cui modulo al quadrato (numero reale) viene interpretato come la probabilità di trovarla in un certo punto dello spazio.

dove la probabilità è in un certo senso ciò che si manifesta sperimentalmente, e quindi è la connessione tra mondo teorico e mondo degli esperimenti. Tutti i calcoli della meccanica quantistica hanno lo scopo di arrivare a una stima della probabilità.

La cosa interessante è che la definizione di probabilità come modulo quadro della funzione d’onda ci lascia una certa libertà: potremmo moltiplicare la funziona d’onda per un altro numero complesso “z” avente modulo uguale a uno, e la probabilità rimarrebbe la stessa

Se il numero complesso z ha modulo uguale a uno, la sua moltiplicazione con la funzione d’onda non ha alcun effetto sulla probabilità.

Dal punto di vista del mondo reale non è cambiato nulla (la probabilità è la stessa), ma dal punto di vista matematico la moltiplicazione per il numero “z” ha trasformato, in ogni punto dello spazio, il valore della funzione d’onda.

“Trasformato? Che vuol dire? Non è un semplice prodotto algebrico quello che abbiamo appena visto?"

Lo sarebbe se stessimo parlando di numeri reali. Tuttavia una proprietà molto interessante dei numeri complessi è che quando li moltiplichiamo tra loro otteniamo una rotazione sul piano di Gauss.
La trasformazione prende il nome gergale “trasformazione di fase”.

Il numero complesso A viene ruotato di un angolo pari all’inclinazione del numero complesso B. Il risultato è un numero complesso AB ruotato.

La matematica della meccanica quantistica ci dà la libertà di trasformare il valore complesso delle funzioni d’onda in ogni punto dello spazio, senza intaccare la probabilità di osservazione che esse descrivono.

L’atto di trasformare un oggetto con il risultato di lasciare intatta una certa quantità (come la probabilità che osserviamo) corrisponde proprio all’identikit di una simmetria.

“Non mi convincono troppo queste parole altisonanti. “Simmetria" mi fa pensare più a una cosa geometrica, mentre mi pare di capire che qui siano solo astrazioni matematiche..."

Però abbiamo appena visto che la trasformazione di fase è parecchio analoga a una rotazione!

“Vorrai mica dire che c'è un modo per rendere più intuitive tutte queste astrazioni?"

Le interpretazioni di una simmetria: la teoria dei gruppi

Considera un quadrato disteso su un piano e immagina di chiudere gli occhi mentre io ruoto il quadrato di 5 gradi. Quando riapri gli occhi sei in grado di capire se ho eseguito una rotazione o meno?

Il quadrato iniziale (linea tratteggiata), e il quadrato dopo la rotazione di 5 gradi (linea continua).
“Mi prendi per uno stolto? Il quadrato ora è diverso da prima, è un po' più storto! Come fai a pretendere che non mi accorga della trasformazione?"

Ciò è successo perché la trasformazione “rotazione di 5 gradi” non è una simmetria del quadrato. Il quadrato non è rimasto identico a se stesso.

Un quadrato rimane identico a se stesso se invece lo ruotiamo per alcuni angoli speciali:

  • Possiamo non fare nulla, cioè ruotarlo di 0 gradi, e il quadrato rimane identico a se stesso.
  • Possiamo ruotarlo di 90 gradi e il quadrato rimane identico a se stesso.
  • Possiamo ruotarlo di 180 gradi e il quadrato rimane identico a se stesso.
  • Possiamo ruotarlo di 270 gradi e il quadrato rimane identico a se stesso.

In sostanza se io avessi eseguito una qualsiasi delle suddette rotazioni mentre tenevi gli occhi chiusi, dopo non saresti in grado di dirmi se io abbia trasformato il quadrato o meno.
In gergo gli angoli {90, 180, 270, 0} formano un gruppo: il gruppo di simmetria del quadrato.

Una rotazione di 90 gradi lascia il quadrato identico a se stesso.

Il nome “gruppo” si riferisce al fatto che se eseguissi due trasformazioni consecutive usando gli elementi del gruppo {90, 180, 270, 0} otterrei comunque una trasformazione che lascia invariato il quadrato, e quindi tale trasformazione deve fare anche lei parte del gruppo {90, 180, 270, 0}.
Ad esempio se ruoto di 90 e poi ruoto di 180, ottengo una rotazione totale di 270, che è un elemento del gruppo. Se ruoto di 270 e poi ruoto di 180 ottengo una rotazione di 450 gradi, che equivale a 90 gradi. Il gruppo è una “società chiusa“.

Spingendoci un po’ più sull’astratto desideriamo che un gruppo di simmetria, per ritenersi tale ai nostri occhi, abbia queste proprietà importanti:

  • Chiusura: se due elementi appartengono al gruppo, allora anche la loro composizione (cioè applico prima l’uno e poi l’altro) appartiene al gruppo. Lo abbiamo appena visto con le rotazioni.
  • Esistenza dell’identità: anche la trasformazione “non faccio nulla” deve appartenere al gruppo. Come ben sai, il “fare nulla” lascia le cose uguali a come erano prima.
  • Esistenza dell’inverso: se ruoto di 90 gradi e poi voglio tornare indietro, posso ruotare di altri 270 gradi e fare quindi un angolo giro di 360 gradi per tornare da dove ero partito. La composizione 90+270 equivale al “non fare niente”. Quindi diremo che l’elemento 270 gradi è la trasformazione inversa della rotazione di 90 gradi.

Il gruppo di simmetria del quadrato ha, come hai visto, pochi elementi. Esistono però gruppi con un numero infinito di elementi. Considera ad esempio un cerchio

Nel caso del cerchio qualsiasi angolo di rotazione è un elemento del gruppo di simmetria. Se chiudessi gli occhi e io ruotassi il cerchio di 13.42 gradi, dopo non sapresti dire se io abbia eseguito la rotazione o meno.
Il gruppo di simmetria del cerchio è definito da un angolo che può assumere infiniti valori.

“Tutto molto elegante, ma quindi? Non stavamo parlando di trasformazioni di fase?"

Le trasformazioni di fase: il gruppo U(1)

Abbiamo visto che le trasformazioni di fase che si fanno sulle funzioni d’onda sono delle rotazioni nel piano di Gauss, e la notizia è che sono molto simili al gruppo di simmetria del cerchio. Il loro collettivo ha un nome speciale: gruppo U(1).

Un elemento del gruppo può essere rappresentato da un esponenziale avente come esponente l’angolo di cui si sta facendo la rotazione.

“i” è l’unità immaginaria dei numeri complessi: la radice quadrata di -1.

Questa rappresentazione esponenziale degli elementi del gruppo rende più evidenti le proprietà dei gruppi elencate sopra:

Quindi la trasformazione di fase U(1) ha pieno diritto di essere considerata un gruppo di simmetria.

Quando trasformiamo una funzione d’onda moltiplicandola per un elemento del gruppo U(1), stiamo ruotando il suo valore sul piano complesso in ogni punto dello spazio in cui la funzione d’onda è definita. Se facciamo il modulo quadro di questo prodotto, l’effetto è quello di effettuare una rotazione inversa: la composizione delle due cose restituisce l’identità, cioè il non fare niente.

“Continuo a non capire perché porre tanta enfasi sulle simmetrie. È un accidente matematico e nulla di più, perché perderci tutto questo tempo?"

Il motivo di tanta enfasi è il teorema di Noether.

Simmetrie e conservazione

Il teorema di Noether garantisce che per ogni simmetria debba esserci una quantità conservata. Ad esempio se un sistema fisico ha lo stesso gruppo di simmetria del cerchio, la quantità conservata è il momento angolare nel tempo.

È lecito chiedersi quale quantità conservata si nasconda dietro la simmetria U(1).

La teoria della relatività impone che la teoria più semplice per la descrizione di una particella libera sia quella di Dirac

La teoria di Dirac per una particella libera di spin 1/2 e massa m.

Dove la parte di sinistra descrive un cambiamento della funzione d’onda nello spaziotempo, e la parte di destra descrive la massa “m” della particella.

La parte sinistra della teoria di Dirac coinvolge una derivata rispetto alle coordinate spaziotemporali, cioè calcola le variazioni della quantità su cui agisce. In questo caso agisce sulla funzione d’onda a destra.

La teoria di Dirac è stata costruita in modo da essere simmetrica rispetto a una trasformazione di fase globale. Le due funzioni d’onda scritte sopra trasformano infatti in modo opposto sotto una trasformazione U(1)

In modo che il loro prodotto rimanga invariato

La trasformazione di fase globale, ripetiamo ancora una volta, ha l’effetto di ruotare simultaneamente in ogni punto dello spaziotempo il valore della funzione d’onda nel piano di Gauss. In sostanza il valore dell’angolo di rotazione θ è uguale per tutti i punti dello spaziotempo.

Siccome θ è una costante (cioè uguale in tutti i punti dello spazio tempo, da cui il nome globale), la parte di variazione della teoria di Dirac è anch’essa lasciata intatta dalla trasformazione

L’angolo θ non dipende dallo spaziotempo e la derivata non ha effetto su di lui.

Questa simmetria della teoria di Dirac genera una quantità conservata molto importante: la differenza tra numero di particelle e numero di antiparticelle.

Tuttavia la relatività vieta che la trasformazione di una fase in un certo punto dello spaziotempo possa ruotare istantaneamente la fase in un altro punto.

Richiediamo che debba esserci un “tempo di propagazione diverso da zero” tra un punto e l’altro.
L’unico rimedio è assumere che l’angolo di rotazione θ abbia un valore diverso punto per punto nello spaziotempo e che la trasformazione si propaghi ad una velocità finita, trasmessa da un qualche campo ignoto che siamo costretti a introdurre nella teoria:

Introduzione di un campo ignoto nella teoria per fare da mediatore nella trasmissione dell’informazione sulla fase tra i punti dello spaziotempo. “q” è una costante ignota.

Inoltre ora la teoria di Dirac ha perso la simmetria U(1), in quanto la parte di variazione comprende sia la variazione della funzione d’onda, sia la variazione dell’angolo che passa da θ costante a θ(x) funzione dello spaziotempo:

La richiesta che l’angolo di rotazione dipenda dallo spazio rompe la simmetria globale U(1)

quel termine aggiuntivo a destra rovina la festa, perché l’espressione non rimane uguale a se stessa dopo la trasformazione!

“Mi pare che andiamo di male in peggio. Ora non solo dobbiamo aggiungere alla teoria un campo ignoto per rispettare la relatività, ma abbiamo anche un pezzo in più dovuto alla variazione dell'angolo θ(x)! 

Non ha proprio nulla di simmetrico, non ne usciremo mai!"

Siccome nella realtà nessun esperimento è in grado di rivelare questo cambiamento di fase θ(x) che abbiamo effettuato matematicamente, vorremmo eliminare questa imbarazzante rottura della simmetria nella matematica della nostra teoria. E se la via d’uscita fosse proprio il campo ignoto che siamo stati costretti a postulare?

Per preservare sia la simmetria U(1) che la relatività ristretta, possiamo imporre che la nostra teoria sia simmetrica rispetto a un nuovo tipo di trasformazione.

Ad esempio una trasformazione del tipo:

Per quale motivo proprio questa trasformazione? Furbizia!
Infatti facendo entrambe queste trasformazioni, i termini aggiuntivi si eliminano e la nostra teoria rimane invariata, cioè abbiamo di nuovo una simmetria, che chiamiamo per ragioni storiche “simmetria U(1) di Gauge“.

L’azione combinata di entrambe le trasformazioni fa in modo di cancellare il termine aggiuntivo, la teoria è ora simmetrica.

Nasce l’elettrodinamica quantistica

Tramite alcune ragionevoli considerazioni si dimostra che il famigerato campo ignoto non è altro che il campo elettromagnetico. La teoria di Dirac descrive il comportamento delle particelle cariche in presenza di un campo elettromagnetico!

La costante “e” rappresenta la carica dell’elettrone, se vogliamo descrivere l’interazione di un elettrone con un campo elettromagnetico rappresentato da “A”.

Si è presentata la necessità dell’esistenza del campo elettromagnetico nel momento in cui abbiamo richiesto che venisse rispettata la relatività ristretta assieme alla simmetria U(1). Ciò ci ha condotto a considerare un nuovo insieme di trasformazioni sotto le quali la teoria è simmetrica: la U(1) di Gauge.

Inoltre la quantità conservata sotto questa nuova simmetria è proprio la carica elettrica.

La teoria ottenuta da queste considerazioni è nota come elettrodinamica quantistica, ed è la teoria del modello standard meglio verificata sperimentalmente.


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Come l’antimateria nasce dalla relatività

Antiparticella = particella di uguale massa, ma con carica elettrica opposta

Il concetto di antimateria si è imposto praticamente da solo e prepotentemente, senza che nessuno lo abbia cercato di proposito, nel momento in cui sono state unificate meccanica quantistica e relatività ristretta alla fine degli anni ’20. Le prove sperimentali arrivarono fin dai primi anni ’30.
Oggi siamo in grado di produrre antimateria anche a fini medici (si pensi alla PET dove si sfruttano gli anti-elettroni, noti come positroni).

Ha un fascino particolare provare a seguire il percorso concettuale che, dalla relatività di Einstein, ha condotto alla teorizzazione dell’antimateria (dovuta a Dirac).

Facciamo finta di star scoprendo noi stessi il concetto di antiparticella in questo momento, e ripercorriamo tutte le tappe logiche fondamentali in cui potremo apprezzare il ruolo fondamentale giocato dalla teoria di Einstein.

L’energia di una particella

Nella meccanica quantistica ordinaria l’energia di una particella libera avente una quantità di moto p e una massa m si trova inserendo dentro l’equazione di Schrödinger la soluzione di onda piana (che è il modo quantistico di dire “particella esente da forze”). Il risultato è

La relatività di Einstein impone invece che tale espressione matematica per l’energia sia solo la versione approssimata della seguente

c è la velocità della luce

nell’approssimazione di quantità di moto molto piccole rispetto all’energia di massa. Fin qui nessun problema, la Fisica funziona così: quella che oggi sembra la forma definitiva di un’equazione, sarà l’approssimazione della versione più completa scoperta in futuro.

Il vero problema nasce quando si tenta di rendere l’equazione di Schrödinger relativistica

Lo schema è lo stesso: l’equazione non relativistica è solo l’approssimazione di quella relativistica, la quale, ad oggi, è la “vera equazione del moto” in quanto rispetta il principio di relatività di Einstein.

Il principio di relatività cambia la struttura matematica dell’equazione di Schrödinger, e se si prova a calcolare l’energia di una particella libera inserendovi al suo interno una soluzione di onda piana, si ottiene stavolta l’energia in questa forma curiosa e problematica

“Scusa, ma dove sta il problema? Abbiamo appena detto che la vera energia di una particella è data da quell'espressione brutta con m e c al quadrato e così via, non siamo contenti che l'equazione relativistica di Schrödinger restituisca la stessa energia per la particella libera?"

Il punto è che la struttura matematica dell’equazione di Schrödinger relativistica ci pone ora dinanzi a due vie, perché non ci dà l’energia, ma l’energia al quadrato!

Prima o poi nella vita siamo stati tutti mazziati dalla seguente proprietà matematica:

Ora il gioco è lo stesso, per la prima volta in Fisica l’equazione del moto di una particella esente da forze ci impone che l’energia possa essere data sia da un numero negativo che da un numero positivo

“E che ci vuole? Buttiamo via la soluzione negativa come si fa a scuola. Non esistono particelle libere con energia negativa!"

Facciamo però l’avvocato del diavolo e scegliamo di ascoltare la matematica imposta dalla relatività ristretta (ha sempre portato bene nella storia della Fisica!). Facciamo finta che possa esistere una particella ad energia negativa.

Come si comporta una particella di energia negativa?

L’energia in meccanica quantistica è importante perché ci dice come si evolve, nel tempo, la dinamica di una particella. Tale evoluzione è descritta, in soldoni, da

è insomma un esponenziale di un certo numero (di Eulero) avente come esponente il prodotto tra il numero complesso “i”, l’energia “E” e il tempo “t”. Non soffermarti sul perché, non è questo il punto.

Concentrati solo sul fatto che l’evoluzione dipende dal prodotto tra energia e tempo.

Se l’energia di una particella è negativa, il prodotto viene mandato in:

Ed ora è il momento di dire la cruda verità: ai fisici non piace per niente il fatto che le particelle possano avere energie negative, perché ci sarebbero non pochi problemi riguardo alla stabilità stessa della materia (mancherebbe un limite inferiore all’energia, un fatto molto pericoloso perché la natura vuole sempre occupare stati a energia minore).

Ma allora è tutto da buttare?


Continuiamo a fare gli avvocati del diavolo. Forse c’è un modo interessante di interpretare quel segno meno nel prodotto.

Continuiamo a seguire ciò che ci ha insegnato la relatività ristretta sulla struttura spaziotemporale della nostra realtà.

Questione di interpretazione: lo spaziotempo di Einstein

Supponiamo di osservare due eventi (contrassegnati da “1″ e “2″) che accadono in due punti dello spazio e a due istanti di tempo diversi. Li annotiamo sul nostro taccuino come

Ipotizziamo che, secondo noi, l’evento 1 sia avvenuto prima dell’evento 2. Matematicamente chiediamo quindi che sia

Se un altro osservatore in moto con una velocità costante “v” rispetto a noi osserva gli stessi eventi, annoterà anche lui i due eventi sul suo taccuino usando le sue personalissime coordinate

Einstein ci ha insegnato a collegare le due descrizioni dello stesso evento con la seguente trasformazione:

dove “γ” è una quantità positiva che dipende dalla velocità, di cui non devi preoccuparti.

Preoccupiamoci invece di sottrarre le due equazioni di sopra per ottenere la differenza tra gli istanti di tempo dei due eventi rilevati dall’osservatore in moto, rispetto alle nostre coordinate (così per curiosità, perché non farlo?)

La matematica della relatività ci tenta di porre la seguente domanda “e se la differenza tra i due istanti di tempo per il secondo osservatore fosse negativa?”. Ciò si tradurrebbe in:

La seconda condizione è possibile se la velocità del secondo osservatore è tale che

A patto però, come dicono le regole di Einstein, che v non superi la velocità della luce. Cioè deve essere

L’ultima condizione ci dice che la distanza spaziale tra i due eventi deve essere maggiore della distanza percorsa da un raggio di luce (di velocità c) nel tempo che intercorre tra i due eventi stessi. Se gli eventi soddisfano questa particolare caratteristica, allora è possibile trovare un osservatore con una velocità v tale da rendere

ovvero l’ordine degli eventi è invertito per il secondo osservatore: secondo lui è successo prima l’evento “2″ dell’evento “1”.

In relatività ristretta è permesso che l’ordine temporale degli eventi possa essere invertito dal punto di vista di un osservatore in moto

“Aspetta un attimo, ma questo mi consentirebbe di vedere la gallina prima dell'uovo, no? Non c'è un problema di causa-effetto?"

Ottima osservazione, ma non c’è nessun problema! Infatti l’inversione temporale avviene solo per eventi che non possono essere connessi da alcuna relazione causale: non ci può essere trasmissione di informazioni tra eventi che distano nello spazio più della distanza percorribile dalla luce nel tempo che li separa! Lo abbiamo incluso tacitamente nella condizione:

“Ok...e quindi? Cosa c'entrano nella fisica gli eventi senza connessione causale? La fisica è fatta di causalità! Mi pare che tu stia a chiacchierare di metafisica!“

Ora interviene la meccanica quantistica!

Per il principio di indeterminazione di Heisenberg, è possibile che una particella si propaghi da un punto all’altro dello spazio anche se questi due punti non sono connessi causalmente.

Se una particella viene emessa in un punto A ed assorbita in un punto B (e tali punti non sono causalmente connessi per ipotesi) allora un osservatore che si muove con una certa velocità (calcolata sopra), vedrebbe l’assorbimento della particella nel punto B in un tempo che precede l’istante in cui viene emessa nel punto A.

Come si esce da questo paradosso?

L’interpretazione di Feynman-Stückelberg

Il fisico americano Richard Feynman

Torniamo al prodotto tra energia e tempo per quanto riguarda l’evoluzione temporale di una particella. Avevamo detto che se l’energia è negativa abbiamo

Immagina che io ti abbia bendato gli occhi e avessi messo il segno meno davanti al prodotto senza dirti a quale fattore è stato applicato. Potrei benissimo aver cambiato segno a “t” invece che all’energia, senza dirti nulla. Il risultato è a tutti gli effetti equivalente:

Matematicamente non cambia nulla, ma il risultato è rivoluzionario:

Una particella di energia negativa può essere pensata anche come una particella di energia positiva che si muove indietro nel tempo!

Questa è l’interpretazione di Feynman-Stückelberg, i quali volevano cancellare dall’esistenza il concetto di energia negativa. Dal punto di vista delle interazioni tra le particelle, la relatività prevede l’inversione temporale, come abbiamo discusso sopra.

“Ma che senso ha questa propagazione indietro nel tempo? A me pare ancora che si stia parlando di metafisica qui..."

Hai ragione. Infatti bisogna sedersi un attimo e ragionare su cosa significhi, dal punto di vista fisico, l’inversione temporale.

L’interpretazione dell’inversione temporale

Generalmente classifichiamo le particelle in base al modo in cui si comportano nelle interazioni fondamentali. In particolare ci interessa studiarne la traiettoria in una regione in cui è presente un campo elettromagnetico.

L’accoppiamento tra una particella e un campo elettromagnetico ha un nome tutto suo: la carica elettrica “q”.

La forza elettromagnetica su una carica “q” modifica la sua traiettoria accelerandola.

Le particelle descrivono traiettorie in una certa direzione, in base al segno della carica “q”, che può essere positivo o negativo.

Tra tutti i simboli dell’equazione appena scritta, concentriamoci solo sul tempo “τ“. Ci sono solo due termini che contengono il tempo esplicitamente, ed entrambi si trovano al denominatore ed appaiono come

Se invertiamo il tempo, otteniamo che il termine a sinistra non cambia (essendo un quadrato). Quindi cambia solo il secondo e si ha

Quindi sotto inversione temporale compare un segno meno globale per tutta l’equazione.
Ora immagina di nuovo che io ti abbia bendato gli occhi e avessi fatto spuntare fuori questo segno meno senza dirti che ho invertito il tempo. Potresti benissimo interpretare il segno meno in questo modo

Dal punto di vista sperimentale, l’effetto è quello di aver invertito il segno della carica elettrica. Le equazioni del moto relativistiche ci dicono che invertire il tempo si traduce, sperimentalmente, come il moto di una particella di carica elettrica opposta.

Una particella di energia positiva che si muove indietro nel tempo può essere interpretata come una particella di energia positiva, ma con carica opposta, che si muove avanti nel tempo.

Ecco che sparisce tutta la stranezza dell’inversione temporale! Ed ecco cosa ci ha insegnato la relatività ristretta applicata alla meccanica quantistica!

Le particelle ad energia negativa possono essere interpretate come delle particelle ad energia positiva che si muovono avanti nel tempo, ma che hanno carica opposta.

Oggi abbiamo un nome particolare per questo tipo di particelle che differiscono dalle particelle originali solo per il segno della carica elettrica e degli altri numeri quantici: le antiparticelle.

Una particella di energia negativa può essere interpretata come un’antiparticella di energia positiva che si muove, come tutte le altre particelle, avanti nel tempo. L’antiparticella differisce dalla particella solo per il segno della carica elettrica e di altri numeri quantici.

In questo modo abbiamo risolto anche il paradosso enunciato sopra:

Mettiamo che io veda una particella emessa in un punto A ed assorbita in un punto B. Come ci dice la relatività un altro osservatore potrebbe invece vedere una particella assorbita in B in un istante che precede la sua emissione nel punto A (se A e B non sono connessi causalmente). Ma ora sappiamo che ciò equivale ad osservare una particella di carica opposta che viene emessa in B ed assorbita in A. La causalità è salva.


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Come la particella di Majorana potrebbe rivoluzionare la Fisica

Perché il neutrino?

Le particelle più famose sono notoriamente:

ProtoneElettroneNeutrone
Carica elettrica: +1 -1 0
La carica è data in unità della carica elementare dell’elettrone.

le quali erano le uniche particelle note al tempo in cui si studiavano i primi meccanismi nucleari (agli inizi degli anni 30′). Furono proprio i primi esperimenti sui nuclei a suggerire l’esistenza di una nuova, inedita particella elementare.

Il decadimento beta dei nuclei
Negli esperimenti si notava che alcuni nuclei erano in grado di emettere spontaneamente degli elettroni, con il nucleo che di conseguenza finiva per trasformarsi in quello dell’elemento successivo nella tavola periodica.

 
“Aspetta rallenta un attimo, quindi gli elettroni stanno dentro al nucleo e poi vengono rilasciati? Non torna mica con il modellino dell'atomo che s'è fatto a scuola!"


No: gli elettroni non possono “vivere” dentro i nuclei, perché sono troppo leggeri. I nuclei sono abitati da protoni e neutroni. Quindi questa emissione doveva essere spiegata in un altro modo. La teoria proposta era questa:
Dentro al nucleo un neutrone può trasformarsi in un protone (ciò spiega l’aumento del numero atomico nucleare) al prezzo di produrre anche un elettrone (al fine di lasciare inalterata la carica elettrica originale).
La reazione dovrebbe quindi essere

Un neutrone nucleare si trasforma in un protone più un elettrone

Il protone rimane confinato nel nucleo, mentre l’elettrone riesce a sfuggire con una certa energia ben definita dal punto di vista teorico.

Sperimentalmente invece l’energia dell’elettrone era tutt’altro che ben definita, ma distribuita in un certo intervallo.

Questo poteva voler dire due cose: o l’energia totale non si conserva, o l’energia dell’elettrone viene un po’ distribuita anche in quella di una terza particella invisibile emessa nel decadimento

Nessuno vuole mai sacrificare il principio di conservazione dell’energia, ma allo stesso tempo negli esperimenti non si vedeva nessuna “terza particella”, quindi che alternative avevano i fisici?
Inoltre siccome il processo deve conservare la carica elettrica totale, partendo da un neutrone (che è neutro come dice il nome) e arrivando a un protone più un elettrone (la cui carica totale è nulla), l’aggiunta di una terza particella senza intaccare la carica totale sarebbe possibile solo se tale particella fosse neutra.


In sintesi la “terza particella” deve soddisfare questo identikit:

  • Deve essere neutra
  • Deve interagire poco con le altre particelle (il motivo per cui non la vediamo sperimentalmente)
  • Deve essere molto leggera (per spiegare i dati sperimentali).

Enrico Fermi propose il nome “neutrino” per ovvie ragioni (ma non perché è “figlio del neutrone”: sono particelle davvero molto diverse, non farti ingannare dal nome). La reazione completa è quindi

La reazione corretta con l’aggiunta del neutrino

Il problema della massa del neutrino

I dati sperimentali lasciavano presagire che il neutrino dovesse avere una massa piccolissima, e che dovesse essere strutturalmente analogo all’elettrone, ma con carica nulla.

Siccome le particelle vengono catalogate in base a come trasformano sotto le simmetrie, il neutrino trovò subito la sua perfetta catalogazione nel ruolo di “particella di spin 1/2 con massa molto piccola” .

Le particelle di spin 1/2 sono descrivibili con due blocchetti matematici fondamentali:

I campi L e i campi R

Non soffermarti sui loro nomi per ora, sappi solo che si riferiscono al modo in cui entrambi trasformano sotto la simmetria di Lorentz (per saperne di più leggi questo).

Solitamente le particelle di spin 1/2 come gli elettroni possono essere pensate come la composizione di questi due blocchetti L e R perché partecipano sia ai tipi di interazione L sia ai tipi di interazione R.

Ora un fatto importante:

Per costruire una particella di spin 1/2 massiva occorrono entrambe le componenti L e R

D’altra parte i neutrini, in tutti i processi noti, interagivano solo con la componente L. Questa fu una conferma del fatto che il neutrino dovesse avere una massa esattamente uguale a zero: infatti siccome interagisce solo con la parte L, e siccome non è possibile descrivere una particella massiva con solo la parte L senza una parte R (si otterrebbe una teoria che viola il principio di relatività), allora il neutrino poteva benissimo essere descritto con un unico blocchetto L e avere massa nulla.

Due piccioni con una fava: Ettore Majorana

Ogni particella ha la sua antiparticella (di uguale massa e con carica opposta): l’elettrone ha il positrone, il protone ha l’anti-protone e il neutrone ha l’anti-neutrone.

Le anti-particelle sono ciò che si ottiene quando si mischia la teoria quantistica con la teoria della relatività, per cui sono un qualcosa di abbastanza fondamentale.
Per questo motivo anche il neutrino doveva avere un’antiparticella: l’anti-neutrino. Se il neutrino interagisce solo tramite un campo L, l’anti-neutrino interagisce solo tramite un campo R. Tutto torna matematicamente.

“Non me la bevo mica questa! Una particella di uguale massa e carica opposta si chiama anti-particella...ma il neutrone non ha carica, come si fa a distinguerlo dall'antineutrone?"

Il neutrone ha una struttura interna composta da quark: è possibile distinguerlo dall’anti-neutrone con alcuni esperimenti ben congegnati. Però hai sollevato un dubbio interessante che potrebbe riguardare il neutrino:

Chi ci dice che neutrino e antineutrino non siano in realtà la stessa particella? Dopotutto sono neutri…

e dopotutto non hanno una struttura interna di quark (essendo fatti della stessa pasta degli elettroni).

Purtroppo c’è un problema: se sono la stessa particella, come mai interagiscono in modo diverso? Il neutrino interagisce solo come blocchetto L e l’anti-neutrino solo come R. Una bella gatta da pelare.

Poi arrivò il genio di Majorana e prese due piccioni con una fava:

È possibile costruire una teoria che rispetti il principio di relatività a partire da un blocchetto L e un blocchetto R, ma con quest’ultimo costruito a partire da un blocchetto L tramite il meccanismo della coniugazione di carica. Un neutrino può quindi essere descritto da

campo L + C ( campo L)

con “C” si intende il meccanismo della coniugazione di carica

questa costruzione impone che neutrino e anti-neutrino sono la stessa particella: quello che in precedenza era visto come anti-neutrino era in realtà la componente R costruita con “C(L)”.

La cosa più sorprendente dell’intuizione di Majorana era però un’altra: s’era detto poco fa che si possono costruire particelle di spin 1/2 massive solo se hanno entrambe le componenti L e R: ebbene ora il neutrino di Majorana le ha entrambe, quindi è possibile dargli una massa ed ottenere allo stesso tempo una teoria che rispetti il principio di relatività!

Il neutrino di Majorana ha una massa

Per anni il lavoro di Majorana fu trascurato perché la comunità scientifica era invece fermamente convinta che i neutrini dovessero avere massa nulla, e per distinguerli dai neutrini di Majorana, furono chiamati neutrini di Weyl del modello standard. In questo modello il neutrino e l’anti-neutrino sono particelle distinte.

Ettore Majorana 1906 – 1938 (morte presunta)

Inoltre i neutrini di Weyl permettevano matematicamente la conservazione di un certo “numero leptonico” (un numero quantico derivante da una simmetria accidentale, cioè non giustificata teoricamente), il quale era un concetto molto caro ai fisici dell’epoca.
Il neutrino di Majorana avrebbe invece distrutto la simmetria del numero leptonico, per via della sua struttura matematica (campo L più campo C(L)). Un prezzo alto da pagare.

Lo scacco matto: i neutrini hanno massa!

La svolta arrivò con la scoperta del meccanismo di oscillazione dei neutrini. La cosa più importante che devi sapere di questo meccanismo è che letteralmente non potrebbe avvenire se i neutrini avessero massa nulla:

L’oscillazione dei neutrini IMPLICA che i neutrini hanno massa!

Tale fatto era prettamente sperimentale e si traduce nella questione seguente: la massa c’è, ma di che massa si tratta?

Massa di Dirac o massa di Majorana?

  • Una massa di Dirac cioè un neutrino composto da campi L e R che però interagisce solo con L;
    e l’anti-neutrino (distinto dal neutrino) composto anche lui da L e R, ma che interagisce solo con R.
    Le componenti R e L di neutrino e anti-neutrino rispettivamente sarebbero sterili (non partecipano alle interazioni).
  • Una massa di Majorana cioè il neutrino e l’anti-neutrino sono la stessa particella.

La massa di Dirac manterrebbe conservato il numero leptonico, mentre la massa di Majorana no. La massa di Dirac implica l’esistenza di componenti sterili del neutrino (che non partecipano alle interazioni), un fatto abbastanza misterioso. La massa di Majorana non ha bisogno di misteriose componenti sterili.

Conseguenze: la fine di una simmetria

Come possiamo sapere se la massa dei neutrini è di Dirac o di Majorana? Basta cercare un processo di neutrini che comporti la violazione del numero leptonico. Un processo di questo tipo è noto come “doppio decadimento beta senza neutrini” ed è molto raro, cioé molto difficile da rilevare sperimentalmente (vedi esperimento CUORE).

Se si dovesse osservare tale processo si dimostrerebbe una volta per tutte che i neutrini sono particelle di Majorana (a quasi un secolo dalla sua prematura scomparsa) e si aprirebbero nuovi orizzonti oltre il Modello Standard delle particelle: ad esempio la violazione del numero leptonico potrebbe dare nuova linfa ai modelli cosmologici che cercano di spiegare perché ci sia più materia che anti-materia nel nostro universo!


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Come lo spin nasce dalla relatività

Lo spin è uno dei concetti più astratti da capire in un qualunque corso base di scienza dell’atomo. Spesso se ne dà una rappresentazione “intuitiva” o “semi-classica” come il risultato della rotazione della particella intorno al proprio asse, lasciando ai più curiosi tanti, troppi interrogativi.
Un secolo di teoria quantistica dei campi ci ha invece aiutato a comprendere che la “biglia rotante” è solo un’ approssimazione (seppur molto utile) di un concetto dietro al quale si cela praticamente tutta la struttura della nostra realtà: la relatività speciale.

La scoperta che le particelle hanno uno spin è uno dei trionfi della fisica sperimentale, ma come viene interpretato lo spin nella fisica teorica moderna?

Il principio di relatività e la simmetria di Lorentz

La fisica è fatta di fenomenologia, e tali fenomeni sono studiati dagli osservatori, che possiamo essere tutti noi. Possiamo prendere righello e compasso e tracciare la traiettoria di un corpo sulla nostra personalissima cartina di coordinate.
Un osservatore è detto inerziale se può concordare con tutti gli osservatori che si muovono con velocità costante rispetto a lui su un fatto molto semplice: un corpo esente da forze si muove di moto rettilineo uniforme.
Il punto però è che:

Non esiste un osservatore inerziale più speciale di altri

Se io uso la mia cartina di coordinate, e Pino (che si muove con velocità costante rispetto a me) usa la sua cartina di coordinate, dobbiamo concordare sulle leggi della fisica dei fenomeni che stiamo osservando, per cui deve esistere una trasformazione che colleghi le mie coordinate con le sue: una traduzione da una lingua all’altra che preservi la struttura delle leggi fisiche.

Questo è quello che ci disse Galileo con il suo principio di relatività

Due osservatori inerziali descrivono lo stesso fenomeno fisico usando le loro coordinate. La traduzione che lega i due set di coordinate si chiama “Trasformazione di Galileo” e lascia invariate in forma le leggi della fisica.

Dopodiché venne Einstein e si accorse che le trasformazioni di Galileo non lasciavano invariata la velocità della luce vista da osservatori inerziali, e siccome ciò era in conflitto con le leggi dell’elettromagnetismo, Einstein disse che la relatività di Galileo era solo un’approssimazione di un tipo di trasformazioni di coordinate molto speciale: le trasformazioni di Lorentz

Le trasformazioni di Lorentz lasciano invariata la velocità della luce vista da tutti gli osservatori inerziali dell’universo.

Esiste quindi una struttura matematica ben precisa che permette di tradurre un set di coordinate in un altro, e tale struttura matematica lascia invariate le leggi della fisica ed anche la velocità della luce: è la simmetria di Lorentz.


Le leggi di Newton non rispettano la simmetria di Lorentz, perché sono un’approssimazione che rispetta invece la simmetria di Galileo. La relatività di Einstein ci insegna quindi a teorizzare delle leggi che rispettino la simmetria di Lorentz.

La ricerca di leggi che rispettano la simmetria di Lorentz ci ha condotto a nuova fisica e risultati confermati sperimentalmente

Simmetrie e generatori: la teoria quantistica dei campi

Nella fisica ogni simmetria genera una quantità conservata, e tale quantità può essere interpretata, matematicamente, come il generatore della simmetria.

  • La simmetria per traslazioni implica la conservazione della quantità di moto. Matematicamente una traslazione nello spazio può essere generata dalla quantità di moto.
  • La simmetria per rotazioni implica la conservazione del momento angolare. Matematicamente una rotazione nello spazio può essere generata dal momento angolare.
  • La simmetria per traslazioni temporali implica la conservazione dell’energia. Matematicamente l’evoluzione temporale può essere generata dall’energia di un sistema.
  • …..

e così via.
La relatività di Einstein ha postulato che il mondo debba rispettare una simmetria molto speciale: la simmetria di Lorentz. In questo caso la quantità conservata è una sorta di combinazione tra momento angolare e quantità di moto, che diventano quindi i generatori matematici della simmetria.

Questi generatori soddisfano alcune regole di composizione matematica, e tale fatto permette di rappresentarli in alcuni spazi molti speciali di oggetti matematici. Tali oggetti possono poi essere usati per descrivere i campi delle particelle quantistiche.

Il punto è che gli oggetti che vivono negli spazi delle rappresentazioni dei generatori di simmetria, trasformano in un modo ben specifico sotto la simmetria di Lorentz: questo permette di classificarli.

Siccome i fisici classificano le cose in base a come si comportano sotto le simmetrie, questo fatto ha permesso di catalogare tutte le particelle rivelate sperimentalmente.

Lo spin

Le diverse rappresentazioni dei generatori della simmetria di Lorentz possono essere catalogati con degli speciali numeri interi o semi-interi

E sono questi numeri a decidere in che modo speciale deve trasformare l’oggetto delle rappresentazione
j-esima sotto la simmetria di Lorentz.

Il passo successivo è costruire, per ciascun oggetto che trasforma nel suo modo speciale, una teoria invariante di Lorentz: una teoria di campo i cui quanti di eccitazione sono proprio particelle che, sperimentalmente, interagiscono con il mondo proprio in base al numerino speciale j, altrimenti detto spin.

I campi costruiti con gli oggetti degli spazi j descrivono le particelle che conosciamo:

  • Le particelle con spin j=0: come il bosone di Higgs
  • Le particelle con spin j=1/2: come gli elettroni, i protoni ecc.
  • Le particelle con spin j=1: come il fotone.

Lo spin è quindi un modo per dire “come trasforma quella particella sotto simmetria di Lorentz”?

Le rappresentazioni j della simmetria continuano fino a infinito, nulla lo vieta. Tuttavia non abbiamo ancora osservato sperimentalmente particelle elementari con spin superiore a j=1.


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Il paradosso di Putnam: il futuro esiste già rispetto a noi?

In che modo, partendo dalle trasformazioni di Lorentz, possiamo dimostrare che il futuro coesiste con il presente? Per vederlo servono alcune argomentazioni metafisiche, unite a una rapida infarinatura sui diagrammi di Minkowski.
La relatività di Einstein ci ha insegnato a vedere il mondo da un punto di vista geometrico: tempo e spazio diventano un tutt’uno chiamato spaziotempo. In tale contesto il tempo viene misurato come una distanza spaziale semplicemente moltiplicandolo per la velocità della luce “c”. Gli eventi del mondo visto da un sistema di riferimento inerziale possono quindi essere individuati (se consideriamo una sola dimensione spaziale) da due coordinate: ct e x, cioè ci basta sapere quando è successo l’evento (ct) e dove è successo, cioè la posizione (x). L’insieme di tutti gli eventi può essere descritto quindi da un diagramma di Minkowski mostrato in figura 1.

Figura 1: diagramma di Minkowski in dimensione 1+1 (una dimensione spaziale e una dimensione temporale).

In tale diagramma le rette parallele all’asse x sono l’insieme degli eventi che avvengono simultaneamente (cioè ct=costante), mentre le rette verticali sono l’insieme degli eventi che avvengono nello stesso punto (cioè x=costante). Lo spaziotempo di un osservatore situato in O è diviso in 2 macroregioni: il suo futuro assoluto e passato assoluto (cioè ct>0 e ct<0), ciò significa che potrà ricevere segnali solo se da punti spaziotemporali contenuti tra le due bisettrici:

che nel diagramma di Minkowski (x,ct) sono quindi rette inclinate di 45 gradi rispetto all’asse x.

Se consideriamo un secondo osservatore inerziale in moto con velocità v, ci interessa di solito sapere con quali coordinate egli veda il mondo interno a sé, e magari esprimerle in funzione di quello che vede un altro osservatore inerziale (in Fisica è fondamentale saper tradurre cosa vedono due scienziati che usano coordinate diverse per descrivere la stessa cosa).

Come otteniamo questa trasformazione di coordinate tra i due osservatori? Le coordinate (ct’,x’) del secondo osservatore rispetto al primo si ottengono con le trasformazioni di Lorentz

in cui

Assumiamo che v sia la velocità relativa tra i due osservatori inerziali


Come si muove l’origine O’ , e cioè i punti x’=0 e ct’=0 del secondo osservatore, nelle coordinate del primo?
Sostituendo nella trasformazione di Lorentz, la traiettoria di O’ nel diagramma dell’osservatore O (cioè il suo asse verticale x’=0) è rappresentato dalla retta

cioè una retta che ha un’inclinazione 1/β rispetto all’asse x (come se avessimo una retta x=3y sul piano cartesiano (x,y) che ha quindi coefficiente angolare 1/3). Siccome nulla può superare la velocità della luce, è sempre v<c e allora è sempre β<1 , quindi

cioè le traiettorie degli osservatori inerziali sono sempre rette con inclinazione maggiore di 45 gradi, come detto prima (in modo da farle stare all’interno della regione del futuro assoluto).
Il diagramma di Minkwoski del secondo osservatore rispetto al primo sarà quindi dato graficamente da

Il punto focale è proprio il fatto che ora la linea di simultaneità degli eventi per il secondo osservatore è una retta parallela al suo asse ct’=0 (ovvero l’asse x’), ma tale asse ct’=0 ha invece un’inclinazione rispetto all’osservatore originale, cioè non è parallela rispetto al suo asse x, quindi tali eventi non sono simultanei per l’osservatore originale: nella relatività di Einstein gli osservatori non devono per forza concordare sulla simultaneità degli eventi.

Simultaneità e realtà per Putnam

Facciamo ora il gioco metafisico di Putnam per divertirci.

Ipotesi:

Diremo che un evento è ontologicamente reale rispetto a noi, se e solo se questo evento è simultaneo a noi. Questa definizione è piuttosto innocua ed è facile che metta d’accordo tutti. In realtà non è così innocua. Prendiamo un osservatore in moto con velocità v, che al nostro tempo t=0 si trova a una certa distanza da noi, cioè supponiamo che la sua origine O’ sia simultanea rispetto alla nostra origine O.

Come abbiamo visto dalle trasformazioni di Lorentz, gli assi minkowskiani del secondo osservatore sono inclinati rispetto a noi, quindi è possibile che la linea di simultaneità individuata da ct’=0 possa intersecare il futuro assoluto dell’evento collocato in O nel sistema di coordinate originale, ad esempio in un punto A.

Ma ct’=0 corrisponde proprio all’asse x’, il quale include, tra tutti gli eventi, ovviamente anche l’origine O’ . Ma tale origine era per costruzione simultanea a O, quindi se la simultaneità è transitiva allora il fatto che A sia simultaneo ad O’ e che O’ sia simultaneo a O, implica che O debba essere simultaneo ad A, cioè a un evento del suo futuro assoluto.

Per quanto sembri assurda, questa costruzione è geometricamente permessa, come si vede in figura, dalla metrica dello spaziotempo minkowskiano.

Se ora usiamo la condizione di Putnam, cioè che un evento è ontologicamente reale rispetto a noi se e solo se è a noi simultaneo, allora dobbiamo concludere che il nostro futuro esiste già rispetto a noi: futuro e presente coesistono.
Notiamo quindi come un’assunzione innocua, come dire “se un evento è a me simultaneo, allora coesiste con me”, possa portare, nel contesto della relatività, a un paradosso di proporzioni enormi.
L’argomento è più metafisico che fisico, ed è dibattuto ancora oggi nella corrente dell’eternalismo. Per maggiori informazioni su questo affascinante dibattito: Hilary Putnam: Time and Physical Geometry.


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