Cosa possiamo imparare dal diario degli appunti di Feynman

Richard P. Feynman (1918-1988)

Fin da quando ho iniziato il mio percorso nella Fisica sono stato affascinato tanto dalla materia quanto dalle personalità che l’hanno costruita. Anzi, ripensandoci devo ammettere che traevo ispirazione dalle azioni quotidiane, dalle abitudini o dai modi di ragionare dei grandi fisici del passato. Non che volessi “emularli” , semplicemente li ammiravo così tanto da voler portare dei pezzi di loro dentro di me, per sentirli più vicini, per guidarmi nelle decisioni e nella motivazione.

Una parte che trovo estremamente interessante della storia di ogni fisico è il suo metodo di studio, e non di quando era già grande e formato, ma di quando era giusto agli inizi.

Un filo conduttore che ho notato è il seguente: per capire a fondo una materia, devi farla tua. Per fare ciò servono due step fondamentali:

  • Bisogna essere autodidatti per una buona percentuale del tempo. Il professore ha il ruolo di mostrare la via più proficua e fornire gli schemi per aiutarti a non perderti, il resto devi coltivarlo da solo usando dei libri adeguati allo scopo.
  • Dopo aver letto il libro devi estrapolare le tue visioni e i tuoi schemi per poi riorganizzarli come preferisci in forma scritta, su diari o quadernini personali.
Il diario di Feynman: “The Calculus”, in italiano “Il calcolo infinitesimale”.

Uno dei più grandi che seguiva questo metodo era Richard Feynman, celebre fisico teorico americano (Nobel 1965). Ne sono venuto a conoscenza perché sono incappato di recente in un articolo di Physics Today in cui è stato riesumato da un archivio il “diario degli appunti” di quando Feynman decise di imparare il calcolo infinitesimale da autodidatta quando era ancora al liceo.

Il giovane Feynman decise che il curriculum di matematica liceale (che arrivava a stento alla trigonometria) non era abbastanza per chi volesse iniziare ad interessarsi di Fisica. Per sua fortuna il matematico Edgar Thompson decise di scrivere una serie di libri con l’intento di rendere più accessibili alcune tecniche matematiche che all’epoca erano ancora trattate in maniera piuttosto “aulica”. Feynman trovò particolarmente utile il libro di Thompson “Il calcolo infinitesimale reso facile” del 1923, su cui decise di basare tutta la sua preparazione (introduttiva) alla matematica universitaria.

Trovo giusto rimarcare un attimo l’importanza dell’opera di personaggi come Thompson: se Feynman non avesse potuto sviluppare da solo certe attitudini grazie a libri così accessibili, avrebbe magari avuto più dubbi nel suo percorso, e chissà magari non avremmo mai sentito parlare dei “diagrammi di Feynman”.

Cosa possiamo imparare?

Ci sono poche immagini condivise in rete sul diario di Feynman. Tuttavia da quel poco che abbiamo possiamo comunque trarre alcuni spunti interessanti, oltre ad evidenziare alcuni tratti fondamentali che per Feynman diventeranno caratteristici del suo metodo di lavoro.

L’importanza della schematicitià

La cosa che mi ha sorpreso di più di questo diario è anzitutto la presenza di un indice.

L’indice del diario di Feynman. I capitoli sono organizzati in una maniera molto simile a quella del libro di Thompson.

Uno degli ingredienti fondamentali per imparare una materia nuova e complessa è infatti quello di riuscire a organizzare le informazioni in maniera che siano rapidamente accessibili. L’indice è probabilmente il modo migliore per visualizzare graficamente tutti gli aspetti di una materia, e non parlo dell’indice di un libro, ma dell’indice dei propri appunti. Nel mio caso, se i tuoi appunti non hanno un indice è più facile provare un senso di confusione generale quando scorri le pagine. Questo piccolo dettaglio può trasformare una “confusa raccolta” in un serio “arsenale di conoscenze”.
Feynman conservò tutta la vita questa propensione per la schematicità. James Gleick riporta un aneddoto di quando Feynman era ancora studente a Princeton:

[…] Aprì un quaderno degli appunti. Il titolo era “DIARIO DELLE COSE CHE NON SO”. […] Lavorava per settimane per disassemblare ogni branca della Fisica, semplificandone le parti e mettendo tutto assieme, cercando nel mentre inconsistenze e punti spigolosi. Provava a trovare il cuore essenziale di ogni argomento.

James Gleick

Qui non siamo solo davanti a un esercizio “di umiltà” che consiste nel cercare di perfezionare le proprie lacune, ma a una ricerca sistematica, ottimizzata.

Quando Feynman aveva finito il lavoro, si ritrovava con un diario degli appunti di cui andava particolarmente orgoglioso.

James Gleick

La schematicità di questo lavoro permetteva a Feynman di accedere rapidamente a tutti gli argomenti che lui riteneva più importanti, nella grafia e nello stile di presentazione che a lui era più congeniale: il suo.

Da questa lezione possiamo imparare l’importanza della rielaborazione e della schematicità: non solo bisogna far proprio un argomento, ma bisogna organizzare le proprie note in modo che siano accessibili con il minor sforzo possibile, solo così si può andare avanti con una mente abbastanza lucida, pronta ad imparare cose ancora più difficili.

Prendersi un po’ più sul serio

Il secondo aspetto su cui voglio soffermarmi riguarda queste due pagine di appunti:

L’argomento riguarda l’analisi matematica ordinaria: l’angolo iperbolico e le funzioni iperboliche, ma non è questa la cosa interessante, bensì è l’utilizzo di intermezzi stilistici del tipo: “come abbiamo visto”, “se dividiamo…” tutti rivolti al plurale, proprio come farebbe un professore che sta spiegando un argomento in un’aula. Feynman si prendeva sul serio. Questo prendersi sul serio lo portava a redigere gli appunti con uno stile che poteva essere letto da tutti, aumentandone la facilità di lettura e senza sacrificare la rigorosa riorganizzazione delle informazioni.
Ricordiamo: Feynman era appena un adolescente mentre scriveva questo diario, non stiamo parlando di uno studente universitario che si suppone abbia già consolidato certi metodi di studio. Qui sta la precoce genialità di Feynman.

Il diario degli appunti di Enrico Fermi.

Se si vogliono scrivere degli appunti che ci potrebbero essere utili in futuro, bisogna farlo prendendosi sul serio, scrivendo come se dovessimo esporre in un’aula con persone che su quell’argomento non sanno nulla.
Se non si fa ciò, si rischia di ritrovarsi con degli appunti illeggibili presi distrattamente qualche anno prima, con il risultato di aver sprecato ore di studio senza poter riacquisire in maniera rapida le conoscenze dimenticate.

Anche uno dei più grandi fisici del novecento, Enrico Fermi, usò la tecnica del diario degli appunti fin da quando era al liceo. Proprio come Feynman, Fermi era ossessivo nel redigere i propri appunti, dedicandovi una meticolosa attenzione, fin dalla stesura dell’indice:

L’indice di un quaderno di Fermi.

Come testimoniarono i suoi colleghi e amici, Fermi riutilizzava spesso i propri quadernini anche in età adulta, proprio perché gli consentivano l’accesso immediato a numerose branche del sapere, diventando quasi “un’estensione” del proprio cervello.
Di nuovo, la loro efficacia stava probabilmente nel fatto di essere stati scritti in uno stile a lui più congeniale, usando schemi con cui aveva maggiore confidenza. Qualcuno disse che Fermi aveva fatto sua tutta la Fisica, tanto da definirlo “l’ultimo uomo che sapeva tutto“.


PS. ho scritto un libro di testo che rappresenta proprio ciò che avrei desiderato leggere all’inizio dei miei studi di Fisica teorica, per renderla accessibile agli amatori e insegnare le tecniche matematiche necessarie a una sua comprensione universitaria. Si chiama “L’apprendista teorico” , dai un’occhiata per vedere di cosa si tratta. Il libro è acquistabile su Amazon.

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Come l’antimateria nasce dalla relatività

Antiparticella = particella di uguale massa, ma con carica elettrica opposta

Il concetto di antimateria si è imposto praticamente da solo e prepotentemente, senza che nessuno lo abbia cercato di proposito, nel momento in cui sono state unificate meccanica quantistica e relatività ristretta alla fine degli anni ’20. Le prove sperimentali arrivarono fin dai primi anni ’30.
Oggi siamo in grado di produrre antimateria anche a fini medici (si pensi alla PET dove si sfruttano gli anti-elettroni, noti come positroni).

Ha un fascino particolare provare a seguire il percorso concettuale che, dalla relatività di Einstein, ha condotto alla teorizzazione dell’antimateria (dovuta a Dirac).

Facciamo finta di star scoprendo noi stessi il concetto di antiparticella in questo momento, e ripercorriamo tutte le tappe logiche fondamentali in cui potremo apprezzare il ruolo fondamentale giocato dalla teoria di Einstein.

L’energia di una particella

Nella meccanica quantistica ordinaria l’energia di una particella libera avente una quantità di moto p e una massa m si trova inserendo dentro l’equazione di Schrödinger la soluzione di onda piana (che è il modo quantistico di dire “particella esente da forze”). Il risultato è

La relatività di Einstein impone invece che tale espressione matematica per l’energia sia solo la versione approssimata della seguente

c è la velocità della luce

nell’approssimazione di quantità di moto molto piccole rispetto all’energia di massa. Fin qui nessun problema, la Fisica funziona così: quella che oggi sembra la forma definitiva di un’equazione, sarà l’approssimazione della versione più completa scoperta in futuro.

Il vero problema nasce quando si tenta di rendere l’equazione di Schrödinger relativistica

Lo schema è lo stesso: l’equazione non relativistica è solo l’approssimazione di quella relativistica, la quale, ad oggi, è la “vera equazione del moto” in quanto rispetta il principio di relatività di Einstein.

Il principio di relatività cambia la struttura matematica dell’equazione di Schrödinger, e se si prova a calcolare l’energia di una particella libera inserendovi al suo interno una soluzione di onda piana, si ottiene stavolta l’energia in questa forma curiosa e problematica

“Scusa, ma dove sta il problema? Abbiamo appena detto che la vera energia di una particella è data da quell'espressione brutta con m e c al quadrato e così via, non siamo contenti che l'equazione relativistica di Schrödinger restituisca la stessa energia per la particella libera?"

Il punto è che la struttura matematica dell’equazione di Schrödinger relativistica ci pone ora dinanzi a due vie, perché non ci dà l’energia, ma l’energia al quadrato!

Prima o poi nella vita siamo stati tutti mazziati dalla seguente proprietà matematica:

Ora il gioco è lo stesso, per la prima volta in Fisica l’equazione del moto di una particella esente da forze ci impone che l’energia possa essere data sia da un numero negativo che da un numero positivo

“E che ci vuole? Buttiamo via la soluzione negativa come si fa a scuola. Non esistono particelle libere con energia negativa!"

Facciamo però l’avvocato del diavolo e scegliamo di ascoltare la matematica imposta dalla relatività ristretta (ha sempre portato bene nella storia della Fisica!). Facciamo finta che possa esistere una particella ad energia negativa.

Come si comporta una particella di energia negativa?

L’energia in meccanica quantistica è importante perché ci dice come si evolve, nel tempo, la dinamica di una particella. Tale evoluzione è descritta, in soldoni, da

è insomma un esponenziale di un certo numero (di Eulero) avente come esponente il prodotto tra il numero complesso “i”, l’energia “E” e il tempo “t”. Non soffermarti sul perché, non è questo il punto.

Concentrati solo sul fatto che l’evoluzione dipende dal prodotto tra energia e tempo.

Se l’energia di una particella è negativa, il prodotto viene mandato in:

Ed ora è il momento di dire la cruda verità: ai fisici non piace per niente il fatto che le particelle possano avere energie negative, perché ci sarebbero non pochi problemi riguardo alla stabilità stessa della materia (mancherebbe un limite inferiore all’energia, un fatto molto pericoloso perché la natura vuole sempre occupare stati a energia minore).

Ma allora è tutto da buttare?


Continuiamo a fare gli avvocati del diavolo. Forse c’è un modo interessante di interpretare quel segno meno nel prodotto.

Continuiamo a seguire ciò che ci ha insegnato la relatività ristretta sulla struttura spaziotemporale della nostra realtà.

Questione di interpretazione: lo spaziotempo di Einstein

Supponiamo di osservare due eventi (contrassegnati da “1″ e “2″) che accadono in due punti dello spazio e a due istanti di tempo diversi. Li annotiamo sul nostro taccuino come

Ipotizziamo che, secondo noi, l’evento 1 sia avvenuto prima dell’evento 2. Matematicamente chiediamo quindi che sia

Se un altro osservatore in moto con una velocità costante “v” rispetto a noi osserva gli stessi eventi, annoterà anche lui i due eventi sul suo taccuino usando le sue personalissime coordinate

Einstein ci ha insegnato a collegare le due descrizioni dello stesso evento con la seguente trasformazione:

dove “γ” è una quantità positiva che dipende dalla velocità, di cui non devi preoccuparti.

Preoccupiamoci invece di sottrarre le due equazioni di sopra per ottenere la differenza tra gli istanti di tempo dei due eventi rilevati dall’osservatore in moto, rispetto alle nostre coordinate (così per curiosità, perché non farlo?)

La matematica della relatività ci tenta di porre la seguente domanda “e se la differenza tra i due istanti di tempo per il secondo osservatore fosse negativa?”. Ciò si tradurrebbe in:

La seconda condizione è possibile se la velocità del secondo osservatore è tale che

A patto però, come dicono le regole di Einstein, che v non superi la velocità della luce. Cioè deve essere

L’ultima condizione ci dice che la distanza spaziale tra i due eventi deve essere maggiore della distanza percorsa da un raggio di luce (di velocità c) nel tempo che intercorre tra i due eventi stessi. Se gli eventi soddisfano questa particolare caratteristica, allora è possibile trovare un osservatore con una velocità v tale da rendere

ovvero l’ordine degli eventi è invertito per il secondo osservatore: secondo lui è successo prima l’evento “2″ dell’evento “1”.

In relatività ristretta è permesso che l’ordine temporale degli eventi possa essere invertito dal punto di vista di un osservatore in moto

“Aspetta un attimo, ma questo mi consentirebbe di vedere la gallina prima dell'uovo, no? Non c'è un problema di causa-effetto?"

Ottima osservazione, ma non c’è nessun problema! Infatti l’inversione temporale avviene solo per eventi che non possono essere connessi da alcuna relazione causale: non ci può essere trasmissione di informazioni tra eventi che distano nello spazio più della distanza percorribile dalla luce nel tempo che li separa! Lo abbiamo incluso tacitamente nella condizione:

“Ok...e quindi? Cosa c'entrano nella fisica gli eventi senza connessione causale? La fisica è fatta di causalità! Mi pare che tu stia a chiacchierare di metafisica!“

Ora interviene la meccanica quantistica!

Per il principio di indeterminazione di Heisenberg, è possibile che una particella si propaghi da un punto all’altro dello spazio anche se questi due punti non sono connessi causalmente.

Se una particella viene emessa in un punto A ed assorbita in un punto B (e tali punti non sono causalmente connessi per ipotesi) allora un osservatore che si muove con una certa velocità (calcolata sopra), vedrebbe l’assorbimento della particella nel punto B in un tempo che precede l’istante in cui viene emessa nel punto A.

Come si esce da questo paradosso?

L’interpretazione di Feynman-Stückelberg

Il fisico americano Richard Feynman

Torniamo al prodotto tra energia e tempo per quanto riguarda l’evoluzione temporale di una particella. Avevamo detto che se l’energia è negativa abbiamo

Immagina che io ti abbia bendato gli occhi e avessi messo il segno meno davanti al prodotto senza dirti a quale fattore è stato applicato. Potrei benissimo aver cambiato segno a “t” invece che all’energia, senza dirti nulla. Il risultato è a tutti gli effetti equivalente:

Matematicamente non cambia nulla, ma il risultato è rivoluzionario:

Una particella di energia negativa può essere pensata anche come una particella di energia positiva che si muove indietro nel tempo!

Questa è l’interpretazione di Feynman-Stückelberg, i quali volevano cancellare dall’esistenza il concetto di energia negativa. Dal punto di vista delle interazioni tra le particelle, la relatività prevede l’inversione temporale, come abbiamo discusso sopra.

“Ma che senso ha questa propagazione indietro nel tempo? A me pare ancora che si stia parlando di metafisica qui..."

Hai ragione. Infatti bisogna sedersi un attimo e ragionare su cosa significhi, dal punto di vista fisico, l’inversione temporale.

L’interpretazione dell’inversione temporale

Generalmente classifichiamo le particelle in base al modo in cui si comportano nelle interazioni fondamentali. In particolare ci interessa studiarne la traiettoria in una regione in cui è presente un campo elettromagnetico.

L’accoppiamento tra una particella e un campo elettromagnetico ha un nome tutto suo: la carica elettrica “q”.

La forza elettromagnetica su una carica “q” modifica la sua traiettoria accelerandola.

Le particelle descrivono traiettorie in una certa direzione, in base al segno della carica “q”, che può essere positivo o negativo.

Tra tutti i simboli dell’equazione appena scritta, concentriamoci solo sul tempo “τ“. Ci sono solo due termini che contengono il tempo esplicitamente, ed entrambi si trovano al denominatore ed appaiono come

Se invertiamo il tempo, otteniamo che il termine a sinistra non cambia (essendo un quadrato). Quindi cambia solo il secondo e si ha

Quindi sotto inversione temporale compare un segno meno globale per tutta l’equazione.
Ora immagina di nuovo che io ti abbia bendato gli occhi e avessi fatto spuntare fuori questo segno meno senza dirti che ho invertito il tempo. Potresti benissimo interpretare il segno meno in questo modo

Dal punto di vista sperimentale, l’effetto è quello di aver invertito il segno della carica elettrica. Le equazioni del moto relativistiche ci dicono che invertire il tempo si traduce, sperimentalmente, come il moto di una particella di carica elettrica opposta.

Una particella di energia positiva che si muove indietro nel tempo può essere interpretata come una particella di energia positiva, ma con carica opposta, che si muove avanti nel tempo.

Ecco che sparisce tutta la stranezza dell’inversione temporale! Ed ecco cosa ci ha insegnato la relatività ristretta applicata alla meccanica quantistica!

Le particelle ad energia negativa possono essere interpretate come delle particelle ad energia positiva che si muovono avanti nel tempo, ma che hanno carica opposta.

Oggi abbiamo un nome particolare per questo tipo di particelle che differiscono dalle particelle originali solo per il segno della carica elettrica e degli altri numeri quantici: le antiparticelle.

Una particella di energia negativa può essere interpretata come un’antiparticella di energia positiva che si muove, come tutte le altre particelle, avanti nel tempo. L’antiparticella differisce dalla particella solo per il segno della carica elettrica e di altri numeri quantici.

In questo modo abbiamo risolto anche il paradosso enunciato sopra:

Mettiamo che io veda una particella emessa in un punto A ed assorbita in un punto B. Come ci dice la relatività un altro osservatore potrebbe invece vedere una particella assorbita in B in un istante che precede la sua emissione nel punto A (se A e B non sono connessi causalmente). Ma ora sappiamo che ciò equivale ad osservare una particella di carica opposta che viene emessa in B ed assorbita in A. La causalità è salva.


PS. ho scritto un libro di testo che rappresenta proprio ciò che avrei desiderato leggere all’inizio dei miei studi di Fisica teorica, per renderla accessibile agli amatori e insegnare le tecniche matematiche necessarie a una sua comprensione universitaria. Si chiama “L’apprendista teorico” , dai un’occhiata per vedere di cosa si tratta. Il libro è acquistabile su Amazon.

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