Si sente spesso dire che la Fisica non cambia se si inverte la freccia del tempo. Ne ho anche parlato di recente in un articolo sulla gravità.
La nostra esperienza quotidiana però è ben diversa: un cubetto di ghiaccio si scioglie se esposto a una temperatura più alta, e anche abbassando di nuovo la temperatura l’acqua si solidificherà, ma non riassumerà mai la forma iniziale. Fatti analoghi a questo, da millenni, ci hanno convinto che esista una direzione ben definita del tempo, un passato realizzato e un futuro da realizzarsi. La morte ne è solo l’esempio emotivamente più eclatante.
Come conciliare le due cose?
Come possiamo dire che le leggi della fisica sono in gran parte soddisfatte sia dalle equazioni con il tempo normale, sia dalle equazioni con il tempo invertito (), ma poi rimangiarci tutto e dire che in realtà il mondo funziona in una sola direzione e mai in quella opposta?
Il problema è il calcolo
Immagina una scatola che contiene N particelle che interagiscono tra loro in maniera molto complicata. In linea di principio, tramite la Fisica saremmo in grado di calcolare posizioni e velocità di tutte le particelle a ogni istante di tempo (ricorda: 3 coordinate spaziali per ciascuna dato che viviamo in un mondo tridimensionale, e 3 coordinate per la velocità per lo stesso motivo).
Ad esempio siamo interessati a questo problema: tracciando una linea immaginaria che divide in due parti la scatola, vorremmo capire quante particelle staranno a destra e a sinistra di questa linea in un certo intervallo di tempo in cui ci mettiamo ad osservare la scatola.
In totale quindi abbiamo da calcolare coordinate di cui vogliamo sapere l’andamento nel tempo per poter predire dove si troverà ciascuna particella. Ognuna di queste coordinate potrebbe essere dipendente da qualsiasi altra per via delle interazioni tra le particelle, e il problema diventa immediatamente molto complesso dal punto di vista del calcolo numerico.
Come rimedio possiamo fare delle assunzioni ragionevoli. Si tratta di buonsenso. Si preferisce ottenere la massima resa con il minimo sforzo (essendo il mondo dannatamente complesso di per sé).
Anzitutto semplifichiamo il problema, per capirci meglio. Trattiamo solo 2 particelle interagenti (distinguibili tra loro).

La domanda che ci facciamo è: se osserviamo la scatola per un tempo , quanto spesso vedremo le particelle a sinistra o a destra della linea immaginaria?
Facciamo un’altra assunzione ragionevole: supponiamo che queste 2 particelle interagiscano poco, così da non turbarsi troppo a vicenda. Concentriamoci sul numero di particelle in un lato della scatola.
In un determinato lato ci potranno essere al massimo due particelle, e al minimo nessuna (,
). Può anche esserci una sola particella per lato, e dato che sono distinguibili questo può avvenire in due modi: la blu a sinistra, la arancione a destra, o viceversa.
In totale abbiamo quattro configurazioni possibili, mostrate in figura.

Dal punto di vista del numero, entrambe le configurazioni “arancione a destra e blu a sinistra, e viceversa” conducono alla stessa risposta: una sola particella in un determinato lato, . In Fisica questa proprietà è nota come degenerazione degli stati: lo stato a
particelle per lato ha degenerazione pari a 2, la indichiamo col simbolo
.
Siccome assumiamo che interagiscano poco, e che la scatola sia perfettamente simmetrica tra destra e sinistra, ciascuna avrà una uguale probabilità di trovarsi in uno dei due lati, ovvero (o il
).
Il fatto che si influenzano pochino ci permette di dire che la probabilità per ciascuna configurazione mostrata in figura sarà il prodotto delle singole probabilità, cioè .
Tuttavia la configurazione a una particella per lato compare due volte (degenerazione), quindi la probabilità per questa particolare configurazione è data da .
Ci sono più modi equivalenti di ottenere lo stesso stato macroscopico (), quindi è più probabile degli stati a
e
.
La degenerazione controlla quanto è grande la probabilità di un certo stato macroscopico.
Per fissare le idee, in generale per esprimere la probabilità di avere
particelle in uno dei due lati è:
in cui, come abbiamo detto, e
.
Facciamo ora un bel salto: passiamo da particelle a
particelle. La probabilità di avere
particelle in un lato, e
nell’altro, è una generalizzazione della formula precedente:
dove adesso la degenerazione è data da:
Nota che quei punti esclamativi non sono estetici, è un’operazione chiamata “fattoriale” (,
e così via. Una particolarità buffa è che per definizione
).
Ora chiediamoci: qual è la configurazione che ha la più alta probabilità di verificarsi? Il buonsenso ti avrà suggerito bene:
particelle a destra ed
particelle a sinistra. Se tutto è all’equilibrio, lo stato in cui metà delle particelle occupano ciascun lato è ovviamente quello che osserveremo di più nel lasso di tempo
in cui stiamo monitorando la scatola.
Il punto però è il seguente: la quotidianità, la vita e l’universo stesso, sono sistemi che in generale sono fuori dall’equilibrio. Ciascun processo della nostra esistenza consiste in una transizione da uno stato fuori equilibrio a uno stato con maggiore equilibrio, in un processo che va all’infinito.
Qual è la probabilità che tutte le N particelle stiano in un solo dei due lati della scatola? Sicuramente sarà più piccola, ma perché? Semplicemente ci sono meno modi di realizzarla rispetto alle altre, in particolare c’è un solo modo! Ricorda infatti che è la degenerazione che fa aumentare la probabilità.

Quanto sarà piccola questa probabilità? Qual è la probabilità per la configurazione a ? Poniamo
nella formula data sopra:
Se è un numero molto grande, questa probabilità è insignificante. Questa è la chiave di tutto il discorso. Anche solo per
la probabilità è minuscola
, figuriamoci per un numero di Avogadro! (
).
Immaginiamo quindi che il sistema sia inizialmente fuori dall’equilibrio, cioè che la scatola sia divisa in due parti da una paratia che teniamo abbassata. Una volta alzata la paratia, le particelle saranno libere di distribuirsi alla ricerca di un nuovo equilibrio, distribuendosi in parti eguali a sinistra e a destra.

Spontaneamente, le particelle passano da sinistra verso destra. Passato (figura sopra), e futuro (figura sotto) sono ben distinti. Nella tua vita non vedrai mai accadere il contrario.
Occhio però: non sono le leggi fondamentali della Fisica a proibirlo, queste funzionano perfettamente anche al contrario nel tempo. Lo stato con tutte le particelle a sinistra appartiene anche lui all’insieme degli stati “esplorabili” dal sistema.
Per questo motivo la configurazione in cui tutte le particelle stanno a sinistra può ricapitare, ovviamente. Tuttavia la probabilità che ciò accada è pari a come abbiamo visto, cioè estremamente piccola.
In questo senso c’è una distinzione netta tra uno stato iniziale e uno stato finale, una direzione del tempo ben distinta: le particelle non si distribuiranno praticamente mai più nella configurazione iniziale (che corrisponderebbe a un’inversione di quell’illusione che chiamiamo freccia del tempo).
Quel “praticamente” non vuol dire “impossibile”, vuole solo dire una “probabilità così piccola da essere considerabile come impossibile”.
In ciò sta la distinzione tra reversibilità delle leggi del moto e la vita reale: nel grande numero di componenti del sistema che costituisce l’universo, in questo fatto del “contare le configurazioni”, che da noi è stato chiamato per millenni, ingenuamente, “freccia del tempo”.
Bibliografia
Coniglio, A. “Reversibilità e freccia del tempo” Giornale di Fisica Vol. LXI, N.2
Lebowitz, J.L., Physica A, 194 (1993)
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