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La Matematica di come diventiamo bravi in qualcosa

5 Aprile 2022by matteoparri4 Comments

Spesso mi viene chiesto se la Fisica possa essere imparata da tutti, e quasi sempre ho la stessa difficoltà nel formulare una risposta.

Ovviamente mi viene da dire “Certo che sì, non c’è nulla di speciale, basta applicarsi con costanza“, ma dentro di me so che la parola cruciale è “costanza“: come per tutte le discipline la differenza sta nel reale interesse. Tutti possiamo imparare tutto, il punto è che tutti (com’è naturale) prima o poi scegliamo solo una tra le tante possibilità. La vita è una sola e quindi sarebbe poco pratico investire energie in più interessi.

La formulazione più corretta della mia risposta sarebbe quindi “Basta avere l’interesse, dopodiché bisogna riporre fiducia nella costanza della pratica”. Qui molti storcono il naso: “Devi esserci nato con la passione per la Fisica, non è per tutti, è roba poco accessibile”.

Quello della passione è in realtà un falso mito, e il discorso può essere applicato non solo alla Fisica, ma a tutte le discipline e tutti gli hobby che cerchiamo di imparare: sono infatti convinto che per diventare bravi in qualcosa bastino due ingredienti:

L’interesse.
La fiducia nella costanza.

L’autosabotaggio del cervello

Capita a tutti di avere, in qualcosa di specifico, abbastanza interesse da volerne sapere di più e imparare. Non sempre riusciamo a trovare la motivazione per dedicarci a questo interesse, semplicemente perché il cervello si lascia spaventare dalla mole necessaria di lavoro.
In sostanza ho imparato che in questi casi il cervello individua due macro-stati di esistenza:

1) Ciò che so ora
2) Ciò che saprò quando avrò “finito” di imparare

questa suddivisione innaturale elimina tutto quello che sta in mezzo, e cioè il processo stesso dell’imparare.
Il cervello si spaventa perché “imparare a fare quella cosa” diventa all’improvviso una montagna da scalare e non un semplice sentiero da percorrere in leggera pendenza. Diversamente, l’arte dell’apprendimento segue la stessa filosofia degli scalatori: guarda il sentiero, non la cima della montagna!

Inoltre la suddivisione elimina un prerequisito fondamentale dell’animo dello studente: non c’è mai fine all’apprendimento, e “imparare a fare qualcosa” non è un obbiettivo, ma un percorso, uno stato dell’esistenza.

Ho letto in giro che il primo passo per imparare qualcosa è togliere pressione da se stessi.
Bisogna cioè trasformare il nostro modo di formulare gli obbiettivi: passare da questa affermazione: “imparerò a suonare la chitarra” a quest’altra: “dedicherò qualche ora alla chitarra, perché mi piace”.
Questa trasformazione fa la differenza perché toglie tanta pressione al cervello.
Rimane però la questione annosa a cui siamo ben familiari: ma quanta fatica devo fare prima di vedere progressi in ciò che imparo?

Perché non faccio progressi?

Chiaro che non si possa ignorare il fatto che ci piace praticare solo ciò che ci dà un minimo di soddisfazione. Come si fa a “guardare solo il percorso” se non si vedono progressi immediati? È chiaro che si arrivi a credere di non essere portati se si osserva solo una minima percentuale di miglioramento.
Siamo campioni del mollare appena le cose non procedono come ci aspettiamo.

Il punto è che bisogna “imparare anche come impariamo”.

Ho preso ispirazione da un articolo di James Clear, in cui si evidenziava come le nostre aspettative sull’apprendimento siano completamente irrealistiche. Provo a riformulare il ragionamento nello stile che preferisco io. Iniziamo con un’affermazione su cui penso si possa concordare facilmente:

Ogni volta che facciamo pratica, miglioriamo dell’1% rispetto a prima.

Questa dell’1% è la nostra assunzione fondamentale su un modello dell’apprendimento molto semplificativo, non per forza realistico, ma che rende l’idea degli ordini di grandezza (è il modus operandi dei fisici).

Il punto è che è proprio quel 1% che ci scoraggia: ai nostri occhi è troppo poco!

Immaginiamo però di fare pratica “n“-volte su qualcosa che vogliamo imparare, e indichiamo con “B_i” la nostra bravura al tentativo “i“-esimo. All’inizio siamo completamente ignoranti perché abbiamo fatto zero tentativi, quindi la nostra bravura sarà indicata con “B₀“. Dopo un tentativo, siamo migliorati solo dell’1% rispetto a prima. In formule ciò significa che la nostra bravura “B₁” dopo il “tentativo 1″ sarà

*Dopo 1 tentativo saremo l’1% più bravi di prima*

Ora la nostra bravura è “B₁“, per cui la prossima volta che faremo pratica miglioreremo ancora dell’1%, ma stavolta la nostra base di partenza è “B₁” quindi al tentativo “2″ la nostra bravura “B₂” sarà

Dopo 2 tentativi saremo l’1% più bravi di prima, **ma ora non stiamo partendo da zero!**

Detta così non sembra chissà cosa, ma ricordiamoci da dove siamo partiti: bisogna confrontarsi con la propria bravura di partenza “B₀” inserendo l’espressione di “B₁” nell’equazione precedente:

*Al secondo tentativo siamo più bravi di un fattore (1.01)²=1.0201*

Al secondo tentativo saremo un fattore (1.01)²=1.0201 più bravi del nostro stato iniziale, cioè un miglioramento del 2.01%.
D’altronde che ci aspettavamo? Se migliori dell’1% a ogni tentativo, è chiaro che dopo due tentativi sarai migliorato del 2%! Invece è proprio qui che la matematica degli esponenziali prende il sopravvento: nota che non siamo migliorati del 2%, ma del 2.01%, quel 0.1% in più fa tutta la differenza del mondo.

Magia esponenziale

Applicando “x“-volte lo stesso ragionamento, dopo “x“-tentativi saremo più bravi di un fattore:

Ad esempio al decimo tentativo non saremo migliorati del 10%, ma un po’ di più, perché (1.01)¹⁰ rappresenta invece un miglioramento del 10.46%. Sembra ancora molto poco, eppure le cifre decimali stanno crescendo abbastanza in fretta grazie al modello esponenziale.
Tuttavia il nostro cervello penserà di aver capito la matematica: “sì va bene, la nostra bravura crescerà, ma crescerà sempre molto poco, è intuitivo”. Il cervello ha un modo di ragionare lineare: “se sono migliorato di poco le prime volte, allora migliorerò di poco anche tutte le volte successive!”. In questo ragionamento si trascura però un punto fondamentale: ogni volta che facciamo un nuovo tentativo non stiamo più partendo da zero, ma stiamo accumulando esperienza dai tentativi precedenti. Il cervello non è bravo a capire questo dettaglio.
Per questo motivo ci immaginiamo che il grafico del progresso sia una retta y=mx:

*Quello che ci immaginiamo quando stiamo imparando qualcosa di nuovo: il nostro cervello ragiona in maniera lineare*.

Quindi il cervello si immagina che la differenza tra i nostri stati di bravura finale e iniziale stia in proporzionalità diretta con il numero di tentativi “x“, cioè “B_x-B₀=0.01x”, (dove 0.01 è il miglioramento del 1%) che ha il seguente grafico:

*Il grafico “mentale” che ci suggerisce di smettere di imparare: meglio lasciar stare, non si migliorerà mai.*

Il punto cruciale è che questo grafico non è un modello sufficientemente realistico dell’apprendimento: ogni volta che impari un po’ di più, non stai partendo da capo! Un modello più realistico che tiene conto di ciò è invece quello esponenziale che abbiamo visto sopra, anche se è difficile accorgersi della differenza almeno all’inizio. Ciò è evidenziato nel seguente grafico in cui confronto i due modelli di crescita (esponenziale e lineare) fino a un numero 70 di tentativi:

*I due andamenti (quello mentale e quello reale) sono quasi indistinguibili nei primi 70 tentativi. Il nostro cervello è bravo ad approssimare la realtà, ma qualcosa succede dopo il numero 70…*

Anche se teniamo in conto di “non partire sempre da zero” e usiamo il modello di crescita esponenziale, i progressi che facciamo sono abbastanza trascurabili, almeno fino al tentativo 70, dopodiché entra in gioco la magia dell’esponenziale! Il grafico in rosso inizia a crescere leggermente di più del grafico in blu. Se aumentiamo ancora il numero di tentativi, arriviamo a questo risultato spettacolare:

*Dopo tantissimi tentativi, i miglioramenti rispetto al nostro stato iniziale schizzano alle stelle. L’andamento è esattamente analogo a quello dell’**interesse composto**.*

Riflettiamo un attimo davanti a questo grafico: noi tutti siamo soliti mollare la pratica ben prima del settantesimo tentativo, proprio perché osserviamo pochissimi progressi rispetto al nostro stato iniziale. Spesso ci sembra anzi di fare passi indietro, vuoi per via della scarsa memoria, vuoi perché semplicemente abbiamo capito male qualcosa che pensavamo di aver capito. Il punto è che i miglioramenti arrivano solo dopo centinaia e centinaia di tentativi: ad esempio dopo aver praticato qualcosa 300 volte, migliorando dell’1% ogni volta, arriviamo a diventare più bravi circa del 1878%!

Ne deduciamo che in molte cose della vita non è solo il talento innato che ci permette di fare progressi.
Ovviamente se uno ha un talento innato non migliorerà dell’1% ogni volta, ma magari del 3%. Poco importa, vorrà dire che per diventare eccellente farà 200-300 tentativi in meno di noi, il punto è che compararsi con gli altri ha poco valore nel momento in cui ci concentriamo nel percorso dello scalatore: il fine non è imparare “la cosa” in particolare, ma godersi il sentiero.

*In verde: una persona che migliora del 3% ogni tentativo. In rosso: una persona che migliora del 1% ogni tentativo.*

*Se ti interessa la Fisica, iscriviti alla newsletter mensile! Ho pensato di scrivere una guida-concettuale di orientamento per aiutarti a capire da dove studiare.*

Questo discorso mi ha portato a ragionare su un aspetto importante: nella vita possiamo potenzialmente scegliere qualunque lavoro vogliamo, indipendentemente dai nostri talenti (a meno che quel lavoro non ci faccia proprio ribrezzo). Il punto sta nel capire quanti tentativi siamo disposti a fare prima di raggiungere un livello che pensiamo possa essere redditizio.
La volontà, dopo un lungo cammino, ci porta dovunque. Il talento ci porta dovunque, in aereo.

Per quanto riguarda ciò di cui mi occupo io, mi verrebbe da dare proprio questa risposta:
“Ok, ti piace la Fisica e vorresti impararla come hobby, ma quanti tentativi saresti disposto a fare? Pensi che se non migliorerai subito entro qualche mese sarà il caso di mollare? Pensi che sia necessario passare notte e giorno sui libri per tutto il resto della tua vita per vedere un miglioramento del 30%?”

Siamo ossessionati dal successo immediato, quindi l’idea di studiare una materia complicata si trasforma subito in una questione di vita o di morte: “Non ho il talento, per capirci qualcosa dovrei dedicarci il 90% della mia giornata!”, la mia risposta invece è “Non è umanamente possibile pretendere di dedicare a un hobby una percentuale così grossa dell’esistenza quotidiana, ma è certamente possibile migliorare di una percentuale insignificante, tipo l’1%, ogni mese per tutto il resto della propria vita”.
L’elefante si mangia a pezzetti.

PS. ho scritto un libro di testo che rappresenta proprio ciò che avrei desiderato leggere all’inizio dei miei studi di Fisica teorica, per renderla accessibile agli amatori e insegnare le tecniche matematiche necessarie a una sua comprensione universitaria. Si chiama “L’apprendista teorico” , dai un’occhiata per vedere di cosa si tratta. Il libro è acquistabile su Amazon.

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Il Teorema “CPT”, o il motivo per cui un anti-universo sarebbe indistinguibile dal nostro

22 Marzo 202215 Gennaio 2023by matteoparriLeave a comment

Ci sono pochi argomenti che fanno da musa ispiratrice sia per i fisici teorici che per i fisici sperimentali. Le simmetrie discrete rappresentano una guida importantissima con cui interpretiamo i risultati sperimentali e con cui strutturiamo la forma matematica delle teorie, perché hanno la capacità di predire “cosa è concesso e cosa è vietato”.

Vuoi osservare il decadimento di una particella e non sai quali proprietà aspettarti dai suoi prodotti di decadimento? Argomenti di simmetria scarteranno alcune tra le varie possibilità, permettendoti di focalizzare le tue misure su altre proprietà.
Vuoi scrivere una teoria che descrive l’interazione nucleare? Sappi che gli esperimenti non hanno mai osservato la violazione di una certa simmetria “A”, quindi assicurati che le tue equazioni abbiano la stessa simmetria!

Quando diciamo “il sistema ha una simmetria” dobbiamo prima specificare rispetto a quale trasformazione. Infatti una simmetria è sempre preceduta da una trasformazione, altrimenti dire “simmetria” perde ogni significato. (Per un’introduzione al concetto di simmetria rimando a un precedente articolo).

Non tutte le trasformazioni sono una simmetria di un certo sistema. Ciò non è un problema: in ogni caso abbiamo scoperto che è molto comodo catalogare gli oggetti in base al loro comportamento sotto determinate trasformazioni.
Ad esempio la freccia in figura possiamo chiamarla “generica freccia bianca con punta a destra”

Potremmo decidere arbitrariamente di studiare il comportamento di questa freccia sotto alcune trasformazioni interessanti: ad esempio la trasformazione “inversione speculare” trasforma la freccia in quest’altra:

L’oggetto ottenuto non è lo stesso di prima, ora la freccia ha la punta verso sinistra: diremo che “la riflessione speculare non è una sua simmetria della freccia”. Pazienza! Non tutto può essere simmetrico.
Abbiamo comunque imparato qualcosa di nuovo: possiamo dare un nuovo nome a questo sistema: tipo “freccia bianca che sotto riflessione va nel suo opposto“. Questo modo di chiamare un oggetto in base a come si comporta sotto una trasformazione è ciò che facciamo per catalogare le particelle e le interazioni fondamentali del Modello Standard.

Il Modello Standard è caratterizzato da tre simmetrie fondamentali: la simmetria di Lorentz (le leggi della Fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali, o in altri termini, sono simmetriche sotto una trasformazione di Lorentz), la simmetria di gauge (gli oggetti matematici della Fisica presentano più variabili di quelle fisicamente necessarie), e la simmetria CPT. Le prime due sono abbastanza astratte rispetto all’ultima, su cui ci concentriamo oggi.

La simmetria “CPT” evidenzia un fatto importantissimo della nostra realtà: le leggi della Fisica rimangono inalterate se applichiamo tutte e tre le seguenti trasformazioni:

Inversione spaziale “P”
Inversione di carica “C”
Inversione temporale “T”

Le trasformazioni P, C, T sono chiamate in gergo “simmetrie discrete”. Svisceriamole una ad una.

La simmetria P: inversione spaziale

L’inversione spaziale, altrimenti nota come “trasformazione di parità” consiste nell’invertire tutte e tre le direzioni spaziali: le coordinate cartesiane (x,y,z) vengono mandate in (-x,-y,-z).
Per visualizzare meglio questa trasformazione, considera una freccia in tre dimensioni, ad esempio dotata di un certo spessore, una punta e due facce rettangolari. Chiamiamo “A” e “B” le due facce di questa freccia.

*Le due facce “A” e “B” della stessa freccia.*

Visualizziamo la freccia in una certa posizione iniziale, ad esempio disponiamola con la faccia “A” rivolta verso di noi (quindi la faccia “B” è rivolta verso la pagina di questo articolo), e la punta è rivolta verso destra.
Per ottenere una trasformazione di parità eseguiamo due step: anzitutto ruotiamo di 180 gradi la freccia attorno alla direzione della sua punta ed infine invertiamo la punta. Infatti così facendo abbiamo mandato la faccia “A” nel suo opposto (cioè la faccia B), poi abbiamo invertito il basso con l’alto, ed infine abbiamo invertito la destra con la sinistra. Gli step sono illustrati in figura

Una trasformazione di parità della freccia. Dall’alto verso il basso: la freccia nella sua posizione iniziale, la freccia dopo una rotazione di 180 gradi attorno alla direzione della sua punta, e poi l’inversione della punta nell’ultimo step.

Nota bene, una trasformazione di parità è ben diversa da una trasformazione “speculare”. Non è come vedere la freccia davanti a uno specchio!

*Una trasformazione speculare della freccia.*

Spesso invece capita di sentire che l’inversione spaziale corrisponde a “vedere l’universo attraverso uno specchio”, come mai questa inesattezza?
Immagina per un attimo se la freccia avesse due facce uguali e non ci fosse modo di distinguere il basso dall’alto, in quel caso la riflessione speculare e la trasformazione di parità coincidono!

Questo perché la freccia iniziale era simmetrica sotto una rotazione di 180 gradi rispetto alla direzione della punta (quindi il primo step della trasformazione di parità la lascia invariata). Moltissimi sistemi fisici di interesse godono di una simmetria sotto rotazioni attorno a una certa direzione, per cui non è così scorretto dire che l’inversione spaziale “coincide” con l’osservare l’universo allo specchio.

"Però mi sfugge cosa c'entri con la Fisica tutto questo discorso sull'inversione dello spazio. Cosa gliene frega alle particelle se prendo gli assi cartesiani in un verso o nell'altro?"

Magari non è immediato vederlo, ma la connessione è piuttosto profonda e ha a che fare con le interazioni fondamentali.

In particolare ha a che fare con il modo con cui scriviamo le teorie della Fisica.
Se le evidenze sperimentali suggeriscono ad esempio che un processo ha la stessa probabilità di avvenire in una direzione rispetto alla direzione opposta, allora sarà meglio che la teoria sia simmetrica sotto una trasformazione di parità dal punto di vista matematico! Lo schema di queste ragionamento è il seguente:

Per fare un esempio consideriamo la teoria di Dirac per un fermione di massa m. Nella teoria il termine di massa è scritto accoppiando i campi ψ del fermione nel seguente modo:

La trasformazione di parità dei campi fermionici si ottiene moltiplicandoli per una matrice detta “di Dirac”: γ⁰

*Trasformazione di parità per i campi fermionici. La matrice di Dirac è caratterizzata dall’equazione (γ⁰)² =1, cioè il suo quadrato è uguale all’identità.*

A questo punto mostriamo che il termine di massa della teoria di Dirac è invariante sotto parità:

La trasformazione di parità dei campi fermionici lascia invariato il termine di massa grazie al fatto che (γ⁰)² =1. La teoria di Dirac è costruita in modo da essere invariante sotto parità (ciò era suggerito dagli esperimenti).

In teoria nulla garantisce che le leggi della Natura siano invarianti sotto inversione spaziale, è una nostra assunzione ragionevole, confermata dalla maggior parte dei risultati sperimentali e per la maggior parte delle interazioni fondamentali.
Negli anni 50′, con grossa sorpresa, si scoprì che la nostra assunzione non corrispondeva alla realtà.

L’interazione debole e la violazione della parità

È arcinota l’importanza dei vettori nella Fisica. Siccome i vettori sono quantità riferite agli assi cartesiani, invertire gli assi con una trasformazione di parità invertirà anche i vettori.
Un vettore r verrà mandato nel suo opposto –r in seguito a una trasformazione di parità. Se però consideriamo il prodotto di due vettori, ad esempio come il momento angolare L=rxp , sotto una trasformazione di parità si ha

I segni meno si cancellano e il momento angolare rimane uguale a se stesso, non si inverte.

Un giroscopio davanti a uno specchio. L’asse di rotazione del giroscopio è perpendicolare alla superficie dello specchio: il verso di rotazione rimane inalterato nella riflessione.

Ciò si capisce intuitivamente se pensiamo a un sistema invariante sotto rotazioni e caratterizzato da un asse di rotazione, come un giroscopio. Per questo oggetto la trasformazione di parità equivale alla riflessione speculare (come precisato sopra). Se mettiamo un giroscopio rotante davanti allo specchio, il suo verso di rotazione non viene invertito: se gira in senso orario nel “nostro mondo”, continuerà a girare in verso orario anche nello specchio.

Fatta questa premessa, consideriamo uno degli esperimenti cruciali nella Fisica delle particelle: l’esperimento di Wu (1956).
Nell’esperimento di Wu si considerò un particolare decadimento nucleare del Cobalto-60, che provocava l’emissione di elettroni e antineutrini.
Tramite l’accensione di un campo magnetico, il team di Wu orientò gli spin dei nuclei di Cobalto in una direzione privilegiata, proprio come si farebbe con degli aghi magnetici. Per la conservazione del momento angolare, gli spin dell’elettrone e dell’antineutrino emessi dovevano avere lo stesso orientamento spaziale degli spin dei nuclei di Cobalto.
L’obbiettivo dell’esperimento era di seguire le traiettorie degli elettroni e vedere quale direzione prendessero rispetto allo spin del nucleo decaduto. Dopo un po’ di raccolta dati, si scoprì che gli elettroni avevano una direzione preferita di emissione: opposta allo spin nucleare. L’informazione raccolta sulla Fisica del problema era l’osservazione sperimentale: “la direzione preferita di emissione da parte degli elettroni è quella opposta allo spin del nucleo.”

Di primo acchito questa osservazione non sembra presentare nulla di problematico. Consideriamo però una trasformazione di parità: lo spin nucleare (essendo analogo a un momento angolare) viene mandato in se stesso come abbiamo visto, ma la direzione di moto degli elettroni viene invertita. Quindi in un mondo speculare (con asse di riflessione coincidente con quello dello spin) la conclusione dell’esperimento è che la direzione di emissione preferita da parte degli elettroni è quella concorde allo spin del nucleo.

Sotto una trasformazione di parità le conclusioni sperimentali sono diverse, in netta contrapposizione l’una con l’altra! Per la prima volta nella storia della Fisica una conclusione sperimentale è modificata da una trasformazione di parità, cioè la parità NON è una simmetria del sistema!

Perché la parità potesse essere una simmetria del sistema, ci saremmo aspettati tanti elettroni emessi nella direzione dello spin nucleare, quanti emessi nella direzione opposta. Ciò non è quello che si osserva, per cui siamo portati alla conclusione che la parità non è una simmetria fondamentale della natura, nonostante sia una simmetria delle forze nucleari e delle forze elettromagnetiche.

Interpretazione dell’esperimento di Wu

L’interpretazione dell’esperimento fu la seguente: esiste un’interazione fondamentale capace di far decadere un nucleo emettendo elettroni e antineutrini (oggi nota come interazione debole) che non è simmetrica rispetto a una trasformazione di parità. La parità NON è più una simmetria fondamentale della Natura.
L’universo visto allo specchio ha un comportamento diverso se si considerano i decadimenti deboli di alcuni nuclei. Questa distinzione fu abbastanza sconcertante e i fisici dell’epoca rimasero piuttosto sorpresi.

La simmetria C: inversione di carica

*La trasformazione matematica di un elettrone in un positrone.*

Una trasformazione di inversione di carica viene effettuata sulle funzioni d’onda che descrivono le particelle.
Le funzioni d’onda possono essere caratterizzate da numeri quantici come: carica elettrica, numero leptonico, numero barionico e numero leptonico di sapore.
L’inversione di carica, come suggerito dal nome, inverte tutti questi numeri quantici: non solo la carica elettrica, ma anche numero leptonico, numero barionico e sapore!

Ad esempio l’inversione di carica su un elettrone lo trasforma in un positrone (cioè una particella con stessa massa, ma carica elettrica opposta e numero leptonico opposto). Quindi effettivamente l’inversione di carica trasforma una particella nella sua anti-particella (per un resoconto su come siamo arrivati a teorizzare le antiparticelle rimando a un precedente articolo).

D’altra parte, una particella senza carica elettrica e senza altri numeri quantici (come il fotone) viene mandato in se stesso da questa trasformazione: il fotone è l’antiparticella di se stesso.

Per la maggior parte dei processi fisici, l’inversione di carica C è una simmetria: potremmo sostituire tutte le particelle del processo con le rispettive antiparticelle e il processo rimarrebbe lo stesso (stesse previsioni teoriche e stessi risultati sperimentali).
Ancora una volta fa eccezione l’interazione debole: per questa interazione entrambe le trasformazioni P e CP (combinazione di C e P) non sono una simmetria. Si pensa che questo fatto sia la risposta al quesito: perché il nostro universo è composto per la maggior parte da materia rispetto ad antimateria? In qualche momento dopo il big bang ci fu una maggior produzione di materia forse proprio grazie al fatto che l’interazione debole presenta questa asimmetria nel trattare particelle e antiparticelle.

La simmetria T: inversione temporale

L’ultima trasformazione discreta è l’inversione temporale: si inverte il tempo nelle equazioni della Fisica. L’inversione del tempo agisce su tutte quelle quantità in cui il tempo compare, ad esempio la quantità di moto (contenendo la velocità definita come il rapporto tra spazio e tempo) acquista un segno negativo sotto inversione temporale: p va in –p. Il momento angolare acquista un segno negativo anche lui, dato che L=rxp e r va in se stesso, ma p va in –p, quindi rx(-p)=-L.

Di nuovo, la maggior parte delle teorie fisiche rimane inalterata sotto inversione temporale, ad eccezione della solita guastafeste: l’interazione debole!

Ciò non sconforta ormai più di tanto, dato che le eventuali simmetrie sotto C,P e T separatamente non hanno motivo di esistere se non per la nostra soddisfazione personale.
Esiste un’unica simmetria che però deve essere rispettata affinché non crolli tutto il palazzo della Fisica Teorica, ed infatti esiste un Teorema che lo dimostra precisamente. Questa simmetria è la combinazione simultanea di C, P e T: la simmetria CPT.

Il Teorema CPT

Il Teorema CPT discende dall’unione tra meccanica quantistica e relatività ristretta, nel contesto della teoria quantistica dei campi. La sua dimostrazione dipende fortemente da tutto ciò che sappiamo essere verificato sperimentalmente sulla meccanica quantistica e sulla relatività ristretta. TUTTE le leggi della Natura sono invarianti se applichiamo successivamente: un’inversione di tutte le coordinate spaziali, un’inversione della carica di tutte le particelle (cioè la trasformazione di tutte le particelle in antiparticelle) e l’inversione temporale dei processi fisici.

Stiamo dicendo che non è possibile distinguere un esperimento di Fisica condotto in un anti-universo composto da anti-particelle, studiate con coordinate spaziali invertite e con i processi che avvengono al contrario nel tempo.

Per capire il significato del teorema, dobbiamo ricollegarci all’interpretazione di Feynman-Stückelberg sulle antiparticelle, come discusso in un articolo precedente. Un’antiparticella può essere interpretata come una particella che si muove “indietro nel tempo”.

Siccome la trasformazione combinata “CP” trasforma tutte le particelle in anti-particelle e inverte le coordinate spaziali (in modo da farle muovere “all’indietro” rispetto alle coordinate originali), se applichiamo un’ulteriore trasformazione “T” di inversione temporale stiamo facendo muovere queste antiparticelle all’indietro nel tempo e in una direzione spaziale opposta alle coordinate originali. Tradotto: siamo ritornati punto e a capo, e cioè all’universo originale. Quindi, se operiamo un’ulteriore trasformazione di inversione temporale “T”, l’anti-universo ottenuto con la trasformazione “CP” può essere reso indistinguibile dall’universo iniziale.

Una delle prime dimostrazioni del teorema CPT è dovuta a Wolfgang Pauli, il quale fu tra i primi a formalizzare il concetto di simmetria discreta nella teoria quantistica dei campi.

La violazione di CP e T, ma non di CPT

Sottolineiamo: la simmetria sempre conservata è la combinazione simultanea CPT, ma ciascuna delle trasformazioni separate C, P o T può comunque non essere una simmetria delle teorie fisiche.

Abbiamo visto che l’interazione debole viola la simmetria P. Sappi che viola anche la simmetria CP, cioè la combinazione simultanea di C e P ( è stato verificato sperimentalmente). Questo fatto mise in grave allarme i fisici dell’epoca, perché la simmetria CPT era quindi in pericolo, e assieme a lei tutta la struttura matematica della teoria quantistica dei campi.

Grazie all’interpretazione di Feynman-Stückelberg sappiamo che, se CP è violata, allora l’unico modo per avere simmetria CPT è che anche T sia violata. Un po’ come dire: se voglio ottenere +1 dal prodotto di due numeri, dovranno essere entrambi negativi in modo che si cancelli il segno “-“, in questo modo (-1)(-1)=+1. Fisicamente corrisponde a dire:

*Analogia tra la violazione delle simmetrie e la moltiplicazione tra numeri negativi.*

I risultati sperimentali odierni sembrano confermare che la simmetria T sia violata, quindi la CPT dovrebbe essere salva, assieme a tutto il castello della Fisica Teorica.

PS. ho scritto un libro di testo che rappresenta proprio ciò che avrei desiderato leggere all’inizio dei miei studi di Fisica teorica, per renderla accessibile agli amatori e insegnare le tecniche matematiche necessarie a una sua comprensione universitaria. Si chiama “L’apprendista teorico” , dai un’occhiata per vedere di cosa si tratta. Il libro è acquistabile su Amazon.

Matteo Parriciatu

Dopo aver conseguito la laurea in Fisica nel 2020, studia Fisica Teorica all’Università di Pisa specializzandosi in simmetrie di sapore dei neutrini, teorie oltre il Modello Standard e interessandosi di Relatività Generale.
È autore del libro “L’apprendista teorico” (2021).

[Immagine di copertina: Kelly Sikkema]

Quel tremendo colloquio con Enrico Fermi che cambiò la carriera di Dyson

15 Marzo 20221 Ottobre 2022by matteoparriLeave a comment

Ci sono svariati motivi per cui la Scienza, pur essendo una disciplina di matrice umana e quindi predisposta all’errore, riesce sempre a raddrizzarsi. Il motivo più cruciale è la spietatezza del giudizio tra pari: l’oggettività e il metodo scientifico non guardano in faccia nessuno.

Naturalmente per garantire il continuo raddrizzamento servono grandi personalità, che devono essere la base di ogni comunità scientifica. E non parlo di “grandi personalità” solo dal punto di vista accademico, servono grandi capacità relazionali e grande onestà intellettuale, anche a costo di dire qualcosa di molto scomodo. La scienza inizia a morire quando inizia a prendere piede il pensiero di gregge, dal quale nessuno ha il coraggio di discostarsi.
A capo del gregge servono dei pastori, pochi fari nella notte, ma sempre accesi e messi nei punti giusti.

In questo contesto, qualche tempo fa sono incappato in una storia condivisa da Freeman Dyson, che è stato uno dei più importanti fisici teorici del secondo novecento. Credo che questa storia riassuma perfettamente lo stato esistenziale del ricercatore: la ricerca è un mondo appassionante in tutti i sensi, passione emotiva e passione in senso latino, “patire, soffrire”.

Un po’ di contesto storico

*Un tipico processo di elettrodinamica quantistica, un fotone virtuale viene scambiato tra due elettroni.*

Alla fine degli anni ’40 si era raggiunta una soddisfacente descrizione dei processi atomici. L’unica forza fondamentale del mondo quantistico allora compresa, l’elettrodinamica quantistica, aveva come ingredienti i campi fermionici come elettroni, protoni e neutroni, e il campo elettromagnetico (rappresentato dal suo quanto di eccitazione, il fotone).
Come descritto in un precedente articolo, essendo il mediatore di un’interazione a raggio d’azione infinito, il fotone ha massa nulla. Un principio di simmetria, assieme alle nozioni dell’elettrodinamica classica, ci guidano a scrivere l’interazione elettrodinamica, come spiegato in un precedente articolo, con la seguente struttura:

*L’accoppiamento tra campi fermionici ψ e il campo elettromagnetico A_μ.*
*L’intensità dell’interazione è specificata dalla carica dell’elettrone in unità fondamentali (unità di c=ℏ*=1).

A partire da questa struttura, si è in grado di calcolare tutti i processi elettromagnetici possibili, e verificare l’accuratezza della teoria confrontando i valori ottenuti con i dati sperimentali. Questa era l’occupazione di Freeman Dyson e il suo gruppo di studenti. Dyson, allora un giovanissimo professore di Fisica Teorica alla Cornell, era riuscito con il suo gruppo ad ottenere uno spettacolare accordo tra le previsioni teoriche e i dati sperimentali: l’elettrodinamica era una teoria in grado di fare previsioni molto accurate.

Dopo questi successi, nel 1951 il gruppo di Dyson era alla ricerca di altri problemi da conquistare. Uno particolarmente promettente era il problema di studiare cosa tenesse assieme i nuclei: l’interazione nucleare.
All’epoca la Fisica Nucleare era una scienza prettamente empirica: i modelli teorici erano pochi, confusi e dallo scarso potere predittivo. Quello che era certo, almeno alla scala di energia che si esplorava all’epoca, è che il mediatore della forza nucleare doveva essere massivo (per sapere perché leggi qua) perché al di fuori del nucleo la forza nucleare cessava di esistere.
Se il mediatore dell’elettrodinamica era il fotone, il mediatore dell’interazione nucleare fu individuato nel pione. L’obbiettivo era quindi fare degli esperimenti in cui si facevano collidere pioni con altre particelle nucleari, per studiarne l’interazione.

Dyson e il suo gruppo, avendo avuto così tanto successo con il modello dell’elettrodinamica, decisero che la struttura migliore per l’interazione doveva essere molto simile:

*L’accoppiamento tra i campi fermionici ψ e il campo del pione ϕ.*
*L’intensità dell’interazione è specificata dalla costante “g” , che ha un valore molto più elevato della costante di accoppiamento elettromagnetica “e”.*

*Un protone ed un neutrone interagiscono scambiandosi un pione neutro.*
*Nota la somiglianza con il diagramma dell’elettrodinamica.*

Questa teoria era conosciuta come “teoria del pione pseudoscalare” , e il gruppo di Dyson ci lavorò a tempo pieno per due anni. Dopo uno sforzo di proporzioni eroiche, nel 1953 riuscirono a produrre delle predizioni teoriche in accettabile accordo con i dati disponibili all’epoca. La carriera di alcuni studenti di Dyson dipendeva dal successo di questa teoria, dato che erano per la maggior parte dottorandi o post-doc.

I dati sperimentali con cui confrontavano le loro previsioni teoriche erano stati raccolti da uno dei migliori fisici del novecento, nonché uno dei padri fondatori della ricerca nucleare: Enrico Fermi, professore a Chicago e al tempo uno dei leader nella costruzione del Ciclotrone con cui si studiavano le interazioni nucleari.
Fermi era anche uno dei migliori fisici teorici della sua generazione, quindi Dyson pensò fosse il caso di andare a trovarlo per discutere sul successo del proprio lavoro, prima di pubblicarlo.

*Enrico Fermi (1901-1954), premio Nobel per la Fisica 1938.*

L’incontro con Fermi

Nella primavera del ’53, Dyson si diresse a Chicago per andare a trovare Fermi nel suo ufficio, portando con sé una pila di fogli con alcuni grafici che riproducevano i dati sperimentali calcolati dal suo gruppo.

Fermi aveva la nomea di incutere una certa soggezione, di certo non solo per la sua fama di grande scienziato, ma anche per l’acutezza del suo giudizio. Quindi è facile immaginarsi che Dyson si sentisse un po’ teso per quell’incontro.
La sua tensione si trasformò presto in soggezione quando vide che Fermi diede solo un rapido sguardo ai fogli che gli aveva portato, per poi invitarlo a sedersi e chiedergli con un tono amichevole come stessero sua moglie e suo figlio neonato.

Dopo qualche chiacchiera, improvvisamente Fermi rilasciò il suo giudizio nella maniera più calma e schietta possibile

Ci sono due modi di fare i calcoli in Fisica Teorica. Il primo modo, che io preferisco, è di avere un chiaro schema mentale del processo fisico che vuoi calcolare. L’altro modo è di avere un preciso ed auto-consistente formalismo matematico. Voi non avete nessuno dei due.

Dyson rimase ammutolito, anche se la parte più orgogliosa di lui era comunque incredula. Quindi cercò di capire cosa non andasse, secondo Fermi, con la teoria del pione pseudoscalare.

Fermi aveva un intuito fisico eccezionale su cui fondò letteralmente una scuola di pensiero in grado di far fruttare ben 8 premi Nobel per la Fisica tra i suoi studenti.

La teoria del pione pseudoscalare, secondo il suo intuito, non poteva essere corretta perché a differenza dell’elettrodinamica l’interazione era molto più intensa e nei calcoli era necessario mascherare alcune divergenze senza avere un chiaro schema fisico di quello che stesse succedendo.

Inoltre, quando Dyson gli chiese, ancora orgogliosamente, come mai secondo lui i dati fossero comunque in accordo con le sue previsioni nonostante la teoria fosse inadeguata, Fermi gli fece notare che il numero di parametri utilizzato (quattro) era troppo alto, e che con un numero così elevato fosse possibile raggiungere un raccordo tra le previsioni teoriche e qualunque dato sperimentale.

In sostanza Fermi demolì, con estrema calma e schiettezza, gli ultimi due anni di lavoro dell’intero gruppo di Dyson, composto da dottorandi e post-doc la cui carriera in quel momento dipendeva dal successo di quella teoria.

La storia diede ragione a Fermi. La teoria del pione pseudoscalare non era quella corretta, al modello delle forze nucleari mancava un pezzo fondamentale del puzzle: i quark, teorizzati da Gell-Mann il decennio successivo, quando Fermi era già morto.

Dopo quell’incontro traumatico, Dyson e il suo gruppo pubblicarono comunque il lavoro, ma abbandonarono completamente quel campo di ricerca. Negli anni successivi, ripensando a quell’evento, Dyson espresse di essere grato eternamente a Fermi per quello “schiaffo” morale, perché la sua teoria non avrebbe portato nessun frutto e avrebbe fatto sprecare preziosi anni di ricerca a lui e al suo gruppo.

PS. ho scritto un libro di testo che rappresenta proprio ciò che avrei desiderato leggere all’inizio dei miei studi di Fisica teorica, per renderla accessibile agli amatori e insegnare le tecniche matematiche necessarie a una sua comprensione universitaria. Si chiama “L’apprendista teorico” , dai un’occhiata per vedere di cosa si tratta. Il libro è acquistabile su Amazon.

Matteo Parriciatu

Dopo la laurea in Fisica e la magistrale in Fisica Teorica all’università di Pisa, è dottorando presso l’Università degli Studi Roma III, dove studia simmetrie di sapore dei leptoni e teorie oltre il Modello Standard.

È membro della Società Italiana di Fisica.

È autore del libro “L’apprendista teorico” (2021).

Le radici quantistiche della Fisica classica: da dove arriva il principio di minima azione?

27 Settembre 20212 Dicembre 2021by matteoparriLeave a comment

Probabilmente avrai sentito parlare delle proprietà degli oggetti quantistici, in particolare della doppia natura ondulatoria-corpuscolare delle particelle. Avrai anche sentito da qualche parte che il mondo macroscopico è solo un’approssimazione di quello quantistico, ma forse non ti è mai stato detto in che senso.

Anche il mondo macroscopico è misterioso!

La fisica macroscopica è dominata dal misteriosissimo principio dell’azione stazionaria, il cui enunciato è:

La traiettoria seguita da un corpo è tale da estremizzare il prodotto fra la differenza di energia cinetica e potenziale e il tempo impiegato a percorrere la traiettoria.

Una traiettoria che unisce i punti A e B per un corpo in caduta libera. La suddividiamo in varie porzioni e per ciascuna calcoliamo la differenza tra energia cinetica T e potenziale U, moltiplicando poi per il tempo impiegato ∆t.

In soldoni: una massa in caduta libera (e quindi sottoposta al potenziale gravitazionale) segue, come sappiamo, una traiettoria rettilinea dall’alto verso il basso.

Fin qui nulla di speciale, non può mica fare le piroette per aria un grave, giusto? Sì, però perché? Andiamo a vedere cosa ha di speciale questa traiettoria.

Se per ogni porzione piccolissima di questa traiettoria calcoliamo la differenza tra energia cinetica ed energia potenziale del grave, e poi moltiplichiamo tale differenza per il tempo impiegato a percorrere tale porzione, e poi sommiamo tutti i risultati delle singole porzioni, otteniamo un certo numero che chiamiamo “S”.

Tieni bene a mente questo numerino “S” dato che è molto speciale, calcolabile per qualsiasi traiettoria e sistema fisico. In sostanza è un’indicazione di quanto eccesso di energia cinetica rispetto all’energia potenziale abbiamo avuto nella traiettoria, e per quanto tempo lo abbiamo avuto.

Se ora immaginiamo di avere poteri soprannaturali per modificare la traiettoria del grave in qualsiasi modo preferiamo, e rifacciamo lo stesso calcolo, scopriamo che è letteralmente impossibile ottenere un valore più basso di quello ottenuto prima, che era “S”. La traiettoria naturale del grave è tale da rendere minimo il numero “S”.

Tradotto: puoi immaginare di far compiere al grave qualche piroetta in aria, prima di farlo cadere dal punto più alto al punto più basso, e il numerino ”S” che provi a calcolare risulterà sempre maggiore di quello ottenuto con la traiettoria rettilinea naturale.
Se invece fai compiere al corpo traiettorie molto vicine a quella naturale, il numero ”S” si discosterà pochissimo da quello originale, cioè ∆S=0.

I punti A e B possono essere uniti da tante traiettorie immaginarie. Il principio dell’azione stazionaria ci dice che la traiettoria effettivamente seguita in natura è quella che estremizza il numero “S”.

I fisici calcolano in questo modo le traiettorie dei corpi nella meccanica classica, cercando cioè quella che minimizza il numero “S”.

Il mistero:

Il motivo per cui ciò debba essere così è letteralmente un mistero: perché la natura fa seguire delle traiettorie che estremizzano o minimizzano quella quantità, e scarta tutte le altre traiettorie?

In che modo il principio più importante della fisica teorica ci è suggerito dalle leggi quantistiche?

La soluzione:

Procediamo per piccoli step. Forse avrai già visto da qualche parte questa immagine, riguardo il comportamento degli oggetti quantistici

Se pratichiamo due fori su una parete S2 e vi facciamo passare un fascio di oggetti quantistici, le loro posizioni di arrivo sullo schermo F si dispongono a strisce, con un pattern ben determinato di **interferenza**. Se la natura di tali oggetti fosse **solo** corpuscolare ci aspetteremmo invece, come suggeritoci dall’intuito, solo due strisce, in corrispondenza dei fori.

Questa figura di interferenza è dovuta al fatto che gli oggetti quantistici si comportano come onde, e le onde hanno un modo molto speciale di interagire con l’ambiente: in corrispondenza dei due fori vengono a crearsi due nuove versioni dell’onda incidente, che finiscono poi per interferire tra loro: dove l’interferenza è costruttiva sullo schermo F, osserviamo un massimo (striscia chiara), mentre dove l’interferenza è distruttiva osserviamo un minimo (striscia scura).

I fisici quantistici interpretano il comportamento ondulatorio dicendo “Ok, alla particella è associata una certa ampiezza di probabilità (l’ampiezza dell’onda), e l’ampiezza totale di probabilità di trovare la particella su F deve essere data dalla somma delle ampiezze dei due fori”. La probabilità si trova poi facendo il quadrato dell’ampiezza totale, per cui la probabilità di arrivo in F è

Il quadrato della somma è diverso dalla somma di quadrati. **Il termine misto è responsabile dell’interferenza**.

Che succede se pratichiamo tre fori invece che due? Indovinato, dobbiamo sommare anche la terza ampiezza e fare il quadrato della somma delle tre. Se invece usiamo quattro fori? La stessa cosa. Ormai dovrebbe essere chiaro.
E se volessimo essere malefici e usare due pareti invece che una sola?

La probabilità di arrivare in O si ottiene facendo il quadrato della somma delle ampiezze B1,B2,B3, ma la probabilità che la particella arrivi in B1,B2 o B3 è data anch’essa dal quadrato della somma delle probabilità di A1,A2,A3. Si può ripetere il ragionamento ricorsivamente aggiungendo altre pareti.

Il fascio di oggetti quantistici parte dalla sorgente S e deve attraversare ora ben due pareti: si “propaga” in maniera probabilistica da ciascun foro A1,A2,A3 verso ciascuno dei fori B1,B2,B3,B4, dai quali, nuovamente, si propagherà per essere raccolto dallo schermo nel punto O con una certa probabilità che dipende da tutte le combinazioni possibili delle probabilità precedenti.

Che succede se al posto di praticare solo tre o quattro fori, usiamo una parete con centinaia, migliaia di fori? Esattamente la stessa cosa: la particella arriverà in O con una probabilità data dalla combinazione di tutte le ampiezze e i modi possibili di arrivare a destinazione.
Concorderai con me che se pratichiamo migliaia e migliaia di fori, è come se stessimo facendo scomparire la parete, ed infatti è proprio qui che sorge l’intuizione di Richard Feynman:

Un oggetto quantistico può propagarsi da S ad O seguendo tutte le traiettorie immaginabili, cioè ciascuna traiettoria, nessuna esclusa, contribuisce alla probabilità che l’oggetto possa essere osservato in O.

Una particella quantistica può arrivare in O seguendo qualsiasi traiettoria immaginabile. Naturalmente certe traiettorie sono semplicemente più probabili di altre, in base al valore del numero ”S”, che assume un ruolo importante anche nella teoria quantistica.

Questa è una proprietà speciale del comportamento ondulatorio degli oggetti quantistici, ma in che modo si ripercuote sul mondo degli oggetti macroscopici?

Il punto cruciale è l’interferenza distruttiva: nel limite macroscopico in cui la scala di energia quantistica diventa molto piccola, sopravvivono solo quelle traiettorie che fanno variare poco il numerino “S” che abbiamo definito in precedenza, dato che l’interferenza distruttiva è tanto maggiore quanto più varia “S”.

Siccome la traiettoria naturale (macroscopica) coincide con il limite estremo del valore di ”S”, abbiamo che ”S” varia molto poco in corrispondenza di traiettorie vicine a quella naturale, che quindi sopravvivono nell’interferenza.
Le altre traiettorie hanno semplicemente una probabilità minuscola di compiersi in natura, per questioni essenzialmente probabilistiche-ondulatorie.

Da qualche parte nel tempo, presente o futuro, potrai osservare un sasso che, nell’atto di cadere da un punto più alto a un punto più basso, compie una traiettoria circolare, poi fa zig zag avanti e indietro, ed infine cade nel punto più basso.

Non hai mai visto una cosa simile accadere? Ti credo bene!
La probabilità che segua questa traiettoria al posto di quella naturale è, quantisticamente parlando, così minuscola che non basterebbe l’età dell’universo per osservarla.

PS. ho scritto un libro di testo che rappresenta proprio ciò che avrei desiderato leggere all’inizio dei miei studi di Fisica teorica, per renderla accessibile a tutti e insegnare le tecniche matematiche necessarie a una sua comprensione. Si chiama “L’apprendista teorico” , dai un’occhiata per vedere di cosa si tratta. Il libro è acquistabile su Amazon.

L’equazione più importante della fisica: perché tutto è un oscillatore armonico?

18 Settembre 20218 Luglio 2022by matteoparri

Spesso tra colleghi fisici ci si scherza sopra: “tutto, ma proprio tutto è un oscillatore armonico!”.
In realtà questa non è proprio un’esagerazione: in un certo senso, sotto alcune approssimazioni, tantissimi sistemi fisici hanno lo stesso comportamento di un oscillatore armonico.

Alcuni esempi:

Il pendolo oscilla
Le corde di una chitarra oscillano
Un liquido in un tubo a U oscilla
I pianeti seguono una traiettoria che riferita a una certa coordinata è un’oscillazione
La corrente elettrica in un circuito di una radio oscilla
Gli atomi oscillano
Gli elettroni sono delle oscillazioni di un certo campo fermionico

Cos’è un oscillatore armonico?

Tutti siamo familiari con il moto di una massa collegata a una molla: se tendiamo la molla e la lasciamo andare, la massa inizierà ad oscillare perché richiamata dalla forza elastica. Questa oscillazione è detta armonica perché è un’oscillazione perfetta, cioè segue l’isocronismo: il tempo che impiega la massa a fare avanti e indietro è indipendente da quanto è stata tesa la molla all’inizio. Questa proprietà permette di risolvere con estrema semplicità il moto di un sistema fisico.

L’equazione di un oscillatore armonico è la seguente

Questa è un’equazione differenziale che desidera essere risolta da una particolare funzione x(t) che rappresenta la traiettoria della massa nel tempo. Se non sai cos’è un’equazione differenziale, non preoccuparti, non è questo il punto del discorso.
Ti basta sapere che la soluzione x(t) è proprio un’oscillazione, cioè una funzione seno o coseno, avente una frequenza ω.

La traiettoria oscillante x(t) in funzione del tempo t.

La grande notizia è questa: sotto certe approssimazioni, la maggior parte dei sistemi fisici sono ben descritti da un’oscillazione!

Perché all’universo piace l’oscillatore armonico?

Le forze decidono in che modo devono muoversi i corpi.
Il motivo per cui la traiettoria della massa collegata alla molla obbedisce all’equazione differenziale dell’oscillatore armonico va ricercato nella natura dell’interazione tra la molla e la massa: la forza elastica.

In fisica tutte le interazioni possono essere descritte da un oggetto matematico fondamentale: il potenziale di interazione. Questo potenziale descrive le forze tra gli oggetti ed è specificato dall’interazione di cui si sta parlando, (ad esempio quella gravitazionale o elettromagnetica), per cui può dipendere dalle loro distanze reciproche, dalle loro masse, o dalle loro cariche elettriche.

Per non mettere troppa carne sul fuoco consideriamo una sola dimensione spaziale x e supponiamo che l’interazione dipenda solo dalla distanza x dall’origine x=0.

Matematicamente il potenziale di interazione sarà quindi una funzione di x, che indichiamo per convenzione con U(x).

Alcuni potenziali di interazione in una sola dimensione. Solo il potenziale più a sinistra produce delle traiettorie di oscillazione armonica.

Il potenziale di un oscillatore armonico è una parabola

Come mai ciò?
Immagina una biglia sul fondo di una scodella: se si prova a spostare la biglia verso le pareti della scodella, la biglia tornerà indietro verso il fondo e inizierà a oscillare da una parete all’altra fino a quando l’attrito non avrà consumato tutta l’energia potenziale iniziale.

La biglia vuole tornare nel fondo della scodella perché era una posizione di equilibrio stabile, ma non può più semplicemente fermarsi in quel punto dato che ha abbastanza energia cinetica da risalire nuovamente sulla parete in direzione opposta (abbiamo perturbato il suo equilibrio stabile).
Allo stesso modo una molla vuole portare il più possibile vicino a sé la massa (per raggiungere il punto di equilibrio), ma se lasciamo andare la massa da una certa posizione iniziale, essa avrà un’energia cinetica abbastanza elevata da non fermarsi nel punto di equilibrio della molla, per cui lo oltrepasserà e proseguirà fino a quando non sentirà l’interazione elastica richiamarla nuovamente, stavolta in direzione opposta.

Il punto è che il potenziale armonico è lo stesso sia per x>0 che per x<0:
la parabola è simmetrica nei due bracci

ciò consente alla molla di richiamare la massa con una simmetria direzionale perfetta: da questo nasce l’oscillazione. Tutte le interazioni che presuppongono l’esistenza di un potenziale a forma di parabola producono delle oscillazioni armoniche dei corpi.

La metamorfosi: come si diventa armonici?

La chiave che accomuna tutti i sistemi che possono essere trattati come oscillatori armonici è che debba esistere un punto di equilibrio stabile attorno a cui oscillare. Se fissiamo tale punto di equilibrio nell’origine x=0 allora grazie ai teoremi di analisi matematica abbiamo che il potenziale può essere sviluppato come un polinomio attorno a questo punto

dove teoricamente la somma continua fino all’infinito.
Il punto fondamentale è che possiamo approssimare, cioè possiamo studiare il sistema così vicino al punto di equilibrio da poter trascurare i termini polinomiali di grado superiore (in soldoni, il numero 0.01 al cubo è più piccolo di 0.01 al quadrato, e così via). Ad esempio possiamo fermarci al polinomio di grado due.

Non lasciarti distrarre dai parametri costanti F, sappi solo che dipendono dal punto attorno cui stiamo sviluppando il potenziale. In particolare nel punto di equilibrio si ha

infatti tale parametro rappresenta la forza sentita dal corpo, e per definizione di punto di equilibrio, la forza in quel punto è nulla. Quindi si annulla il primo ordine del polinomio, e se trascuriamo il terzo ordine, ci rimane proprio una parabola.

Quindi l’interazione diventa del tutto analoga a quella elastica per piccole distanze attorno alla posizione di equilibrio. Il potenziale armonico è uno dei pochissimi casi in cui sappiamo risolvere perfettamente le equazioni, per cui non solo all’universo piace oscillare, ma anche ai fisici piace descrivere interazioni molto complicate, approssimandole, quando possibile, con quelle di un oscillatore.

PS. ho scritto un libro di testo che rappresenta proprio ciò che avrei desiderato leggere all’inizio dei miei studi di Fisica e che ruota attorno all’equazione dell’oscillatore armonico. Si chiama “L’apprendista teorico” , dai un’occhiata per vedere di cosa si tratta. Il libro è acquistabile su Amazon.

Matteo Parriciatu

Dopo aver conseguito la laurea in Fisica nel 2020, studia Fisica Teorica all’Università di Pisa specializzandosi in simmetrie di sapore dei neutrini, teorie oltre il Modello Standard e interessandosi di Relatività Generale.
È autore del libro “L’apprendista teorico” (2021).